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Von der Normalenform in die Parameterform - Aufgabe 1 08:47 min

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Transkript Von der Normalenform in die Parameterform - Aufgabe 1

Hallo! Wenn du weißt, was eine Normalenform einer Ebene ist und auch weißt, was eine Parameterform einer Ebene ist, dann können wir uns jetzt einmal ansehen, wie wir von der normalen Form in die Parameterform kommen. Dafür können wir einfach ein Beispiel durchrechnen. Und in diesem Video soll es nur darum gehen, wie man das rechnet. Also nicht, warum das so ist, es kommen also jetzt keine weiteren Erklärungen dazu. Wir haben hier eine Schreibweise der Normalenform. Die Ebene besteht dann aus den Endpunkten der Vektoren x. Für die folgende Gleichung gilt: (x-p) × n = 0. p ist ein Vektor, der zu einem Punkt der Ebene führt. n ist ein Normalenvektor der Ebene und das ist hier ein Zeichen für die Skalarmultiplikation. Eine Parameterform kann man folgendermaßen schreiben. Die Ebene besteht also aus den Endpunkten aller Vektoren, die folgende Darstellung haben: a+r×b+s×c. a ist dabei ein Stützvektor, b und c sind Richtungsvektoren. Wir haben nun eine Ebene gegeben, und zwar die Ebene (x- (3, 5, 1)) × (1, -1, 2) = 0. Eine Ebene, die in Normalenform gegeben ist. Wir suchen nun die Vektoren a, b und c. Und a ist ein Stützvektor, also ein Vektor, dessen Endpunkt in der Ebene liegt. Und p hat genau die gleiche Eigenschaft, das heißt für a nehmen wir einfach p, in unserem Fall (3, 5, 1). Gesucht sind also nur noch die Vektoren b und c. Und die sollen jeweils senkrecht zum Normalenvektor sein, also senkrecht zu n. Das kann man so schreiben. Und b und c sollen voneinander linear unabhängig sein. In diesem Fall bedeutet das, dass es also keine Zahl gibt, die man so mit dem Vektor c multiplizieren kann, dass b herauskommt. Also b und c sollen keine Vielfachen voneinander sein. Wir wissen nun, dass der Vektor b mit seinen 3 Koordinaten b1, b2 und b3 rechtwinklig zum Normalenvektor sein soll. Das bedeutet, dass das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor (1, -2, 2) und dem Vektor b=0. Und diese Gleichung kann man auch anders hinschreiben, nämlich 1×b1. Das ist jetzt das übliche Malzeichen, also für die üblichen Multiplikationen. -1×b2+2×b3. Und das soll gleich 0 sein. Wir haben jetzt eine Gleichung mit 3 Variablen und im Normalfall können wir dann 2 Variablen einfach wählen. Wir setzen b1=b2=1. Warum nicht. Man kann auch eine andere Zahl nehmen. Ich nehme jetzt die 1. Daraus folgt nun, dass diese Gleichung hier folgende Gestalt hat, mit den eingesetzten b1 und b2: 1×1-1×1+2×b3=0. Und das ist genau dann der Fall, wenn b3=0 ist. Damit haben wir also unseren Vektor b gefunden. b1, b2 sind jeweils 1 und b3=0. Wir suchen nun einen geeigneten Vektor c. Der soll rechtwinklig zu n sein. Das bedeutet, das Skalarprodukt von n und c = 0. Das Skalarprodukt schreibe ich gleich in dieser Form auf hier. Wir haben also 1×c1-1×c2+2×c3=0. Das ist eine Gleichung mit 3 Variablen. Das heißt, 2 Variablen können wir im Normalfall dann einfach ersetzen. Wir wissen aber auch, dass eben c nicht Vielfaches von b sein soll. Und das erreichen wir, indem wir c1=b1 setzen. Aber wir setzen c2≠b2. Also zum Beispiel können wir sagen c2 soll jetzt -1 sein. Wenn wir das also hier oben einsetzen, erhalten wir folgende Gleichung: 1×1-1×(-1), ja, das ist c2, +2×c3=0. Und das ist genau dann der Fall, wenn c3=-1 ist. Damit haben dann unseren Vektor c gefunden. c ist dann (1, -1, -1). Dann können wir also die Ebene in Parameterform aufschreiben. Die Ebene E besteht aus allen Vektoren x mit folgender Darstellung. Der Stützvektor ist (3, 5, 1) + erster Parameter mal Richtungsvektor, Richtungsvektor b, haben wir herausgefunden mit (1, 1, 0) + zweiter Parameter s mal zweiter Richtungsvektor. Der steht hier (1, -1, -1). Und damit sind wir fertig. So, das war es im Wesentlichen dazu. Wir haben den Stützvektor der Parameterform einfach aus der normalen Form genommen. Und wir haben zwei Vektoren gefunden, die zum Normalenvektor senkrecht sind und die auch noch voneinander linear unabhängig sind, also die nicht so sind, sondern so. Das war es dazu. So, viel Spaß damit, tschüss.

