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Zahlenfolgen

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Martin Wabnik
Zahlenfolgen
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Zahlenfolgen

Zahlenfolgen – Definition

Eine Funktion heißt Folge, wenn ihr Definitionsbereich $\mathbb{D}$ eine Teilmenge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}_0$ ist. Der Wertebereich ist eine Teilmenge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$.

Die Zahlenfolge besteht aus einer Menge einzelner Folgenglieder, welche in einer bestimmten Reihenfolge geordnet sind. Jedes einzelne Folgenglied besitzt demnach eine definierte Position, welche auch nicht vertauschbar ist. Da die Positionen ($0$), $1$, $2$, $3$, $4$, ..., welche hier eine Teilmenge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}_0$ sind, den jeweiligen Folgengliedern, welche eine Teilmenge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ sind, zugeordnet werden, ist die Folge eine Funktion von $\mathbb{N}_0$ nach $\mathbb{R}$. Unterschieden wird hierbei zwischen endlichen und unendlichen Zahlenfolgen. Eine endliche Zahlenfolge besitzt endlich viele Folgenglieder. Bei einer unendlichen Zahlenfolge gibt es hingegen kein letztes Folgenglied oder es ist kein Ende bekannt.

Notation

Die Menge der Folgenglieder wird wie folgt aufgelistet:

  • $(a_0; a_1; a_2; a_3; a_4; ...)$, wenn $\mathbb{D}=\mathbb{N}_0$
  • $(a_1; a_2; a_3; a_4; a_5; ...)$, wenn $\mathbb{D}=\mathbb{N}$

Die einzelnen Glieder werden von runden Klammern umschlossen und werden mithilfe von Semikolons voneinander abgetrennt. Alternativ können statt der runden Klammern auch eckige Klammern die Folgenglieder umschließen. Optional kann mit $a_0$ oder mit $a_1$ begonnen werden. Je nachdem ist die Null ein Teil des Definitionsbereiches ($\mathbb{D}=\mathbb{N}_0$) oder nicht ($\mathbb{D}=\mathbb{N}$). Im Folgenden ist die $0$ kein Teil des Definitionsbereiches, sodass die Folgenglieder mit $a_1$ beginnen.

Beispiel: die unendliche Folge der Primzahlen

  • $(2; 3; 5; 7; 11; 13; ...)$,
    wobei $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_3 = 5$, $a_4 =7$, ...
  • $< 2; 3; 5; 7; 11; 13; ...>$

Statt mit dem üblichen $f$ für eine Funktion wird eine Folge mit $a$ bezeichnet. Den natürlichen Zahlen $n$ wird dann ein $a(n)$ zugeordnet.

  • $a : n \mapsto a(n) $

Alternative Schreibweisen sind auch:

  • $a: n \mapsto a_n$
  • $(a_n)$: Die Klammern geben bereits an, dass diese Funktion eine Folge ist.
  • $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$: Es kann noch zusätzlich benannt werden, dass $n$ eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist.
  • $< a_n >$: Anstelle der runden Klammern können auch eckige Klammern gesetzt werden.

Zahlenfolgen – Beispiele:

  • Folge der Primzahlen:
    $(a_n)=(2; 3; 5; 7; 11; 13; ...)$
  • Folge der Quadratzahlen:
    $(a_n)=(1; 4; 9; 16; 25; ...)$
  • Folge der Kubikzahlen:
    $(a_n)=(1; 8; 27; 64; ...)$
  • Harmonische Folge:
    $(a_n)=(1; \frac12; \frac13; \frac14; \frac15; ...)$
  • Fibonacci-Folge:
    $(a_n)=(0; 1; 1; 2; 3; 5; 8, ...)$

Zahlenfolgen berechnen

Alle Zahlenfolgen lassen sich mittels Bildungsvorschriften beschreiben. Während sich manche nur verbal beschreiben lassen, lassen sich für einige Folgen auch Bildungsgesetze definieren, sodass jedes einzelne Folgenglied schnell zu bestimmen ist.

  • Folge der Quadratzahlen:
    $(a_n) = (n)^2$
    Wäre die $0$ ein Teil des Definitionsbereiches, so würde die Zählung bei $a_0$ beginnen. Das Bildungsgesetz würde dann $(a_n) = (n+1)^2$ lauten, da das Glied an der Stelle $a_0$ gleich der Quadratzahl von $1$ ist, also dem Folgeglied von $a_0$. Demnach wäre hier $a_0=(0+1)^2=1$.
  • Folge der Kubikzahlen:
    $(a_n) = (n)^3$
  • Harmonische Folge:
    $(a_n) = \dfrac{1}{n}$
  • Folge der Fibonacci-Zahlen:
    $(a_{n+2}) = a_n + a_{n+1}$
  • Die Folge der Primzahlen lässt sich ausschließlich verbal beschreiben. Ein Bildungsgesetz konnte bisher noch nicht bestimmt werden.

