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Wahrscheinlichkeit mit relativer Häufigkeit abschätzen

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Martin Wabnik
Wahrscheinlichkeit mit relativer Häufigkeit abschätzen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Wahrscheinlichkeit mit relativer Häufigkeit abschätzen

Mit Hilfe der relativen Häufigkeit kannst du die Wahrscheinlichkeit abschätzen - aber nur dann, wenn die relative Häufigkeit auch in der Nähe der Wahrscheinlichkeit liegt. Das ist aber nicht immer der Fall. Dennoch ist es vernünftig, mit der relativen Häufigkeit die Wahrscheinlichkeit abzuschätzen, nämlich dann, wenn du keine weiteren Informationen hast und du dich sofort entscheiden musst. Wenn du z.B. in der Mathestunde sitzt und deine Hausaufgaben nicht vorlesen möchtest (obwohl du sie selbst gemacht hast), musst du dich sofort für eine bestimmte Verhaltensweise entscheiden, denn selbst wenn du dich nicht entscheidest, verhältst du dich irgendwie. Mal angenommen, du möchtest dich unauffällig verhalten. Dann entscheidest du dich für eine Verhaltensweise, bei der die Wahrscheinlichkeit dranzukommen am geringsten ist. Welche das ist, kannst du mit der relativen Häufigkeit abschätzen, denn aus Erfahrung weißt du, wie sich bisher Schüler verhalten haben und ob sie dann drangekommen sind oder nicht. Vernünftigerweise entscheidest du dich nun für die Verhaltensweise, bei der Schüler bisher am wenigsten drangekommen sind. Aber - wie du sicherlich weißt - klappt das nicht immer.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. ganz gut erklärt

    Von Frank Martin, vor mehr als einem Jahr
  2. Häääää???

    Von Memoli19 77, vor mehr als 2 Jahren
  3. Siehe Kommentar Video zuvor

    Von Mariarudolf, vor fast 4 Jahren
  4. Gutes Beispiel, Danke :)

    Von Tibor A., vor mehr als 4 Jahren
  5. sehr verständliche, anschaulich und unterhaltsam erklärt :D

    Von Cutie English, vor fast 6 Jahren
Mehr Kommentare

Wahrscheinlichkeit mit relativer Häufigkeit abschätzen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wahrscheinlichkeit mit relativer Häufigkeit abschätzen kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die relativen Häufigkeiten.

    Tipps

    Die relative Häufigkeit ist die absolute Häufigkeit dividiert durch die Anzahl der Versuche.

    Schaue dir dieses Beispiel an: Beim $20$-maligen Werfen einer Münze fällt $12$-mal Kopf. Dann ist die zugehörige relative Häufigkeit

    $\frac{12}{20}=0,6$.

    Lösung

    Wenn du einen Zufallsversuch mehrmals durchführst, kannst du zählen, wie oft ein mögliches Ergebnis vorkommt. Dies ist dann die absolute Häufigkeit dieses Ergebnisses.

    Dividierst du diese absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Durchführungen, erhältst du die entsprechende relative Häufigkeit.

    $\begin{array}{c|c|c} \text{Ergebnis}&\text{absolute H}\ddot{\text{a}}\text{ufigkeit}& \text{relative H}\ddot{\text{a}}\text{ufigkeit}\\ \hline 1&39&\frac{39}{100}=0,39\\ \hline 2&19&\frac{19}{100}=0,19\\ \hline 3&0&0\\ \hline 4&1&\frac{1}{100}=0,01\\ \hline 5&2&\frac{2}{100}=0,02\\ \hline 6&39&\frac{39}{100}=0,39\\ \hline \sum&100&1 \end{array}$

    In der letzten Zeile kannst du zum einen erkennen, dass insgesamt $100$-mal geworfen wurde, und zum anderen, dass die relativen Häufigkeiten sich zu $1$ addieren.

  • Ergänze die Begründung dafür, dass die relativen Häufigkeiten nicht „nahe“ an den Wahrscheinlichkeiten liegen.

    Tipps

    Bei einem Würfel könnte man annehmen, dass alle relativen Häufigkeiten sehr nahe beieinander liegen.

    Du kannst Aussagen zu der Lage bezüglich der Wahrscheinlichkeiten nur aufgrund der entsprechenden Fläche machen.

    Gleich große Flächen sind in der gleichen Farbe gezeichnet.

    Du kannst davon ausgehen, dass die entsprechenden relativen Häufigkeiten einander ungefähr entsprechen müssten, damit die relativen Häufigkeiten wie Wahrscheinlichkeiten behandelt werden können.

    Lösung

    Wenn die relative Häufigkeit in der Nähe der Wahrscheinlichkeit liegt, kann man mit der relativen Häufigkeit die Wahrscheinlichkeit abschätzen.

    Was bedeutet das? In Aufgaben werden oft relative Häufigkeiten angegeben. Unter bestimmten Voraussetzungen kann man mit diesen wie mit Wahrscheinlichkeiten rechnen.