Von der Normalenform in die Parameterform - Aufgabe 1 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Von der Normalenform in die Parameterform - Aufgabe 1 kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Ebenengleichung in Normalenform sowie in Parameterform.

    Tipps

    Du musst in beiden Darstellungsformen einen Punkt der Ebene kennen.

    Der Ortsvektor dieses Punktes kommt in jeder der beiden Darstellungsformen vor.

    Die beiden reellen Zahlen $r$ und $s$ in der unteren Darstellung werden als Parameter bezeichnet.

    Achte auf die Bezeichnungen:

    • Parameter und „Parameterform“ sowie
    • Normalenvektor und „Normalenform“.
    Lösung

    Hier siehst du eine Ebenengleichung in Normalenform:

    $\mathbb{E}:(\vec x-\vec p)\star \vec n=0$.

    Dabei besteht die Ebene aus den Endpunkten der Vektoren $\vec x$.

    • $\vec p$ ist ein Vektor, der zu einem Punkt der Ebene führt.
    • $\vec n$ ist ein Normalenvektor der Ebene.
    • $\star$ zeigt an, dass es sich um eine Skalarmultiplikation zweier Vektoren handelt.
    Nun folgt die Parameterform einer Ebene:

    $\mathbb{E}:\vec x=\vec a+r\cdot \vec b+s\cdot \vec c$.

    Auch hier besteht die Ebene aus den Endpunkten der Vektoren $\vec x$.

    • $\vec a$ ist ein Stützvektor. Dieser zeigt auf einen Punkt der Ebene.
    • $\vec b$ und $\vec c$ sind Richtungsvektoren.
    • $r$ und $s$ sind Parameter, welche im Bereich der reellen Zahlen liegen.
  • Stelle die Ebene in Parameterform dar.

    Tipps

    Schaue dir ein Beispiel für eine Skalarmultiplikation an:

    $\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\2 \end{pmatrix}\star\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\-2 \end{pmatrix}=3\cdot 1+1\cdot (-1)+2\cdot (-2)=-2$.

    Du multiplizierst die Vektoren also koordinatenweise und addierst die Produkte.

    Wenn du eine Gleichung mit drei Unbekannten hast, kannst du zwei der drei Unbekannten frei wählen. Setze diese in die Gleichung ein und forme dann nach der verbleibenden Unbekannten um.

    Sowohl der Vektor $\vec p$ aus der Normalenform als auch der Vektor $\vec a$ aus der Parameterform zeigen auf einen Punkt der Ebene.

    Lösung

    Diese Ebene in Normalenform soll in eine Parameterform umgeformt werden:

    $\mathbb{E}:\vec x=\vec a+r\cdot \vec b+s\cdot \vec c$.