Unterscheiden lassen sich generell explizite und rekursive Bildungsgesetze.

Bei expliziten Definitionen ist die einzige Variable der Formel das $n$. Hier lässt sich ein beliebiges Glied der Folge ermitteln, ohne dass ein vorangegangenes Glied bekannt sein muss. Die Folge der Quadratzahlen, der Kubikzahlen und die harmonische Folge sind hierbei Beispiele für Folgen mit expliziten Bildungsvorschriften.

Um ein bestimmtes Glied einer Folge zu bestimmen, bei der die Definition rekursiv ist, muss hingegen mindestens ein Glied der Folge bereits bekannt sein. Meist handelt es sich um das vorangegangene Glied. Manchmal ist aber auch die Kenntnis über das erste Glied eine Voraussetzung zur Bestimmung eines bestimmten Folgengliedes.

Weiterführende Anmerkungen

Wurden in Mathe Zahlenfolgen ausreichend behandelt, so folgen anschließend die Reihen. Diese sind definiert als Addition der einzelnen Glieder einer bestimmten Folge. Die Reihe, die aus einer Folge $(a_n)$ resultiert, ist die Reihe:
$s_n = \sum_{i=1}^{n} a_i$
Vom ersten Folgenglied bis zum $n$-ten Folgenglied werden alle einzelnen Glieder addiert.
Sei beispielsweise $(a_n)= (1; 2; 3; 4; 5; ...)$, ist die zugehörige Reihe:
$s_n = 1 + 2 + 3 +4 +5 + ...$

Transkript Zahlenfolgen

Hi! In der Mathematik geht es nicht nur um endliche, also finite Dinge, sondern auch um die Unendlichkeit. Der Einstieg in diese Unendlichkeit sind meist Zahlenfolgen. Wir kennen die Zahlenfolge 1, 2, 3, 4, 5, 6 und so weiter. Diese Folge endet nie. Zumindest ist die Annahme, es gäbe eine letzte Zahl, nicht sinnvoll. Fangen wir aber erst mal beim Anfang an. In diesem Video geht es um Folgen und ein paar erste Eigenschaften. “Eine Funktion heißt Folge, wenn ihr Definitionsbereich D eine Teilmenge der natürlichen Zahlen N0 ist”. N0 steht hier, weil nicht nur die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und so weiter gemeint sind, sondern die Null auch mit dazugehören soll. Na, wie kann man das verstehen? Wenn wir jetzt mal normal denken, ist eine Folge sowas mit Zahlen hintereinander, zum Beispiel 2, 3, 5, 7, 11, 13 und so weiter. Das könnte der Anfang der Folge der Primzahlen sein. Eine Eigenschaft von Folgen ist, dass die Folgenglieder nicht nur einfach zur Folge gehören, sondern auch bestimmte Positionen haben. Hier ist die 2 die erste Primzahl, die 3 ist die zweite Primzahl, die 5 ist die dritte Primzahl und so weiter. Das Ganze hier ist eine Funktion von N nach N und deshalb wird eine Folge als Funktion definiert. Wir können uns als Definitionsmenge auch eine endliche Teilmenge von N0 vorstellen, zum Beispiel die Menge mit den Elementen {0; 1; 4; 9}. Das sind übrigens alle Quadratzahlen kleiner als 10. Wir können diesen Zahlen deren Wurzeln zuordnen und diese Zuordnung als Funktion f von der Menge mit den Elementen {0. 1, 4, 9} nach R definieren. So erhalten wir eine endliche Folge, während das hier eine unendliche Folge ist. Es lässt sich trefflich darüber streiten, inwieweit diese Unendlichkeit faktisch existiert oder nicht. Wir können uns aber wohl darauf einigen, dass wir kein Ende der Folge kennen und diese insofern ohne Ende, also unendlich ist. Wir hätten hier als Zielmenge übrigens auch N0 nehmen können oder auch die Menge {0 1, 2, 3}. Wichtig ist, dass die Zielmenge alle Werte der Funktion enthält. Ob die Zielmenge darüber hinaus noch andere Zahlen enthält, ist der Folge zunächst mal egal. Auch N0 selbst ist eine Teilmenge von N0 und so können wir eine Funktion von N0 nach N0 definieren, zum Beispiel die Folge der geraden Zahlen in N0. Wenn wir Folgenglieder aufschreiben, machen wir das nicht so wie hier irgendwie, sondern wir nehmen zum Beispiel runde Klammern und trennen die Folgenglieder durch Semikola. Es ist aber auch üblich, eckige Klammern zu schreiben, so wie hier. Und wenn eine Verwechslungsgefahr ausgeschlossen ist, darf man die Folgenglieder auch mal durch Kommata trennen. Wenn wir über Folgen etwas schreiben wollen, brauchen wir noch Bezeichnungen. Häufig wird eine Folge mit a bezeichnet. Ja, statt f (Funktion) kann man auch ein a nehmen. Und dann erklärt man, dass den natürlichen Zahlen n ein a von n zugeordnet wird. Man kann auch einfach schreiben, dass dem n ein Wert an zugeordnet wird. Oder man schreibt an in Klammern und meint, dass das jetzt eine Folge ist. Manchmal führt man auch etwas genauer aus, wo n herkommt. Ja, n ist ein Element der natürlichen Zahlen vielleicht inklusive der 0. Ist auch möglich. Oder man verwendet die eckigen Klammern und schreibt an in eckige Klammern. Eine Folge muss übrigens keine Zahlenfolge sein. Man kann den natürlichen Zahlen auch was anderes zuordnen, zum Beispiel Funktionen oder Algebren oder Vektorräume oder ja, was ganz anderes. So zum Beispiel, dann hat man eine Gummibärchenfolge. Aber mit der kann man dann nicht so gut rechnen. So, dann sind wir fertig. Wir haben gesehen, dass Folgen spezielle Funktionen sind und ein paar Beispiele, endliche und unendliche. Was es mit der Unendlichkeit auf sich hat, besprechen wir bei Konvergenz- und Grenzwerten. Aber hier sind wir erstmal fertig, denn dieses Video ist ein endliches Video. Ciao!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Bitte antworten

