sofatutor 30 Tage
kostenlos ausprobieren

Videos & Übungen für alle Fächer & Klassenstufen

Von der Parameterform in die Normalenform (ohne Kreuzprodukt) - Aufgabe 1

Bewertung

Ø 4.8 / 4 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik

Von der Parameterform in die Normalenform (ohne Kreuzprodukt) - Aufgabe 1

lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Von der Parameterform in die Normalenform (ohne Kreuzprodukt) - Aufgabe 1

Jede Ebene, die in Parameterform gegeben ist, können wir auch durch eine Normalenform beschreiben. Um eine solche Normalenform zu finden, brauchen wir zunächst einen Vektor, der zu einem Punkt der Ebene führt. Dafür können wir den Stützvektor verwenden. Für einen Normalenvektor ist jeder Vektor geeignet, der orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren ist. Im Video kannst du sehen, wie wir einen solchen Vektor mit einem Gleichungssystem finden können.

Transkript Von der Parameterform in die Normalenform (ohne Kreuzprodukt) - Aufgabe 1

Hallo. Wenn du weißt, was eine Parameterform einer Ebene ist und auch weißt, was eine Normalenform einer Ebene ist, dann können wir uns jetzt mal ansehen, wie man von der Parameterform in die Normalenform kommt. Das kann man mit Kreuzprodukt machen oder auch ohne, und in diesem Video machen wir das ohne Kreuzprodukt. Wir rechnen dazu ein Beispiel durch und dabei soll es nur darum gehen, wie man das rechnet, nicht, warum das so ist oder wie man sich das vorstellen kann. Wir haben hier die Schreibweise einer Parameterform einer Ebene. Die Ebene besteht aus den Endpunkten aller Vektoren x. Die folgende Darstellung haben a + r * b + s * c. a ist dabei ein Stützvektor, also ein Vektor, dessen Endpunkt in der Ebene liegt. b und c sind Richtungsvektoren und diese Vektoren liegen in der Ebene. Eine Normalenform kann man so aufschreiben: (x - p) * n = 0. Die Ebene besteht dann aus den Endpunkten aller Vektoren x. p ist ein Vektor, der zu einem Punkt der Ebene führt. n ist der Normalenvektor oder ein Normalenvektor. Und das ist ein Vektor, der senkrecht zur Ebene ist. Und dieses Sternchen hier ist eine Schreibweise für die Skalarmultiplikation und manchmal macht man da auch einen Kringel oder einfach einen Punkt. Gegeben ist nun eine Ebene in Parameterform: x = (4 9 1) + r * (1 2 0) + s * (1 0 3). Und wir suchen diese Ebene in Normalenform. Das bedeutet, wir brauchen ein p, also einen Vektor, dessen Endpunkt in der Ebene liegt, und diese Eigenschaft hat dieses a auch. Deshalb können wir für p einfach a einsetzen. Unser p ist also (4 9 1). Gesucht ist somit eigentlich nur noch der Normalenvektor oder ein Normalenvektor, genauer gesagt. Und der soll folgende Eigenschaften haben: Dieser Normalenvektor ist rechtwinklig zu b oder orthogonal, kann man sagen, ist senkrecht zu und der ist auch senkrecht zu c. Und diese beiden Bedingungen bedeuten nichts anderes, als dass das Skalarprodukt aus diesen Vektoren gleich 0 ist. Ich fange hier mit b an. (1 2 0) * der gesuchte Vektor n mit den Koordinaten n1, n2 und n3. Soll gleich 0 sein und (1 0 3), also c * gesuchter Normalenvektor (n1 n2 n3) soll auch gleich 0 sein. Wir können diese beiden Bedingungen als Gleichungssystem schreiben. Und hier steht ja 1 * n1 + 2 * n2 + 0 * n3 = 0. Und hier steht 1 * n1 + 0 * n2 + 3 * n3 = 0. Das ist ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen. Das bedeutet, dass wir im Normalfall uns dann einen Wert einer der Variablen aussuchen können. Ich nehme hier mal n1 = 1, warum nicht. Dann sieht dieses Gleichungssystem folgendermaßen aus. Wenn wir also für n1 1 einsetzen. Wir haben 1 * n1, das ist 1, weil wir ja für n1 1 eingesetzt haben, +2 * n2 und 0 * n3 kann ich weglassen, weil das ja 0 ist. Wir haben hier 1 * 1 ist wieder 1 + 0 * n2, kann ich weglassen, weil das ja gleich 0 ist, also +3 * n3. Das ist gleich 0. Ja, und weil wir hier und hier nun nichts stehen haben, sind wir jetzt eigentlich schon fertig mit einer kleinen Umformung jeweils. Wir können also hinschreiben: n2 = -1/2 und n3 = -1/3. Wir haben also eine Normalenform dieser Ebene gefunden. Und dann brauchen wir es nur noch aufzuschreiben. Wir haben (x - p). p ist bei uns (4 9 1) * , unser Normalenvektor hat die Koordinaten (1 -1/2 -1/3). Und dieses Skalarprodukt soll 0 sein. Und dann sind wir hier fertig. So, das war es dazu. Wir haben für die Normalenform einfach den Stützvektor aus der Parameterform genommen und wir haben mit einem kleinen Gleichungssystem einen Vektor gefunden, der senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren der Parameterform ist, damit also auch senkrecht zur Ebene ist, und damit ein geeigneter Normalenvektor ist. Viel Spaß damit, tschüss.