    Das bedeutet, dass ein Stützvektor $\vec a$ sowie zwei Richtungsvektoren $\vec b$ und $\vec c$ gesucht sind.

    Der Vektor $\begin{pmatrix} 3 \\ 5\\1 \end{pmatrix}$ in der Normalenform zeigt auf einen Punkt der Ebene. Das bedeutet, dass dieser auch ein Stützvektor der Ebene ist.

    Die beiden Richtungsvektoren verlaufen senkrecht zu dem Normalenvektor der Ebene. Das bedeutet, dass jeweils das Skalarprodukt $0$ sein muss. Zusätzlich dürfen die beiden Vektoren nicht kollinear sein, da sie ansonsten keine Ebene bestimmen.

    Somit gilt für den Vektor $\vec b$

    $\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\2 \end{pmatrix}\star\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\b_3 \end{pmatrix}=1\cdot b_1-1\cdot b_2+2\cdot b_3=0$.

    Dies ist eine Gleichung mit drei Unbekannten. Es dürfen also zwei Unbekannte frei gewählt werden, zum Beispiel $b_1=b_2=1$. Dies führt zu $1\cdot 1-1\cdot 1+2\cdot b_3=2\cdot b_3=0$, also $b_3=0$.

    Damit ist unser erster Richtungsvektor $\vec b=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{pmatrix}$.

    Ebenso kann der Vektor $\vec c$ bestimmt werden:

    $\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\2 \end{pmatrix}\star\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2\\c_3 \end{pmatrix}=1\cdot c_1-1\cdot c_2+2\cdot c_3=0$.

    Dies ist ebenfalls eine Gleichung mit drei Unbekannten. Bei der Wahl der Werte für die zwei Unbekannten musst du darauf achten, dass die resultierenden Vektoren nicht kollinear sein dürfen. Wähle zum Beispiel $c_1=b_1=1$ und $c_2=-1\neq b_2$. Du erhältst so $1\cdot 1-1\cdot (-1)+2\cdot c_3=2+2\cdot c_3=0$. Subtrahiere nun $2$ und dividiere anschließend durch $2$. So kommst du zu $c_3=-1$.

    Damit ist unser zweiter Richtungsvektor $\vec c=\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\-1 \end{pmatrix}$.

    Nun kann die Ebenengleichung in Parameterform angegeben werden:

    $\mathbb{E}:\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 5\\1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\-1 \end{pmatrix}$.

  • Prüfe, welche der Vektoren senkrecht zu dem Vektor $\vec n$ stehen.

    Tipps

    Prüfe jeweils, ob das Skalarprodukt $0$ ist.

    Gehe wie folgt vor:

    • Setze eine Koordinate gleich $0$.
    • Vertausche die beiden verbleibenden Koordinaten.
    • Ändere bei einer der beiden verbleibenden Koordinaten das Vorzeichen.

    Es sind drei Vektoren senkrecht zu dem gegebenen Normalenvektor.

    Jeweils zwei dieser drei Vektoren sind nicht kollinear zueinander, da sie an verschiedenen Stellen eine $0$ haben.

    Lösung

    Wenn du allgemein einen Vektor $\vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2\\n_3 \end{pmatrix}$ betrachtest, findest du ganz leicht senkrechte Vektoren (orthogonale Vektoren). Diese Vektoren haben folgende Form:

    $\vec u=\begin{pmatrix} 0 \\ n_3\\-n_2 \end{pmatrix}$, $\vec v=\begin{pmatrix} n_3 \\ 0\\-n_1 \end{pmatrix}$ und $\vec w=\begin{pmatrix} -n_2 \\ n_1\\0 \end{pmatrix}$

    Wie kommen wir denn darauf? Schauen wir uns das Vorgehen genauer an:

    1. Du setzt eine der drei Koordinaten $0$,
    2. vertauschst die beiden verbleibenden Koordinaten und
    3. änderst bei einer der beiden vertauschten Koordinaten das Vorzeichen.
    Dieses Verfahren führt in jedem Fall zu zwei nicht kollinearen Vektoren. Ein besonderer Fall liegt vor, wenn$\vec n=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{pmatrix}$ zwei Koordinaten hat, die gleich $0$ sind. Dann wäre einer der drei Vektoren der Nullvektor. Da du allerdings nur zwei Vektoren benötigst, nimmst du die beiden anderen Vektoren.

