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Umkehrung eines Baumdiagramms 08:28 min

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Transkript Umkehrung eines Baumdiagramms

Hallo. Wir machen die Umkehrung eines Baumdiagramms. Und dazu habe ich hier schon einmal ein Baumdiagramm vorbereitet. Dieses Baumdiagramm beschreibt einen beliebigen Zufallsversuch. Ja, wir haben einen Zufallsversuch, wir haben eine Ergebnismenge oder Grundmenge genannt auch und wir haben zwei Ereignisse, nämlich A und B. Und die sollen bei uns jetzt einfach das sein, was sie laut Definition zu sein haben, nämlich Teilmengen der Ergebnismengen. Irgendwelche beliebigen Teilmengen. Diese Wahrscheinlichkeiten hier gehören nicht unbedingt zum Baumdiagramm dazu. Ich habe sie jetzt mit dazu geschrieben, einfach der Vollständigkeit halber. Kleiner Hinweis noch: Man errechnet diese Wahrscheinlichkeiten dieser Schnittmengen hier, indem man die Wahrscheinlichkeiten, die davor sind, multipliziert. Zum Beispiel kann man P(nicht-A ∩ B), also die Wahrscheinlichkeit von nicht-A ∩ B ausrechnen, indem man die Wahrscheinlichkeit von nicht-A mit der Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung nicht-A multipliziert. Die Umkehrung des Baumdiagramms besteht nun darin, dass man hier auf der ersten Stufe mit B anfängt. Und hier hat man dann entsprechend A und nicht-A. Hier möchte ich prinzipiell zeigen, wie das funktioniert. Wenn Du eine konkrete Aufgabe hast, sind diese Zahlen hier alle bekannt. Und Du sollst aus diesen Zahlen dann die Wahrscheinlichkeiten errechnen, die in dem umgekehrten Baumdiagramm dann an diesen Stellen stehen sollen. Ja, und da können wir gleich anfangen mit dem neuen Baumdiagramm. Ich mach das hier so ein bisschen eckig, nicht wahr, damit ich besser was hinschreiben kann. Dass musst Du nicht so machen, das kannst Du auch ganz anders machen. Also dieser gerade Strich, ist mir egal. Dann brauchen wir hier P(B), also die Wahrscheinlichkeit von B. Wie kriegen wir jetzt die Wahrscheinlichkeit von B? Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit-. Das wollte ich umgekehrt haben. Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit von B, also P(B), sich zusammensetzt aus der Wahrscheinlichkeit von A ∩ B und der Wahrscheinlichkeit von nicht-A ∩ B. Woher wissen wir das? Kleine Veranschaulichung dazu. Angenommen, das ist hier unsere Grundmenge, unsere Ergebnismenge. Dann sei hier mal irgendein Ereignis definiert, das Ereignis A. Dann haben wir hier das Ereignis nicht-A. Und wir haben jetzt hier irgendwo ein Ereignis B, ja, da ist ein Ereignis B. Und außen hier ist das Ereignis nicht-B. Da und da überall ist das Ereignis nicht-B. Man errechnet die Wahrscheinlichkeit von B, indem man die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu B gehören, addiert. Es gibt Ergebnisse in B, die gehören auch zu A. Und es gibt Ergebnisse in B, die gehören zu nicht-A. Andere Ergebnisse gibt es hier nicht. Deshalb kann man einfach die Wahrscheinlichkeit dieser Ergebnisse hier nehmen, also der Ergebnisse, die in B und A sind und dazu die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse hier addieren. Also der Ergebnisse, die in B und nicht-A sind und erhält dann die Wahrscheinlichkeit von B. Freundlicherweise kennen wir ja schon die Wahrscheinlichkeit von A ∩ B. Auf die kommt man ja, wenn man einfach P(A) * P(BIA) rechnet. Und hier ist es genauso, ich schreibe es der Vollständigkeit halber hin. Wir haben die Wahrscheinlichkeit von nicht-A ∩ B, indem wir rechnen P(nicht-A) * P(BInicht-A) (B unter der Bedingung nicht-A). Das bedeutet, diese Wahrscheinlichkeit haben wir schon. Entsprechend rechnet man natürlich auch die Wahrscheinlichkeit von nicht-B aus. Das ist dann, ich schreibe es hier noch mal hin, P(nicht-B) ist die Wahrscheinlichkeit von A ∩ nicht-B. Das sind also hier bei nicht-B diese Ergebnisse, die wir dann damit erfassen. A ∩ nicht-B plus die Wahrscheinlichkeit nicht-A ∩ nicht-B. Und das sind dann diese Ergebnisse hier. Diese Ergebnisse, B fällt natürlich raus, die mit dieser Wahrscheinlichkeit erfasst werden. Dann geht es weiter mit der zweiten Stufe. Hier haben wir dann A, da haben wir nicht-A und hier wieder A und nicht-A. Wir brauchen jetzt die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B P(AIB). Ja wie können wir die ausrechnen. Hier ist noch ein bisschen Platz. Wir haben ja eine Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit. Die sieht so aus: Wir müssen einfach P(A ∩ B)/P(A) rechnen, um auf die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, A PA(B), zu kommen. Hier brauchen wir jetzt die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Das heißt, wir müssen also entsprechend rechnen: P von A ∩ B geteilt P(B). Das ist also dann die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B, P(AIB). Und diese beiden Wahrscheinlichkeiten haben wir ja schon. Wir haben P(B) hier schon ausgerechnet. P(A ∩ B) haben wir da schon. Und deshalb können wir diese Wahrscheinlichkeit aus diesem Baumdiagramm ausrechnen. Hier kommt dann noch hin die Wahrscheinlichkeit von nicht-A unter der Bedingung B. Und die können wir ganz genau so ausrechnen, indem wir dann, auch das schreibe ich noch einmal eben auf, indem wir dann P(nicht-A ∩ B)/P(B). Und das ist dann P(nicht-AIB). Das hat gerade noch hingepasst und da ist noch die Klammer. Ja, und ich glaube, die anderen Angaben, die kannst Du dann auch ausrechnen. Da muss man ja immer nur die entsprechenden Buchstaben einsetzen. Und hier sind dann übrigens wieder die Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen. Ja, das war es zur Umkehrung des Baumdiagramms. Viel Spaß damit. Tschüss.