    Von Debtek2006, vor mehr als 3 Jahren
  2. Können sie mir diese aufgabe erklären (150,180,169,162,188,144,207...)

    Von Debtek2006, vor mehr als 3 Jahren

Zahlenfolgen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zahlenfolgen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Eigenschaften einer Folge.

    Tipps

    Die ersten Folgenglieder der Folge aller geraden Zahlen in $\mathbb{N}_0$ lauten:

    $ \begin{array}{ccccc} 0&2&4&6&... \end{array} $

    Bei der Folge aller geraden Zahlen handelt es sich um eine unendliche Folge.

    Lösung

    Eine Funktion heißt Folge, wenn ihr Definitionsbereich $\mathbb{D}$ eine Teilmenge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}_0$ ist. Die Zahlenmenge $\mathbb{N}_0$ umfasst hierbei alle natürlichen Zahlen und die Null.

    Der Anfang der Folge der Primzahlen ist gegeben durch:

    $ \begin{array}{cccccccc} &2&3&5&7&11&13&... \end{array} $

    Die Folgenglieder haben dabei bestimmte Positionen:

    $ \begin{array}{cccccccc} &1&2&3&4&5&6&... \\ &\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\ &2&3&5&7&11&13&... \end{array} $

    Es handelt sich hierbei um eine unendliche Folge der Funktion $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$.

  • Gib mögliche Zielmengen für die Folge aller Quadratzahlen bis $10$ an.

    Tipps

    Die Zielmenge muss alle Werte der Funktion enthalten.

    Die Menge aller natürlichen Zahlen heißt $\mathbb{N}$. Diese enthält alle positiven ganzen Zahlen.

    Es gilt zum Beispiel:

    $f: 4 \mapsto 2$.

    Lösung

    Gegeben ist die Funktion $f$, welche einer endlichen Teilmenge von $\mathbb{N}_0$ mit den Quadratzahlen bis $10$ die zugehörigen Wurzeln zuordnet. Es ist also:

    $ \begin{array}{lll} &f: & \{0; 1; 4; 9\}\rightarrow \{\sqrt{0}; \sqrt{1};\sqrt{4};\sqrt{9}\} \\ &f: & \{0; 1; 4; 9\}\rightarrow \{0; 1;2;3\} \end{array} $

    Die Zielmenge muss alle Werte der Funktion enthalten. Darüber hinaus kann sie aber auch weitere Werte enthalten. Somit kann diese Funktion auch folgende Zielmengen besitzen:

    $ \begin{array}{lll} &f: & \{0; 1; 4; 9\}\rightarrow \mathbb{N}_0 \\ &f: & \{0; 1; 4; 9\}\rightarrow \mathbb{R} \end{array} $

  • Bestimme mögliche Zielmengen der Funktionen $f$ und $g$.

    Tipps

    Die Menge aller natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ enthält alle positiven ganzen Zahlen.

    Die Menge der ganzen Zahlen heißt $\mathbb{Z}$. Möchte man nur negative ganze Zahlen betrachten, so schreibt man $\mathbb{Z^-}$.

    Die Zielmenge muss alle Werte der Funktion enthalten.

    Die Gegenzahl einer Zahl $a$ lautet $-a$.

