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Vektor – Länge

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Ø 5.0 / 8 Bewertungen

Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Vektor – Länge
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Vektor – Länge

Da man sich Vektoren wie Pfeile vorstellen kann, ist die Frage gerechtfertigt, wie lang so ein Vektor ist und wie man diese Länge bestimmen kann. In diesem Video wird das genau erklärt. Zunächst wird kurz mathematisch erklärt, wie man die Länge mit Hilfe des Zahlentripels bestimmen kann. Danach wird dir anhand eines Beispiels gezeigt, wie man die Länge des Vektors berechnen kann. Bei dieser Rechnung hast du das Zahlentripel gegeben. Danach wird dir gezeigt, wie das Ganze anschaulich aussieht. Dafür wird ein Vektor in das Koordinatensystem gelegt, welche einen Koordinatenquader aufspannen. Mit Hilfe des Koordinatenquaders wird die Länge des Vektors anschaulich und ausführlich erklärt.

Transkript Vektor – Länge

Hallo, was ist die Länge eines Vektors? Hier habe ich mal einen Dreidimensionalen aufgeschrieben und wir suchen dessen Länge. Erst kommt die kurze Erklärung, dann die lange Erklärung und dann die anschauliche Erklärung. Die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate. Das war die kurze Erklärung. Die lange Erklärung kommt jetzt mit Beispielen. Dieser Vektor besteht aus 3 Koordinaten, aus 3 Teilen, und diese Zahlen, aus denen der Vektor besteht, kann man ja so sagen, die können wir quadrieren. Z.B. -4 können wir quadrieren. Wir können auch die andere Zahl quadrieren und hier die 3. Koordinate auch, dann können wir die alle addieren, die einzelnen Quadrate, und aus der gesamten Summe können wir die Wurzel ziehen. Die Zahl, die da rauskommt, das ist ja eine positive Zahl, aus Wurzeln kommen ja immer positive Zahlen raus, das ist die Länge des Vektors und das nennt sich Betrag von V. Schreibt man so mit diesen Betragsstrichen, Betrag von V. Das ist also die Lage, wie man es macht, das funktioniert immer, wenn man 3 Zahlen gegeben hat, kann man die ganzen Koordinatenquadrate bilden, alle addieren und dann die Wurzel ziehen. Ich sage es nur der Vollständigkeit halber, du kannst hier nicht einzeln aus den Quadraten die Wurzeln ziehen und dann erst addieren, dann kommt etwas anderes raus. Also hier kommt z.B. 6 raus, 6 ist die Länge des Vektors, nicht wahr. Also -4² ist +16, 4² ist auch 16, zusammen sind das 32, +2² sind also +4, 32+4=36, \sqrt(36)=6. Ja, und dann zeig ich das noch, wie das anschaulich aussieht, warum man das so rechnet. Wir haben folgende Situation. Wir haben einen Vektor, der hier ungefähr ist, egal wo, weiß ich nicht, mir egal. Und dieser Vektor hat 3 Koordinaten, x, y, z. Und diese Koordinaten erzeugen quasi so einen Koordinatenquader, ja jetzt hat es nicht ganz hingehauen, macht nichts, ja, einen Koordinatenquader erzeugen die, ja, aber fast, ne. Und dieser Koordinatenquader, dessen Seiten, dessen Kanten dann jeweils parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, dieser Koordinatenquader der hat eine Raumdiagonale, die so ungefähr aussieht. Und die Länge dieser Raumdiagonale ist auch die Länge des Vektors. Und vielleicht erinnerst du dich, wie man Raumdiagonalen ausrechnet. Die Länge von Raumdiagonalen, man nimmt sich erst eine Seite, z.B. die hier. Man kann die Diagonale dieser Seite ausrechnen, indem man den Satz des Pythagoras anwendet.  Ja, wir haben ja hier ein rechtwinkliges Dreieck oder dieses, ist egal. Eine Kathede² + andere Kathede² = Hypotenuse². Und wenn man jetzt die Raumdiagonale haben will, dann stellt man sich ein 2. Dreieck vor, was sich dann ungefähr hier so befindet, ich weiß nicht, wie gut man das sehen kann. Dieses 2. Dreieck ist auch ein rechtwinkliges Dreieck, und zwar dieses hier, dieses rechtwinklige Dreieck. Hier ist der rechte Winkel. Und das ist hier die Hypotenuse in diesem rechtwinkligen Dreieck. Deshalb müssen wir einfach rechnen diese Diagonale hier zum Quadrat + diese Kante zum Quadrat = diese gestrichelte Diagonale zum Quadrat. Und wir wissen ja schon, dass dieses Quadrat hier gleich eine Kante² + andere Kante² ist, dann kommt noch diese Kante² dazu, also haben wir das Quadrat + das Quadrat + das Quadrat = das Quadrat. Die Wurzel aus all dem ist dann einfach die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate und deshalb kann man so die Länge eines Vektors bestimmen. Bzw. man bestimmt die Länge der Raumdiagonale des durch den Vektor erzeugten Koordinatenquaders. Viel Spaß damit, tschüss.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Du bist einfach SPITZE