    Welche Einschränkung gibt es?

    Schaue dir hierfür die folgende Tabelle der relativen Häufigkeiten beim $100$-maligen Werfen eines Quaders an, dessen Netz hier zu sehen ist.

    $\begin{array}{c|c|c} \text{Ergebnis}&\text{absolute H}\ddot{\text{a}}\text{ufigkeit}& \text{relative H}\ddot{\text{a}}\text{ufigkeit}\\ \hline 1&39&0,39\\ \hline 2&19&0,19\\ \hline 3&0&0\\ \hline 4&1&0,01\\ \hline 5&2&0,02\\ \hline 6&39&0,39\\ \hline \sum&100&1 \end{array}$

    Schauen wir uns nun die relativen Häufigkeiten von $2$ und von $5$ an. Dann fällt uns auf, dass diese doch sehr stark voneinander abweichen. Die relative Häufigkeit von $2$ ist fast zehnmal so groß wie die von $5$. Dies entspricht allerdings nicht der Tatsache, dass die entsprechenden Flächen des Quaders gleich groß sind.

    Damit kannst du folgern, dass mindestens eine der beiden relativen Häufigkeiten nicht nah bei der entsprechenden Wahrscheinlichkeit liegt.

  • Berechne die fehlenden relativen Häufigkeiten.

    Tipps

    Wenn du alle relativen Häufigkeiten addierst, erhältst du $1$.

    Addiere die gegebenen relativen Häufigkeiten und subtrahiere die Summe von $1$.

    Da die absoluten Häufigkeiten nicht gegeben sind, ist es nicht von Bedeutung, wie oft das jeweilige Zufallsgerät geworfen wird.

    Lösung

    Da die relativen Häufigkeiten sich als Quotienten aus den absoluten Häufigkeiten und der Anzahl der Versuchsdurchführungen ergeben, muss die Summe der relativen Häufigkeiten immer $1$ sein.

    Das bedeutet, dass du bei jedem Werfen der oben genannten Gegenstände die gegebenen relativen Häufigkeiten addierst und diese Summe dann von $1$ subtrahierst.

    • Beim Kegelstumpf beträgt die gesuchte relative Häufigkeit von „B“ $1-(0,2+0,5)=1-0,7=0,3$.
    • Beim Tetraeder hat die „3“ eine relative Häufigkeit von $1-(0,28+0,28+0,24)=1-0,8=0,2$.
    • Beim Zylinder ist die gesuchte relative Häufigkeit von „M“ $1-0,38=0,62$.
  • Entscheide, welche der relativen Häufigkeiten dem abgebildeten Quader am ehesten entsprechen könnten.

    Tipps

    Beachte, dass jedes der roten Felder größer ist als die blauen.

    Es geht in dieser Aufgabe nicht darum zu prüfen, ob die relativen Häufigkeiten gleich den Wahrscheinlichkeiten sind, sondern ob sie diesen entsprechen könnten.

    Die Wahrscheinlichkeiten sind ja auch nicht bekannt. Du könntest höchstens eine Vermutung darüber anstellen.

    Die relativen Häufigkeiten der Augenzahlen auf den roten Feldern müssen einander entsprechen.

    Lösung

    Da die Felder, auf welchen sich die Einsen und die Dreien befinden, gleich groß sind, sollte man davon ausgehen können, dass die relativen Häufigkeiten einander entsprechen. Das bedeutet, dass sie nicht zu weit voneinander abweichen sollten.

    Darüber hinaus sind die roten Felder größer als die blauen. Daraus kann man folgern, dass die relativen Häufigkeiten von $1$ und $3$ ähnlich groß sein sollten und diese wiederum größer sein sollten als die von $5$.

    Dies liegt bei den folgenden beiden Tabellen vor:

    $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Augenzahl}&1&3&5\\ \hline \text{rel.H.}&0,4&0,4&0,2\\ \end{array}$

    sowie

    $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Augenzahl}&1&3&5\\ \hline \text{rel.H.}&0,5&0,35&0,15\\ \end{array}$

    Wenn du allerdings einen Quader mit dem nebenstehenden Netz sehr oft wirfst, kann sich durchaus jede der oben in den Tabellen angegebenen relativen Häufigkeiten ergeben. Sie entsprechen nur nicht dem, was auf Grund der Größe der Fläche erwartet werden kann.

  • Gib an, wann man mit relativen Häufigkeiten Wahrscheinlichkeiten abschätzen kann.

    Tipps

    Schaue dir diesen Quader mit dem abgebildeten Netz an.

    Die relativen Häufigkeiten in der folgenden Tabelle können durchaus den Wahrscheinlichkeiten entsprechen:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} \text{Augenzahl}&1&2&3&4&5&6\\ \hline \text{rel.H.}&0,25&0,18&0,07&0,07&0,18&0,25\\ \end{array}$

    Wenn die relative Häufigkeit zu $2$ gleich $0,19$ und die relative Häufigkeit zu $5$ gleich $0,02$ ist, sollten wir aufmerksam werden.