    Nun kommen wir zu dem Beispiel des obigen Normalenvektors. Die folgenden drei Vektoren (und natürlich noch sehr viele mehr) sind orthogonal zu diesem Vektor:

    $\begin{pmatrix} 0 \\ 3\\2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -3 \\ 0\\1 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\0 \end{pmatrix}$.

    Jeweils zwei dieser drei Vektoren sind nicht kollinear, da sie jeweils an verschiedenen Stellen eine $0$ haben.

  • Bestimme den Stützvektor sowie die Richtungsvektoren der Ebene.

    Tipps

    Verwende die skalare Multiplikation. Schaue dir diese an einem Beispiel an.

    $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\3 \end{pmatrix}\star\begin{pmatrix} 0 \\ 3\\-4 \end{pmatrix}=1\cdot 0+1\cdot 3+3\cdot (-4)=-9$

    Beachte, dass die Richtungsvektoren nicht kollinear sein dürfen.

    Wenn zwei Vektoren senkrecht zueinander sind, ist deren Skalarprodukt gleich $0$.

    Lösung

    Hier siehst du eine Ebene in Normalenform. Gesucht ist eine Parameterform dieser Ebene:

    $\mathbb{E}:\vec x=\vec a+r\cdot \vec b+s\cdot \vec c$.

    Wir suchen also einen Stützvektor $\vec a$ sowie zwei Richtungsvektoren $\vec b$ und $\vec c$.

    Es ist $\vec a=\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\-1 \end{pmatrix}$.

    Nun müssen noch die beiden Richtungsvektoren bestimmt werden. Diese sind zum einen senkrecht zum Normalenvektor der Ebene und zum anderen dürfen sie nicht untereinander kollinear sein.

    Für beide Vektoren muss also gelten: $\vec b\star \vec n=0$ sowie $\vec c\star \vec n=0$.

    Wir beginnen mit $\vec b$. Durch Einsetzen des Normalenvektors erhalten wir mit der Skalarmultiplikation die Gleichung $2b_2+3b_3=0$.

    Setze $b_2=-3$, dann ist $b_3=2$. Da die x-Koordinate des Normalenvektors $0$ ist, kann $b_1$ beliebig gewählt werden, zum Beispiel $b_1=1$.

    Dann ist $\vec b=\begin{pmatrix} 1 \\ -3\\2 \end{pmatrix}$.

    Kommen wir nun zu dem Vektor $\vec c$. Auch hier ist eine Gleichung $2c_2+3c_3=0$ zu lösen. Da $c_1$ frei wählbar ist, kann man $c_1=1$ und $c_2=c_3=0$ wählen. Beachte, dass der Nullvektor kein Richtungsvektor sein kann, da der Nullvektor zu jedem beliebigen Vektor kollinear ist.

    Somit ist $\vec c=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}$.

    Nun kann die Ebenengleichung in Parameterform angegeben werden:

    $\mathbb{E}:\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\-1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3\\2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}$.

  • Gib an, welche Bedingungen die Richtungsvektoren der Ebene in Parameterform erfüllen müssen.

    Tipps
    • Der Vektor $\vec p$ der Ebene in Normalenform zeigt auf einen Punkt der Ebene.
    • Der Vektor $\vec n$ ist ein Normalenvektor der Ebene. Daher kommt der Name.

    Zwei Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ heißen kollinear, wenn sich einer der beiden Vektoren als Vielfaches des anderen schreiben lässt:

    $\vec u=k\cdot \vec v$.