Von der Parameterform in die Normalenform (ohne Kreuzprodukt) - Aufgabe 1 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Von der Parameterform in die Normalenform (ohne Kreuzprodukt) - Aufgabe 1 kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Bedingungen an, die der Normalenvektor erfüllen muss, und stelle das resultierende Gleichungssystem auf.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für das Bilden eines Skalarproduktes zweier Vektoren:

    $\begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ -1 \end{pmatrix}\star\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix}=3\cdot 2+2\cdot 2+(-1)\cdot3=6+4-3=7$

    Ein Normalenvektor einer Ebene steht stets senkrecht zu dieser.

    Beachte: Wenn zwei Vektoren senkrecht zueinander sind, dann muss das Skalarprodukt dieser Vektoren $0$ sein.

    Lösung

    Ein Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht zu dieser Ebene. Das bedeutet insbesondere, dass er senkrecht auf jedem Richtungsvektor der Ebene steht und somit das Skalarprodukt von Normalen- und Richtungsvektor $0$ sein muss. Es resultieren also folgende Bedingungen:

    • $\vec b\perp\vec n~\Leftrightarrow~\vec b\star \vec n=0$
    • $\vec c\perp\vec n~\Leftrightarrow~\vec c\star \vec n=0$
    Sei

    $\vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2\\ n_3 \end{pmatrix}$

    der gesuchte Normalenvektor, so liefern die beiden Bedingungen das folgende Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Dabei werden die folgenden Skalarprodukte verwendet:

    • $\vec b\star \vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}\star \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}=n_1+2n_2$
    • $\vec c\star \vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}\star \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}=n_1+3n_3$
    $\left| \begin{array}{ccccccccccc} n_1&+&2n_2&&&=&0\\ n_1&&&+&3n_3&=&0 \end{array}\right|$

  • Stelle die Ebenengleichung in der Normalenform auf.

    Tipps

    Eine Ebenengleichung in Normalenform sieht so aus:

    $E:(\vec x-\vec p)\star\vec n=0$.

    Dabei ist

    • $\vec p$ ein Vektor, der zu einem Punkt der Ebene führt und
    • $\vec n$ ein Normalenvektor der Ebene.
    Übrigens: $\vec p$ entspricht dem Stützvektor der Ebenengleichung in Parameterform.

    Ein Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf jedem der beiden Richtungsvektoren.

    Die Richtungsvektoren können der Ebenengleichung in Parameterform entnommen werden. In der allgemeinen Parameterform einer Ebenengleichung

    $E:\vec x=\vec{a}+r\cdot\vec{b}+s\cdot \vec{c}$

    sind $\vec b$ und $\vec c$ die jeweiligen Richtungsvektoren.

