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Von der Koordinatenform in die Parameterform 09:52 min

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Transkript Von der Koordinatenform in die Parameterform

Hallo! Von der Koordinatenform in die Parameterform ist unser Thema. Das heißt, wir haben eine Ebene in Koordinatenform gegeben und möchten nun dieselbe Ebene in Parameterform darstellen. Um solche Aufgaben zu lösen, wäre es natürlich gut, wenn du weißt, was eine Koordinatenform und was eine Parameterform ist. Wenn du mal im Netz herumguckst, was da alles so angeboten wird, wirst du feststellen, da gibt es einige Methoden, mit denen man von der Koordinatenform in die Parameterform kommt. Oft funktionieren die so, dass man da irgendwie was für das x2 einsetzt. Setzt man Lambda (λ) ein und für x1 My (μ) und dann packt man das eine dahin und das andere da hin und dann dreht man die Gleichung noch mal um und dann kommt schon das Richtige raus. Das stimmt zwar, es ist nur bei diesen Methoden relativ schwierig zu erkennen, warum sie funktionieren. Das heißt, wenn du also in der Klausur sitzt und dich fragst, "Habe ich das alles richtig gerechnet", hast du kaum eine Chance, das zu kontrollieren, weil du nicht überblicken kannst, ist das sinnvoll, was da rauskommt oder nicht. Das geht aber auch anders und deshalb gucken wir uns jetzt mal eine Methode an, bei der man immer genau weiß, was man macht und warum man das macht. Wir können uns ja überlegen: Was brauchen wir eigentlich, um in die Parameterform zu kommen. Wir brauchen einen Stützvektor. Das ist quasi ein Punkt der Ebene, den finden wir mit der Koordinatenform. Dann brauchen wir zwei Vektoren, die rechtwinklig zum Normalvektor sind, also die beiden Richtungsvektoren. Den Normalenvektor haben wir in der Koordinatenform ja schon gegeben. Und so können wir auch Vektoren finden, die zu diesem Normalvektor oktogonal sind. Und die beiden müssen noch linear unabhängig sein, das heißt, sie dürfen keine Vielfachen voneinander sein. Und auch das lässt sich ohne großes Methodentamtam hinkriegen. Da können wir jetzt mal in das Beispiel gehen und in die Rechnung. Wir haben eine Ebene in Koordinatenform. Sie lautet: 2x1+4x2-2x1=-6. Wir haben einen Normalenvektor, der hat diese Koordinaten hier: (2, 4, -2). Und wir wissen auch, dass immer, wenn wir einen Punkt der Ebene haben, und dass sie ein Skalarprodukt bilden, kommt -6 heraus. Wir suchen eine Parameterform der Ebene. Dazu brauchen wir einen Stützvektor, das ist einfach ein Punkt der Ebene, und wir brauchen 2 Vektoren, 2 Richtungsvektoren, die müssen dann senkrecht zum Normalenvektor sein, dann liegen sie in der Ebene. Und sie sollen linear unabhängig sein und in unserem Fall heißt das, wenn wir also nur 2 Vektoren haben, dass sie nicht Vielfache voneinander sind. Das kann man eben auch so ausdrücken, dass immer, wenn wir den einen Vektor mit irgendeiner Zahl multiplizieren, ist das, was hier herauskommt, ungleich dem 2. Vektor. Und dann sind sie halt in hier unabhängig. Wir können mit dem Stützvektor anfangen. Naja, und da brauchen wir irgendeinen Vektor, der diese Gleichung erfüllt. Wir können zum Beispiel für x1 -3 einsetzen. Dann haben wir hier schon -6 stehen quasi. Dann setzen wir die anderen beiden Koordinaten gleich 0. Und jetzt sehen wir, wenn wir das Skalarprodukt bilden mit dem Normalenvektor hier, (2, 4, -2), dann kommt -6 heraus. Dann suchen wir einen Vektor, der rechtwinklig zum Normalenvektor ist, das heißt, das Skalarprodukt soll 0 ergeben und der Normalvektor ist (2, 4, -2). Na ja, und da können wir uns einen ausdenken. Wenn wir zum Beispiel für die erste Koordinate 2 einsetzten und für die