    Von Mariarudolf, vor fast 4 Jahren
  2. Super Veranschaulichung. Danke!

    Von S Abrina, vor etwa 6 Jahren
  3. @Auditeme:
    Bei einem Vektor kannst du anhand der Koordinaten sofort erkennen, in welche Richtung er zeigt. Die Länge des Vektors musst du aber erst noch berechnen.
    Ein Beispiel: Der Vektor (3,4,0) geht 3 Einheiten in x-Richtung, 4 Einheiten in y-Richtung und keine Einheit in z-Richtung. Das kannst du sofort ablesen. Die Länge berechnet sich als Wurzel aus 3^2+4^2+0^2=25, was 5 ergibt.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen wende dich gerne an den Fach-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor mehr als 6 Jahren
  4. Hallo,
    In den letzten beiden Videos wurde weklätt, dass ein Vektor eine Länge mit Richtung ist! In diesem Videos hier heißt es aber, dass man die Länge erst berechnen muss:
    Der Betrag von v soll also die Wurzel aus den einzelnen Punkten im Quadrat sein... Warum ist das so? Ich dachte, man kann einen Vektor als tripel beschreiben!? Um Hilfe wäre ich sehr dankbar!!

    Von Auditeme, vor mehr als 6 Jahren

Vektor – Länge Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vektor – Länge kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die Formel auf, mit der die Länge eines Vektors bestimmt wird.

    Tipps

    Beachte, dass beim Quadrieren von negativen Zahlen Klammern gesetzt werden müssen.

    Denn

    • $-4^2=-16$ und
    • $(-4)^2=16$.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist.

    Lösung

    Wie kann man die Länge eines Vektors berechnen?

    Die Länge eines Vektors ist die Summe aus den Koordinatenquadraten.

    Der Vektor $\vec v$ besteht aus drei Koordinaten:

    • Jede dieser Koordinaten wird quadriert,
    • die Quadrate werden addiert und
    • die Wurzel aus dieser Summe gezogen.
    Am Beispiel des oben angegebenen Vektors bedeutet dies:

    $|\vec v|=\sqrt{(-4)^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6$.

  • Erkläre, wie man die Formel für die Länge eines Vektors herleiten kann.

    Tipps

    Wende den Satz des Pythagoras zweimal an.

    Lösung

    Ein Vektor hat drei Koordinaten: $x$, $y$ und $z$.

    Diese Koordinaten erzeugen einen Koordinatenquader.

    Die Länge der Raumdiagonale dieses Quaders ist die Länge des Vektors.

    Man muss zunächst die Länge der Diagonale einer beliebigen Seite des Quaders berechnen. Diese Diagonale ist eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, in welchem die Raumdiagonale die Hypotenuse ist.

    Zur Berechnung der Länge der ersten Diagonalen, die entsprechenden Längen können dem Bild entnommen werden, verwendet man den Satz des Pythagoras:

    $d_1^2=x^2+y^2$.

    Mit dieser Diagonalenlänge kann die Länge der Raumdiagonalen berechnet werden

    $d^2=d_1^2+z^2=x^2+y^2+z^2$.

    Nun muss noch die Wurzel auf beiden Seiten gezogen werden und man erhält die Formel:

    $|\vec v|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

  • Ordne den Vektoren ihre Längen zu.

    Tipps

    Verwende jeweils die Formel

    $|\vec v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$.

    Dabei sind $v_1$, $v_2$ und $v_3$ die Koordinaten des Vektors $\vec v$.

    Beachte, dass du beim Quadrieren von negativen Zahlen Klammern setzen muss.

    Denn es gilt:

    • $-2^2=-4$ und
    • $(-2)^2=4$.

    Zum Beispiel ist

    $\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$.

    Lösung

    Um die Länge eines Vektors zu berechnen,

    • werden die Koordinaten dieses Vektors quadriert,
    • die Quadrate addiert und
    • die Wurzel aus der Summe gezogen.
    $\left|\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ -1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt9=3$.

    $\left|\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 4 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+0^2+4^2}=\sqrt{0+0+16}=\sqrt{16}=4$.

    $\left|\begin{pmatrix} 2 \\ -3\\ -6 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{2^2+(-3)^2+(-6)^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$.

    $\left|\begin{pmatrix} -3 \\ 0\\ 4 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-3)^2+0^2+4^2}=\sqrt{9+0+16}=\sqrt{25}=5$.

  • Leite her, wie die $z$-Koordinate des Vektors gewählt sein muss, damit dieser die Länge $4$ hat.

    Tipps

    Die Länge eines Vektors ist gegeben als die Wurzel aus der Summe der quadrierten Koordinaten dieses Vektors.

    Eine Wurzelgleichung wird durch Potenzieren gelöst.

    Auf die Probe der Lösung der Wurzelgleichung kann verzichtet werden.

    Lösung

    Wie muss $a$ gewählt werden, damit der Vektor

    $\vec v=\begin{pmatrix} 2 \\ 3\\a \end{pmatrix}$

    die Länge $4$ hat.

    1. Zunächst muss die Länge des Vektors berechnet werden. Dafür wird die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten gezogen:

    $\left| \begin{pmatrix} 2 \\ 3\\a \end{pmatrix}\right|=\sqrt{2^2+3^2+a^2}=\sqrt{13+a^2}$.

    2. Da die Länge des Vektors vorgegeben ist, führt dies zu der Gleichung

    $\sqrt{13+a^2}=4$.

    3. Nun wird auf beiden Seiten quadriert und man erhält

    $13+a^2=16$.

    4. Durch Subtraktion von $13$ kommt man zu $a^2=3$ und durch Ziehen der Quadratwurzel zu $a=±\sqrt3$.

  • Berechne die Länge des Vektors.

    Tipps

    Die Formel zur Berechnung des Vektors lautet:

    $|\vec v|=\sqrt{(-4)^2+4^2+2^2}$.

    Beachte, dass beim Quadrieren negativer Zahlen diese geklammert werden müssen.

    Wenn du die Klammer vergisst, erhältst du eine falsche Lösung.

    Lösung

    Die Länge eines Vektors ist die Summe aus den Koordinatenquadraten. Das heißt,

    • jede der Koordinaten des Vektors wird quadriert,
    • die Quadrate werden addiert und
    • die Wurzel aus dieser Summe gezogen.
    Am Beispiel des oben angegebenen Vektors bedeutet dies:

    $|\vec v|=\sqrt{(-4)^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6$.

  • Berechne den Abstand der beiden Vögel.

    Tipps

    Stelle den Vektor auf, der von dem einen Vogel zu dem anderen führt.

    Der Vektor von $V_1$ zu $V_2$ ist der Verbindungsvektor

    $\vec{V_1V_2}$.

    Der Verbindungsvektor ist gegeben durch

    $\vec{V_1V_2}=\vec{v_2}-\vec{v_1}$.

    Der Verbindungsvektor lautet

    $\vec{V_1V_2}=\begin{pmatrix} 600 \\ 300\\ 200 \end{pmatrix}$.

    Berechne die Länge des Verbindungsvektors.

    Lösung

    Der Abstand der beiden Vögel zueinander entspricht der Länge des Verbindungsvektors, welche von dem einen Vogel zu dem anderen verläuft. Dieser lässt sich als Differenz des Ortsvektors des Endpunktes und dem des Anfangspunktes berechnen:

    $\vec{V_1V_2}=\begin{pmatrix} 800-200 \\ 600-300\\ 250-50 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 600 \\ 300\\ 200 \end{pmatrix}$.

    Die Länge dieses Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der einzelnen Koordinaten dieses Vektors:

    $\left|\begin{pmatrix} 600 \\ 300\\ 200 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{600^2+300^2+200^2}=\sqrt{490000}=700$.

    Die beiden Vögel haben einen Abstand von $700~m$ zueinander.

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