    Lösung

    Den Stützvektor aus der gegebenen Ebenengleichung in Parameterform

    $\vec a=\begin{pmatrix} 4 \\ 9\\ 1 \end{pmatrix}$

    kannst du direkt für den Vektor $\vec p$ übernehmen. Eingesetzt in die Ebenengleichung in Normalenform resultiert dann:

    $E:\left(\vec x-\begin{pmatrix} 4 \\ 9\\ 1 \end{pmatrix}\right)\star\vec n=0$

    Nun musst du noch einen Normalenvektor bestimmen. Da dieser senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht, erhältst du das folgende Gleichungssystem:

    $\left| \begin{array}{ccccccccccc} n_1&+&2n_2&&&=&0\\ n_1&&&+&3n_3&=&0 \end{array}\right|$

    Da hier zwei Gleichungen mit drei Unbekannten vorliegen, kannst du im Normalfall eine der drei Unbekannten frei wählen, zum Beispiel $n_1=1$. Dies führt zu

    $\left| \begin{array}{ccccccccccc} 1&+&2n_2&&&=&0\\ 1&&&+&3n_3&=&0 \end{array}\right|$

    Nun kannst du die beiden Unbekannten $n_2$ und $n_3$ durch Äquivalenzumformungen berechnen:

    • Subtrahiere in der oberen der beiden Gleichungen auf beiden Seiten der Gleichung $1$ und dividiere durch $2$. Dies führt zu $n_2=-\frac12$.
    • Subtrahiere in der unteren der beiden Gleichungen ebenfalls auf beiden Seiten der Gleichung $1$ und dividiere anschließend durch $3$. Dies führt zu $n_3=-\frac13$.
    Nun hast du alle Koordinaten des Normalenvektors bestimmt und kannst schließlich die Ebenengleichung in Normalenform angeben:

    $E:\left(\vec x-\begin{pmatrix} 4 \\ 9\\ 1 \end{pmatrix}\right)\star\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac12\\ -\frac13 \end{pmatrix}=0$

    Übrigens: Um das Rechnen mit Brüchen zu vermeiden, kannst du auch jede Koordinate des Normalenvektors mit $6$ multiplizieren. Dies ist das kleinste gemeinsame Vielfache von $2$ und $3$. So erhältst du

    $\begin{pmatrix} 6 \\ -3\\ -2 \end{pmatrix}$

    Auch dieser Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene. Dies kannst du überprüfen, indem du diesen Vektor mit jedem der beiden Richtungsvektoren skalarmultiplizierst. Es muss jeweils als Ergebnis $0$ herauskommen.

    Merke dir: Bis auf Kollinearität ist der Normalenvektor eindeutig. Steht ein Vektor senkrecht zu einer Ebene, so tut dies auch jedes Vielfache dieses Vektors.

  • Prüfe, welche der Vektoren Normalenvektoren zu der gegebenen Ebene in Parameterform sind.

    Tipps

    Wenn du den Normalenvektor

    $\vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2\\ n_3 \end{pmatrix}$

    mit jedem der Richtungsvektoren skalarmultiplizierst, erhältst du folgendes Gleichungssystem:

    $\left| \begin{array}{ccccccccccc} &&n_2&+&3n_3&=&0\\ 3n_1&+&n_2&+&2n_3&=&0 \end{array}\right|$

    Wähle in diesem Gleichungssystem

    $\left| \begin{array}{ccccccccccc} &&n_2&+&3n_3&=&0\\ 3n_1&+&n_2&+&2n_3&=&0 \end{array}\right|$

    entweder $n_2$ oder $n_3$ in der oberen Gleichung frei.

    Forme dann nach den fehlenden Koordinaten um.

    Du kannst auch jeden der gegebenen Vektoren mit den Richtungsvektoren skalarmultiplizieren und prüfen, ob jeweils das Ergebnis $0$ herauskommt.

    Jedes Vielfache eines Normalenvektors einer Ebene ist selbst auch wieder Normalenvektor der Ebene.

    Lösung

    Üblicherweise ist der Normalenvektor $\vec n$ nicht gegeben. Du kannst in dieser Aufgabe noch einmal wiederholen, was einen Normalenvektor zum einen auszeichnet und wie du diesen zum anderen bestimmst.

    Dieser Vektor $\vec n$ muss senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren stehen. Die Richtungsvektoren sind:

    $\vec b=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec c=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$

    Das bedeutet, dass du zum Ermitteln der Koordinaten des Normalenvektors

    $\vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2\\ n_3 \end{pmatrix}$

    das folgende Gleichungssystem lösen musst:

    $\left| \begin{array}{ccccccccccc} &&n_2&+&3n_3&=&0\\ 3n_1&+&n_2&+&2n_3&=&0 \end{array}\right|$

    Da in der oberen der beiden Gleichungen bereits eine der Unbekannten fehlt, kannst du in dieser entweder $n_2$ oder $n_3$ frei wählen, zum Beispiel $n_3=-3$.