    Wenn zwei Vektoren kollinear sind, dann gilt:

    $r\cdot \vec u+s\cdot \vec v=r\cdot k\cdot \vec v+s\cdot \vec v=(r\cdot k+s)\cdot \vec v$.

    Diese Gleichung ist somit eine Geradengleichung:

    $\vec x=\vec a+r\cdot \vec u+s\cdot \vec v=r\cdot k\cdot \vec v+s\cdot \vec v=(r\cdot k+s)\cdot \vec v$.

    Lösung

    Wenn du eine Ebene in Normalenform $\mathbb{E}:(\vec x-\vec p)\star \vec n=0$ in eine Parameterform $\mathbb{E}:\vec x=\vec a+r\cdot \vec b+s\cdot \vec c$ umformen möchtest, benötigst du

    • einen Stützvektor $\vec a$ (dieser ist gleich dem Vektor $\vec p$ in der Normalenform) sowie
    • zwei Richtungsvektoren $\vec b$ und $\vec c$.
    Die Richtungsvektoren müssen die folgenden beiden Bedingungen erfüllen:

    1. Sie müssen jeweils senkrecht zu dem Normalenvektor $\vec n$ der Ebene verlaufen.
    2. Sie dürfen nicht kollinear sein.
    Wären die beiden Vektoren kollinear, so würde die Gleichung $\vec x=\vec a+r\cdot \vec b+s\cdot \vec c$ eine Gerade darstellen.

  • Leite die Parameterform der Ebene her.

    Tipps

    Der Vektor $\vec a$ in der Parameterform ist ein Stützvektor. Dieser zeigt auf einen Punkt der Ebene.

    Finde einen Punkt $P(x|y|z)$, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen.

    Die Koeffizienten vor $x$, $y$ und $z$ in der Koordinatenform sind die entsprechenden Koordinaten des Normalenvektors.

    Achte auf die Vorzeichen.

    Ein Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch:

    $\vec n=\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\2 \end{pmatrix}$.

    Die Vektoren $\vec b$ und $\vec c$ sind Richtungsvektoren der Ebene $\mathbb{E}$. Diese müssen senkrecht zu dem Normalenvektor sein.

    Lösung

    Wenn eine Ebene in Koordinatenform $\mathbb{E}:2x-y+2z=6$ gegeben ist, gelangst du wie folgt zu der Normalenform:

    1. Finde einen Punkt, welcher auf der Ebene liegt. Dessen Koordinaten müssen die Koordinatengleichung erfüllen. Wähle $x=y=0$, dann ist $2z=6$ und mittels Division durch $2$ folgt $z=3$. Der Punkt $P(0|0|3)$ liegt somit auf der Ebene. Dessen Ortsvektor ist ein möglicher Stützvektor.
    2. Die Koeffizienten von $x$, $y$ und $z$ der Koordinatengleichung sind die entsprechenden Koordinaten des Normalenvektors.
    Damit kennen wir bereits den Stütz- sowie den Normalenvektor:

    $\vec a=\vec p=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\3 \end{pmatrix}$ und $\vec n=\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\2 \end{pmatrix}$.

    Nun benötigen wir noch zwei Vektoren $\vec b$ und $\vec c$, welche senkrecht zu $\vec n$ sind.

    • Setze eine Koordinate gleich $0$.
    • Vertausche die beiden verbleibenden Koordinaten.
    • Ändere bei einer der beiden verbleibenden Koordinaten das Vorzeichen.
    Damit erhalten wir beispielsweise diese beiden Richtungsvektoren:

    $\vec b=\begin{pmatrix} 0 \\ 2\\1 \end{pmatrix}$ und $\vec c=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\0 \end{pmatrix}$.

    Zuletzt kannst du die Ebenengleichung in Parameterform aufschreiben:

    $\mathbb{E}:\vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\3 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2\\1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\0 \end{pmatrix}$.