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Von der Parameterform in die Normalenform mit Kreuzprodukt

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Martin Wabnik

Von der Parameterform in die Normalenform mit Kreuzprodukt

lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Von der Parameterform in die Normalenform mit Kreuzprodukt

Zu den Standardaufgaben der Vektorrechnung gehört die Umformung einer Ebene in ihre verschiedenen Darstellungsformen. Davon gibt es drei: die Parameterform, die Koordinatenform und Normalenform. Hier möchte ich dir zeigen, wie du eine gegebene Ebene in der Parameterform in die Normalenform bringst. Dazu betrachten wir das Beispiel E: (1/ -2/ 5) + r (3/ 2/ -2) + s (2/ -2/ 4). Wir verwenden für das Umformen das Kreuzprodukt. Wenn du das noch nicht kennst, schau dir doch kurz ein Video dazu an.

Transkript Von der Parameterform in die Normalenform mit Kreuzprodukt

Hallo! “Von der Parameterform in die Normalenform mithilfe des Kreuzproduktes” - das ist unser Thema hier. Wir können eine Ebene, die in Parameterform gegeben ist, in eine Normalenform umformen. Und zwar, indem wir im Wesentlichen einen Normalenvektor finden. Den kann man auch ohne das Kreuzprodukt finden, wird aber in diesem Film nicht dargestellt. Wenn du wissen möchtest, wie man von der Parameterform in die Normalenform kommt, ohne das Kreuzprodukt zu benutzen, dann schau dir bitte den Film an, in dem das ohne das Kreuzprodukt erklärt wird. Hier ist es also mit Kreuzprodukt. Das ist deshalb dann recht einfach, weil man, um einen Normalenvektor zu finden, dann nicht erst Gleichungen auflösen muss, sondern man kann einen Normalenvektor direkt ausrechnen. Hier zunächst mal die Ebene in Parameterform. Da fällt mir gerade auf, dass hier noch ein x hinkommen müsste. Die Ebene ist x = das, was hier steht. Ich hoffe, du kommst damit klar, dass jetzt kein x steht. Also, Stützvektor, Richtungsvektor, Richtungsvektor, die Parameter sind r und s. Wenn wir jetzt einen Normalenvektor zu dieser Ebene suchen, dann brauchen wir nur die beiden Richtungsvektoren hier kreuzweise zu multiplizieren und es entsteht ein Vektor, der rechtwinklig ist zu den beiden Vektoren, die man miteinander multipliziert hat. Hier ist einfach noch mal die Definition des Kreuzproduktes. Wenn du die nicht auswendig kannst, dann kannst du das nach der Merkregel machen. Merkregel lautet so: Du schreibst den ersten Richtungsvektor quasi zweimal untereinander, den zweiten auch, und rechnest dann das Kreuzprodukt so aus: 1·4-(-2)·(-2). Das ist 0. Nächstes Kreuz: -2·2-3·4=-16. Drittes Kreuz: 3·(-2)-1·2=-8. Und den Vektor habe ich jetzt durch -8 geteilt, damit ich einen Vektor gleicher Richtung habe beziehungsweise entgegengesetzter Richtung. Der definiert aber dann als Normalenvektor die gleiche Ebene wie vorher, und der etwas kleinere Zahlen hat. Das macht man meistens so, falls man in der weiteren Rechnung die dann entstandene Normalenform noch braucht, dann ist es oft günstig, wenn man da möglichst einfache Zahlen stehen hat. Wenn der Normalenvektor da ist, fertig ist, dann brauchen wir quasi nur noch hinzuschreiben. Da hier muss jetzt wirklich kein x hin. Da hätte es hingemusst, egal. Normalenvektor mal, also hier ist das Skalarprodukt gemeint, Differenz aus einem Vektor, der zu einem Punkt der Ebene führt und einem Punkt der Ebene. Als Punkt der Ebene verwenden wir einfach hier den Stützvektor. Der führt ja zu einem Punkt der Ebene. Ja, und damit ist die Normalenform fertig oder eine Normalenform, es gibt ja immer viele. Ja, viel Spaß damit, tschüss!

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