    Dann ist $n_2-9=0$ oder $n_2=9$. Setze diese beiden Koordinaten nun in die untere der beiden Gleichungen ein: $3n_1+9-6=0$. Du kannst noch zusammenfassen zu $3n_1+3=0$. Subtrahiere nun $3$ und dividiere durch $3$ auf beiden Seiten der Gleichung. Dies führt zu $n_1=-1$.

    Damit ist

    $\vec n=\begin{pmatrix} -1 \\ 9\\ -3 \end{pmatrix}$

    Auch jedes Vielfache dieses Vektors ist ein Normalenvektor der Ebene.

    Somit sind auch die Vektoren

    $\begin{pmatrix} -\frac13 \\3\\ -1 \end{pmatrix}=\frac13\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 9\\ -3 \end{pmatrix}$

    sowie

    $\begin{pmatrix} \frac13 \\-3\\ 1 \end{pmatrix}=-\frac13\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 9\\ -3 \end{pmatrix}$

    Normalenvektoren der Ebene.

    Alle anderen angegebenen Vektoren sind nicht Normalenvektoren der Ebene.

  • Ermittle die Koordinaten der Vektoren $\vec p$ sowie $\vec n$.

    Tipps

    Den Vektor $\vec p$ kannst du direkt der Ebenengleichung in Parameterform entnehmen.

    Der Normalenvektor muss senkrecht auf beiden Richtungsvektoren der Ebene stehen.

    Die Richtungsvektoren können der Ebenengleichung in Parameterform entnommen werden. In der allgemeinen Parameterform einer Ebenengleichung

    $E:\vec x=\vec{a}+r\cdot\vec{b}+s\cdot \vec{c}$

    sind $\vec b$ und $\vec c$ die jeweiligen Richtungsvektoren.

    Bei der Bestimmung des Normalenvektors erhältst du das folgende Gleichungssystem:

    $\left| \begin{array}{ccccccccccc} 2n_1&+&n_2&+&n_3&=&0\\ n_1&+&4n_2&+&n_3&=&0 \end{array}\right|$

    Da in dem Gleichungssystem zwei Gleichungen gegeben sind und drei Unbekannte gesucht, kannst du im Normalfall eine Unbekannte frei wählen.

    Falls du einen anderen Normalenvektor gefunden haben solltest, ist dieser sicher ein Vielfaches des hier gegebenen.

    Lösung

    Das Vorgehen wird im Folgenden am Beispiel der Ebene $E_1$ gezeigt.

    Die Bestimmung des Vektors $\vec p$ der Normalenform

    $E:(\vec x-\vec p)\star\vec n=0$

    ist recht schnell erledigt. Dieser Vektor führt zu einem Punkt der Ebene. Ein solcher ist durch den Stützvektor $\vec a$ der dargestellten Ebenengleichung in Parameterform gegeben:

    $\vec p=\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2\\ p_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 6\\4 \end{pmatrix}$

    Etwas mehr Aufwand bereitet da schon die Bestimmung eines Normalenvektors $\vec n$. Dieser muss auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen. Das bedeutet, dass das Skalarprodukt des Normalenvektors

    $\vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2\\ n_3 \end{pmatrix}$

    mit jedem der beiden Richtungsvektoren gleich $0$ sein muss. So erhältst du das folgende Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten:

    $\left| \begin{array}{ccccccccccc} 2n_1&+&n_2&+&n_3&=&0\\ n_1&+&4n_2&+&n_3&=&0 \end{array}\right|$

    Subtrahiere von der unteren Gleichung die obere, so kannst du $n_3$ eliminieren: $-n_1+3n_2=0$.

    Wähle beispielsweise $n_1=3$, so erhältst du $-3+3n_2=0$. Addiere $3$ und dividiere durch $3$ auf beiden Seiten der Gleichung. Dies führt zu $n_2=1$.

    Setze noch $n_1$ sowie $n_2$ in eine der beiden Gleichungen, zum Beispiel die obere, ein: $6+1+n_3=0$. Subtrahiere nun $7$ auf beiden Seiten der Gleichung. Dies führt zu $n_3=-7$.

    Damit ist

    $\vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2\\ n_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ -7\end{pmatrix}$

    Nun kannst du die Ebenengleichung in Normalenform aufschreiben:

    $E:\left(\vec x-\begin{pmatrix} 2 \\ 6\\4 \end{pmatrix}\right)\star\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ -7\end{pmatrix}=0$

  • Beschreibe die Größen, die in einer Normalenform einer Ebenengleichung vorkommen.