    Man sollte davon ausgehen, dass zwei sich entsprechende relative Häufigkeiten sehr nahe beieinander liegen. Zwei gegenüberliegende Fläche entsprechen einander.

    Lösung

    Wenn die relative Häufigkeit in der Nähe der Wahrscheinlichkeit liegt, kann man mit der relativen Häufigkeit die Wahrscheinlichkeit abschätzen.

    Was bedeutet das?

    Schaue dir die folgende Aufgabe an:

    Ein Quader mit hier dargestelltem Netz wird zweimal hintereinander geworfen. Die relativen Häufigkeiten der einzelnen Augenzahlen kannst du der Tabelle entnehmen:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} \text{Augenzahl}&1&2&3&4&5&6\\ \hline \text{relative H}\ddot{\text{a}}\text{ufigkeit}&0,25&0,18&0,07&0,07&0,18&0,25\\ \end{array}$

    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du zweimal hintereinander die Zahl $6$ wirfst?

    Gute Frage. Hier sind leider die relativen Häufigkeiten und nicht die Wahrscheinlichkeiten angegeben. Du kannst jedoch in dieser Aufgabe die relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten verwenden, um die Aufgabe zu lösen. Warum? Die einander entsprechenden Augenzahlen, erkennbar an den gleichen Farben, haben die gleichen relativen Häufigkeiten.

    Sei $E$ das Ereignis „Zweimal $6$“, dann gilt:

    $P(E)=0,25\cdot 0,25=0,0625$.

    Dies folgt aus der 1. Pfadregel (Produktregel). Du multiplizierst die beiden Wahrscheinlichkeiten (also hier die relativen Häufigkeiten).

  • Leite die Wahrscheinlichkeiten des unmöglichen und des sicheren Ereignisses her.

    Tipps

    Die relativen Häufigkeiten berechnest du dadurch, dass du die entsprechenden absoluten Häufigkeiten durch die Anzahl der Versuchsdurchführungen dividierst.

    Was bedeuten die beiden Eigenschaften „unmöglich“ und „sicher“ eigentlich? Versuchen wir es zu beschreiben:

    • „Unmöglich“ heißt ein Ereignis, wenn es nie eintreten kann, zum Beispiel eine $7$, wenn du einen gewöhnlichen Spielwürfel wirfst.
    • „Sicher“ heißt ein Ereignis, wenn es immer eintreten wird, zum Beispiel eine Zahl zwischen $1$ und $6$ beim Werfen eines üblichen Spielwürfels.

    Du kannst beim viermaligen Werfen einer Münze durchaus viermal „Kopf“ werfen.

    Die relative Häufigkeit ist dann $1$. Du kannst dazu auch $100~\%$ sagen: $100~\%$ „Kopf“.

    Du kannst auch nie „Kopf“ werfen. Dann ist die relative Häufigkeit $0$.

    Lösung

    Eine Wahrscheinlichkeitszuordnung ordnet den Elementen einer Menge Zahlen zwischen $0$ und $1$ zu (die Wahrscheinlichkeiten). Deren Summe ist gerade $1$.

    Dies ist eine Eigenschaft, die Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten immer gemeinsam haben.

    Schauen wir uns nun einmal die kleinste und die größte Wahrscheinlichkeit an.

    Wahrscheinlichkeit $0$

    Diese Wahrscheinlichkeit tritt bei sogenannten unmöglichen Ereignissen ein. Dies schreibst du so: $P(\{\})=0$. Es ist unmöglich, dass dieses Ereignis eintritt. In diesem Fall ist es unmöglich, dass beim Münzwurf kein Ereignis eintritt.

    Relative Häufigkeiten können durchaus auch $0$ sein, wenn es sich nicht um ein unmögliches Ereignis handelt. Dies tritt dann ein, wenn du zum Beispiel eine Münze fünfmal wirfst und nie „Kopf“ wirfst. Das bedeutet jedoch nicht, dass „Kopf“ unmöglich ist.

    Wahrscheinlichkeit $1$

    Diese Wahrscheinlichkeit tritt bei sogenannten sicheren Ereignissen ein. Dies schreibst du so: $P(\Omega)=1$. Du könntest auch sagen: Das Ereignis tritt mit Sicherheit ein.

    Ebenso wie relative Häufigkeiten bewegen sich auch Wahrscheinlichkeiten im Bereich von $0$ bis $1$.

    Wenn du nie „Kopf“ wirfst, dann hast du fünfmal „Zahl“ geworfen. Die entsprechende relative Häufigkeit ist dann $1$. Das bedeutet allerdings nicht – wie bei Wahrscheinlichkeiten – dass ein sicheres Ereignis vorliegt.

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