zweite Koordinate -1 einsetzen. Na, dann rechnen wir 2×2+4×(-1), das ist 0. Setzen wir die dritte Koordinate gleich 0 und dann haben wir den ersten Richtungsvektor. Wir brauchen nun einen zweiten Richtungsvektor. Das heißt einen Vektor, der orthogonal zum Normalenvektor ist, also zu dem Vektor (2, 4, -2). Und das wiederum heißt, dass das Skalarprodukt gleich 0 sein soll. Nun, und dann können wir uns wieder einen ausdenken. Wir nehmen als erste Koordinate zum Beispiel die 1. Und jetzt gehen wir geschickt vor, zweite Koordinate soll 0 sein. Und die dritte Koordinate soll ungleich 0 sein. Und wenn wir so vorgehen, haben wir schon sichergestellt, dass diese beiden Vektoren dann keine Vielfachen voneinander sind, also dass sie dann linear unabhängig sind. Wenn die erste Koordinate gleich 1 ist, muss die dritte Koordinate auch gleich 1 sein, das heißt, die zweite Koordinate 0 ist. Denn dann rechnen wir ja 2×1+4×0-2×1 und das ist gleich 0. Dann kann man das hinschreiben. Der Vollständigkeit halber können wir noch hinschreiben, dass für alle r gilt, dass nämlich der erste Richtungsvektor multipliziert mit r ungleich dem zweiten Richtungsvektor ist. Und für alle kann man so schreiben, mit dem umgedrehten A (∀). Ja, kannst das natürlich auch in Worten schreiben, kein Problem. So. Diese Ungleichung gilt für alle r ϵ R. Dann können wir die Ebenendarstellung hinschreiben. Die Ebene E besteht aus allen Endpunkten der Vektoren x, die folgende Darstellung haben. Stützvektor ist (-3, 0, 0), plus, ja, Zahl. Manchmal nimmt man a, manchmal b, manchmal Lambda (λ) und My (μ). Ich nehme λ und μ, warum nicht. Erster Richtungsvektor ist (2, -1, 0) + μ mal zweiter Richtungsvektor (1, 0, 1). Und da sind wir fertig. Wir können aber auch noch eine Probe machen, und zwar indem wir einen Punkt dieser Ebene nehmen und schauen, ob dieser Punkt auch diese Gleichung erfüllt. Und da können wir uns überlegen, was können wir denn für x1 einsetzen. Na ja, setzen wir mal 2 ein, warum nicht. Für x2 können wir vielleicht auch 2 einsetzen und dann müssen wir für x1 9 einsetzen, damit -6 herauskommt. Also der Endpunkt des Vektors (2, 2, 9) ist Punkt dieser Ebene, erfüllt dieser Punkt auch diese Gleichung. Das wollen wir jetzt rauskriegen. Also, wir haben (-3, 0, 0) als Stützvektor. Ja, + λ. Was müssen wir für λ einsetzen? Wir sehen hier, dass wir in der zweiten Koordinate eine 0 haben und da auch. Das heißt, wir können direkt ablesen, was wir für λ einsetzen müssen, damit hier 2 herauskommt, und das ist -2, weil ja -2 × (-1)=2. Und dann haben wir hier die 2 stehen. Also -2 ×(2, -1, 0). So, und was müssen wir jetzt für μ einsetzen? Da müssen wir uns jetzt die dritte Koordinate anschauen. Damit hier 9 herauskommt, muss μ=9, weil 9×1=9. Also +9× (1, 0, 1). Jetzt müssen wir noch gucken, ob das in der ersten Koordinate auch stimmt. Wir haben -3-2×2=-7, +9=2. Da stimmt es also auch. Damit ist der Endpunkt dieses Vektors ein Punkt dieser Ebene und dieser Ebene auch. Und damit haben wir schon ziemlich gute Chancen dafür, dass diese Darstellung hier und diese Darstellung dieselbe Ebene darstellen. Ein hundertprozentiger Beweis ist das nicht, aber wie gesagt, gute Chancen haben wir schon, wenn wir einfach hier irgendeinen Punkt auswählen. So, dann haben wir alles erledigt. Wir haben einen Stützvektor gefunden, indem wir einen Punkt der Ebene gefunden haben. Und wir haben 2 Richtungsvektoren gefunden, indem wir 2 Rechnungen ausgeführt haben. Und weil wir so geschickt gerechnet haben, konnten wir auch sicherstellen, dass diese beiden Richtungsvektoren linear unabhängig voneinander sind. Die Probe haben wir auch gemacht. Damit sind wir fertig. Viel Spaß damit, tschüss!