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Von der Gesamtheit auf die Stichprobe schließen – relative Häufigkeiten

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Martin Wabnik
Von der Gesamtheit auf die Stichprobe schließen – relative Häufigkeiten
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Grundlagen zum Thema Von der Gesamtheit auf die Stichprobe schließen – relative Häufigkeiten

Im Video sehen wir an einer konkreten Grundgesamtheit (Bällebad), wie wir relative Häufigkeiten in Stichproben schätzen können, falls wir die Grundgesamtheit kennen. Das ist dann ein Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe. Allgemein kann die Lage so beschrieben werden: Wir haben einen Zufallsversuch und wir kennen die Wahrscheinlichkeit p eines Ereignisses E. Es ist P(E) = p. Führen wir diesen Zufallsversuch n mal durch, können wir die Wahrscheinlichkeit p als Schätzwert für die relative Häufigkeit h(E) des Ereignisses E in den n Versuchsdurchgängen angeben. Diese Angabe ist eine Punktschätzung. Bei der Durchführung des Zufallsversuchs tritt E entweder ein oder nicht. Der Zufallsversuch kann also als Bernoulli-Versuch gesehen werden. Führen wir den Zufallsversuch n mal durch, haben wir eine Bernoulli-Kette der Länge n. Wir können nun eine Zufallsgröße "X = Anzahl der Erfolge" definieren. Diese Zufallsgröße ist binomialverteilt. Ist die Laplace-Bedingung erfüllt, können wir die Sigma-Regeln auf diese Zufallsgröße anwenden. Teilen wir die entsprechenden Term in den Sigma-Regeln durch n, erhalten wir eine Intervallschätzung für die relative Häufigkeit. Im Video rechnen wir dazu ein Beispiel durch.

Transkript Von der Gesamtheit auf die Stichprobe schließen – relative Häufigkeiten

Hallo, wir wollen von der Grundgesamtheit auf die Stichprobe schließen. Dazu haben wir hier eine Grundgesamtheit. Das sind 10000 Bälle und ein Viertel dieser Bälle ist rot. Und dieses Wissen wollen wir jetzt nutzen um relative Häufigkeiten in der Stichprobe zu schätzen und da haben wir grundsätzlich zwei Möglichkeiten. Wir können sagen o.k. die Wahrscheinlichkeit einen roten Ball zu ziehen, ist ein Viertel, dann könnte die relative Häufigkeit roter Bälle in der Stichprobe auch ein Viertel sein. Das Viertel ist eine Zahl und eine Zahl entspricht einem Punkt auf der Zahlengerade und deshalb nennt man diese Schätzung dann Punktschätzung. Wir könnten auch einen Bereich angeben in dem zum Beispiel mit 90-prozentiger Wahrscheinlichkeit, die relative Häufigkeit roter Bälle in der Stichprobe liegen wird. Dieser Bereich ist ein Intervall und deshalb nennt man diese Schätzung, dann eine Intervallschätzung. Ja, ist halt nicht komplizierter. Wir haben hier eine Grundgesamtheit. Ja, das sollen jetzt mal blaue und rote Bälle sein. Der Anteil der roten Bälle an der Grundgesamtheit ist ein Viertel und deshalb ist die Wahrscheinlichkeit dafür einen roten Ball zu ziehen gleich ein Viertel. Ziehen wir nun n-mal mit zurücklegen, könnte es gut sein, dass die relative Häufigkeit klein h der roten Bälle in der Stichprobe ebenfalls ein Viertel ist und die Angabe dieser relativen Häufigkeiten ist nun schon eine Punktschätzung. Es ist ein Punkt deshalb, weil wir hier eine Zahl stehen haben. Wir schätzen also, dass die relative Häufigkeit der roten Bälle in der Stichprobe gleich ist der Wahrscheinlichkeit einen roten Ball zu ziehen. Wir können das Ziehen aus dieser Grundgesamtheit als den Bernoulli Versuch auffassen mit den Ergebnissen r für rot, das soll Erfolg sein und nicht rot, das soll Misserfolg sein. Dann können wir eine Zufallsgröße X definieren, die die Anzahl der Roten bestimmt, also die die Anzahl der roten Bälle zählt. Und diese Zufallsgröße ist binomialverteilt. Ziehen wir häufig genug, das heißt ist n also groß genug, können wir eine Sigma Regel anwenden, zum Beispiel P von Mü minus 1,96 Sigma kleiner gleich X kleiner gleich Mü plus 1,96 Sigma ist ungefähr gleich 95 Prozent. Mit dieser Sigma Regel können wir abschätzen mit wie vielen Erfolgen mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 Prozent zu rechnen ist. Teilen wir nun alle Teile dieser Ungleichungskette hier durch den Stichprobenumfang n erhalten wir folgendes, Mü ist ja gleich n-mal p, wenn wir durch n teilen, bleibt p übrig, also p minus 1,96 Sigma durch n ist kleiner gleich X durch n ist kleiner gleich p plus 1,96 Sigma durch n und das ist ungefähr gleich 95 Prozent. Wir können nun also angeben in welchem Intervall sich mit 95-prozentiger Wahrscheinlichkeit die relative Häufigkeit befinden wird. Und weil wir hier ein Intervall angegeben haben, ist das Ganze eine Intervallschätzung. Wir können das mal exemplarisch nachrechnen, wenn wir davon ausgehen, dass n gleich 100 ist, dann schauen sie, ob die Laplace Bedingung erfüllt ist. Und da haben wir Sigma gleich Wurzel aus n-mal p und mal q, das ist gleich die Wurzel aus 75 durch vier und das ist größer als 72, als die Wurzel aus 72 durch vier und das wäre die Wurzel aus zwei mal neun. Zwei mal neun ist größer als einmal neun und die Wurzel aus neun ist gleich drei, von daher ist hier die Laplace Bedingung erfüllt. Nun haben wir hier P ist ein Viertel minus 1,96-mal Sigma, haben wir schon festgestellt. Das ist Wurzel aus 75 Viertel müssen wir noch durch n teilen, also durch 100 teilen und dann kommt heraus ungefähr 0,165. Dann schauen wir uns die andere Grenze an, ein Viertel plus 1,96 Sigma durch 100, also Wurzel aus 75 Viertel geteilt durch 100 und das ist ungefähr gleich 0,335. Wir wissen nun, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die relative Häufigkeit in der hunderter Stichprobe zwischen 16,5 Prozent und 33,5 Prozent befindet ungefähr gleich 95 Prozent ist und das ist also hier unsere Intervallschätzung. So dann sind wir fertig und haben die Gelegenheit uns mal kurz zu überlegen, was wir eigentlich gemacht haben, also wenn wir mal den ganzen Kleinkram weglassen. Wir haben für die Punktschätzung einfach die Wahrscheinlichkeit aus der Grundgesamtheit übernommen und wir haben für die Intervallschätzung im Wesentlichen eine Sigma Regel hingeschrieben. Und so ist das oft in der Statistik, wenn man mal die Lage durchschaut hat. Wenn man weiß, was man machen möchte, dann ist man eigentlich schon durch, dann kann man die Rechnung in Taschenrechner eintippen und hinschreiben. Es kommt immer im Wesentlichen darauf an die Lage zu durchblicken und sich zu überlegen, was eigentlich gefragt ist. Das war es dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.

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