    Tipps

    Schau dir die Abbildung an. Die Enden der Ortsvektoren $\vec{x_1}$, $\vec{x_2}$ und $\vec{x_3}$ liegen alle in derselben Ebene

    Wenn du von zwei Vektoren das Skalarprodukt bildest, erhältst du eine Zahl bzw. einen Skalar.

    Beachte, dass die $0$ auf der rechten Seite der Normalenform eine Zahl ist und nicht der Nullvektor.

    Die Richtungsvektoren einer Ebene „spannen“ diese auf, „liegen“ also in der Ebene.

    Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf der Ebene und somit auch auf den Richtungsvektoren der Ebene.

    Lösung

    Eine Normalenform ist so wie hier zu sehen gegeben:

    • Die Ebene besteht aus den Endpunkten aller Vektoren $\vec x$.
    • $\vec p$ ist ein Vektor, der zu einem Punkt der Ebene führt.
    • $\vec n$ ist ein Normalenvektor der Ebene.
    • $\star$ ist der Operator für eine Skalarmultiplikation.
  • Entscheide, welche der Gleichungen eine Ebenengleichung in Normalenform ist.

    Tipps

    Beachte: Sowohl der Normalenvektor $\vec n$ als auch der Vektor $\vec p$ haben unendlich viele Lösungen.

    Hast du einen Normalenvektor gefunden, so kannst du diesen mit einer beliebigen Zahl (ungleich $0$) multiplizieren und erhältst damit einen weiteren Normalenvektor.

    $k\cdot\vec n=\begin{pmatrix} -k \\ 2k\\ -2k \end{pmatrix},~k\neq 0$

    Es gibt unendlich viele Punkte auf der Ebene.

    Setze in die gegebene Ebenengleichung in Parameterform für $\vec x$ den Vektor $\vec p$ aus der Ebenengleichung in Normalenform ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt ist.

    Ist dies der Fall, kann eine Normalenform der Ebene vorliegen, andernfalls liegt der Punkt nicht in der Ebene $E$.

    Lösung

    Der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene kann für $\vec p$ eingesetzt werden, zum Beispiel

    $\vec p=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$

    oder

    $\vec p=\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 2 \end{pmatrix}$

    Diesen Ortsvektor eines Punktes der Ebene erhältst du für $r=s=1$.

    Der Normalenvektor

    $\vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2\\ n_3 \end{pmatrix}$

    erfüllt die Gleichungen

    $\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \star \vec n=0$ sowie $\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\star \vec n=0$.

    Dies führt zu dem folgenden Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten:

    $\left| \begin{array}{ccccccccccc} &&n_2&+&n_3&=&0\\ 2n_1&+&n_2&&&=&0 \end{array}\right|$

    Du siehst, in beiden Gleichungen kommen jeweils nur zwei Unbekannte vor. Wähle eine der Unbekannten frei, zum Beispiel $n_2=2$. Dann ist $n_3=-2$ und $2n_1+2=0$, also $n_1=-1$.

    Ein Normalenvektor der Ebene lautet damit

    $\vec n=\begin{pmatrix} -1 \\ 2\\ -2 \end{pmatrix}$

    Damit ist eine Ebenengleichung in Normalenform gegeben durch:

    $E:\left(\vec x-\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right)\star \begin{pmatrix} -1 \\ 2\\ -2 \end{pmatrix}=0$

    Du kannst für $\vec p$ auch den oben angegebenen Ortsvektor einsetzen.

    Jedes Vielfache des Normalenvektors $k\cdot\vec n=\begin{pmatrix} -k \\ 2k\\ -2k \end{pmatrix}$ ist ebenfalls ein Normalenvektor.

    Damit sind nur die folgenden beiden Gleichungen nicht Normalenform der gegebenen Ebene:

    $E:\left(\vec x-\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 0 \end{pmatrix}\right)\star \begin{pmatrix} -1 \\ 2\\ -2 \end{pmatrix}=0$,

    da der Vektor

    $\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 0 \end{pmatrix}$

    nicht zu einem Punkt der Ebene führt, sowie

    $E:\left(\vec x-\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right)\star \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ -2 \end{pmatrix}=0$,

    da der Normalenvektor nicht korrekt ist.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
Im Vollzugang erhältst du:

10.864

Lernvideos

44.048

Übungen

38.597

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

In allen Fächern und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden