Umrechnungen zwischen Koordinatenform und Normalenvektor

Hallo. In diesem Video wollen wir uns anschauen, wie eine Ebenengleichung in Koordinatenform aussieht. Was hat der Normalenvektor damit zu tun? Und wie kann man die Koordinatenform aus der Parameterform ausrechnen und umgekehrt? Die Koordinatenform heißt Koordinatenform, weil die Koordinaten aller Punkte, die in der Ebene liegen, ein und dieselbe Gleichung erfüllen. Allgemein sieht die so aus: ax+by+c×z=d, wobei wir für a, b, c und d jetzt mal die Zahlen -1, 3, 2 und 7 einsetzen. Ja und so kann man jetzt die Punkte bestimmen, die auf der Ebene liegen. Zum Beispiel setzt man für x mal 1 ein, für y 2, dann muss man z bestimmen. Das geht ganz einfach mit der elementaren Umformung, da kommt man auf z=1. Und dann weiß man, dass der Punkt (1|2|1) in der Ebene liegt. Man kann sogar den Normalenvektor der Ebene direkt an der Koordinatenform ablesen. Man nimmt sich einfach die Zahlen, die vor dem x, y, z jeweils stehen, und schreibt die als Vektor auf. Das ist dann der Normalenvektor. Das war der Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Wie kann man jetzt die Koordinatenform bestimmen? Wenn man die Parameterform der Ebene kennt! Das will ich als erstes mal an der Methode " Eleminieren der Parameter" zeigen. Nehmen wir mal diese Ebene in Parameterform und die Koordinaten, bezeichnen wir mit x, y, z. Jetzt haben wir also für jede Koordinate eine Gleichung mithilfe der beiden Parameter. Die liest man zeilenweise aus der Vektordarstellung ab. Und jetzt versucht man durch geschicktes Addieren, jeweils einen Parameter loszuwerden. Das heißt, wenn ich zum Beispiel die ersten beiden Zeilen addiere, dann fällt ja das s weg. Da kriege ich dann x+y=1+4t. Wenn ich die 2. Zeile mit 5 multipliziere und dann zur ersten addiere, fällt wiederum das t weg. Da kriegt man dann 5y+x=1, das t fällt weg, und 5s-s=4s. Die Gleichung mit dem z lässt man sich noch stehen und dann formt man erst mal die beiden Gleichungen, die man gerade aufgestellt hat, jeweils nach dem Parameter um, der noch übrig ist. Und da man jetzt s und t mithilfe von x und y ausgedrückt hat, kann man die Terme also jeweils in die z-Gleichung bei s und bei t einsetzen. Dann bekommt man eine Gleichung, in der nur noch x, y und z vorkommen. Die wird dann noch vereinfacht, die Brüche werden entfernt und am Schluss bringen wir die Variablen auf die eine Seite und die Zahlen auf die andere. Unsere Ebene hat also die Koordinatengleichung 3x+7y-2z=-5. So, und wenn man das jetzt überprüfen will, dann bastelt man sich ein paar Punkte, zum Beispiel der Punkt P, der zum Ortsvektor gehört und der Punkt Q, den wir kriegen, wenn wir für s1 und t 0 einsetzen. Und dann guckt man, ob die beide die Gleichung erfüllen. Na, das passt bei beiden. Wer schon weiß, wie man ein Vektorprodukt ausrechnet, der kann es sich auch ein bisschen einfacher machen, nämlich durch Bestimmung des Normalenvektors. Der Normalenvektor muss ja senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren stehen. Und das Vektorprodukt liefert einem ja genau einen Vektor, der auf den beiden Vektoren, die man reinsteckt, senkrecht steht. Also berechnet man das Vektorprodukt der Richtungsvektoren und erhält den Normalenvektor. Wir erinnern uns, der Normalenvektor enthält genau die Zahlen, die vor dem x, y, bzw. z stehen, das schreibt man dann also auf. Und dann muss man nur noch das d hinten rauskriegen. Dazu braucht man nur einen Punkt, von dem man weiß, dass er auch auf der Ebene liegt, in den Term einsetzen, und gucken, was hinten rauskommt. Wir nehmen jetzt hier den Punkt, der zum Stützvektor gehört. Da kommt -10 raus, die setzen wir ein, also ist das unsere Ebenengleichung. Das sieht noch nicht ganz aus wie das, was wir eben raushatten, aber wenn wir durch 2 teilen, kommt das Gleiche raus. Und man darf eben so eine Gleichung mit Zahlen ungleich 0 multiplizieren oder dividieren, da ändert sich an der Ebene nichts. Jetzt wollen wir mal den umgekehrten Weg gehen, nämlich die Parameterform aus der Koordinatenform ausrechnen. Wir nehmen also die Gleichung von gerade und nun bestimmen wir einfach 3 Punkte, die auf der Ebene liegen. Dafür setzt man sich für 2 der Variablen sehr einfache Werte ein und rechnet den 3. danach aus, sodass die Gleichung erfüllt ist. So kriegt man hier noch die Punkte (0|1|6) und (-4|1|0). Dann nimmt man sich den Ortsvektor von einem der Punkte als Stützvektor und die Verbindung zu den beiden anderen jeweils als Richtungsvektor. Ok, und wenn ihr das ein bisschen übt, dann seit ihr bald wahre Meister der Ebenen.