    Lösung

    Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit folgenden Eigenschaften:

    • Die Funktion $f$ ordnet jedem Element der Teilmenge $\{1;2;3\}$ die zugehörige Gegenzahl zu.
    • Die Funktion $g$ ordnet jedem Element der Teilmenge $\{1;2;3\}$ die zugehörige Kubikzahl zu.
    Diese Funktionen können folgende Zielmengen besitzen:

    Funktion $f$

    • $f: \{1;2;3\}\rightarrow \{-1;-2;-3\}$
    • $f: \{1;2;3\}\rightarrow \mathbb{Z^-}$
    Funktion $g$

    • $g: \{1;2;3\}\rightarrow \{1;8;27\}$
    • $g: \{1;2;3\}\rightarrow \mathbb{Z^+}$
    • $g: \{1;2;3\}\rightarrow \mathbb{N}$
  • Prüfe die Aussagen zu Folgen auf ihre Richtigkeit.

    Tipps

    Die Zielmenge muss alle Werte der Funktion enthalten.

    Das Dreifache einer Zahl erhältst du, indem du die Zahl mit $3$ multiplizierst.

    Eine Folge ist endlich, wenn sie eine letzte Zahl als Folgenglied besitzt.

    Lösung

    Eine Folge ist endlich, wenn sie eine letzte Zahl als Folgenglied besitzt. Wenn wir kein Ende einer Folge festlegen können, so ist diese Folge unendlich.

    • Demnach ist die Folge aller Quadratzahlen eine unendliche Folge. Die Folge aller positiven geraden Zahlen bis $100$ hat ein letztes Folgenglied, nämlich $100$, und ist somit eine endliche Folge.
    Die Zielmenge einer Funktion muss alle Werte dieser Funktion enthalten.

    • Demnach muss die Zielmenge einer Funktion $f$, welche allen Elementen der Teilmenge $\{1;3;5\}$ das zugehörige Dreifache dieser Zahl zuordnet, mindestens die Elemente $3$, $9$ und $15$ enthalten. Die Zielmenge kann aber auch die Menge aller natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sein, da diese ebenfalls die Elemente $3$, $9$ und $15$ enthält. Die Menge aller negativen ganzen Zahlen $\mathbb{Z}^-$ kann hingegen keine Zielmenge dieser Funktion sein.
  • Gib alle Elemente der zugehörigen Zielmenge an.

    Tipps

    Es liegt folgende Zuordnung vor:

    Position $\mapsto$ Primzahl.

    Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch sich selbst und die $1$ teilbar ist und genau zwei Teiler besitzt.

    Hier siehst du die ersten $7$ Primzahlen:

    $ \begin{array}{ccccccc} 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 \end{array} $

    Lösung

    Es ist die Funktion $f$ gegeben, welche jedem Element einer Teilmenge, deren Einträge für die Positionen stehen, die zugehörigen Primzahlen zuordnet. Da die Einträge der Teilmenge unterschiedlich sind, ändern sich auch die Einträge der Zielmenge.

    Wir betrachten zunächst einmal die ersten sieben Primzahlen:

    $ \begin{array}{l|ccccccc} \text{Position} & 1& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline \text{Primzahl} & 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 \end{array} $

    Nun kennen wir die Primzahlen zu den ersten sieben Positionen. Diese genügen, um die Aufgabe zu lösen. Wir erhalten:

    • $f:\{1;2;3;4\}\rightarrow\{ 2;3;5;7\}$
    • $f:\{2;3;4;5\}\rightarrow\{ 3;5;7;11\}$
    • $f:\{2;4;6\}\rightarrow\{ 3;7;13\}$
    • $f:\{3;5;7\}\rightarrow\{ 5;11;17\}$
  • Ermittle alle Elemente der jeweiligen Zielmenge.

    Tipps

    Du quadrierst eine Zahl, indem du sie einmal mit sich selbst multiplizierst.

    Lösung

    Im Folgenden bestimmen wir alle Einträge der jeweiligen Zielmengen. Möchten wir eine Zahl quadrieren, so multiplizieren wir sie einmal mit sich selbst. Um das Doppelte einer Zahl zu erhalten, multiplizieren wir sie mit $2$. Es folgt dann:

    Beispiel 1

    Die Funktion $f$ ordnet jedem Element der Teilmenge $\{0;1;2;3\}$ die zugehörige Quadratzahl zu:

    • $f:\{0;1;2;3\}\rightarrow\{ 0;1;4;9\}$.
    Beispiel 2

    Die Funktion $f$ ordnet jedem Element der Teilmenge $\{0;1;2;3\}$ das Doppelte dieses Elementes zu:

    • $f:\{0;1;2;3\}\rightarrow\{ 0;2;4;6\}$.
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