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Übergangsmatrizen – Einführung 03:40 min

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Transkript Übergangsmatrizen – Einführung

Hallo, ein Vektor wird von links mit einer Matrix multipliziert, indem man rechnet: a11×x1+a12×x2+a13×x3+a1n×xn Diese Summe steht hier. Wenn man das ausrechnet, ist es nur eine Zahl, nämlich y1, also die erste Koordinate des Ergebnisvektors. Die zweite Koordinate, y2, berechnet man so: a21×x1+a22×x2+a23×x3+a2n×xn Die Summe steht hier und das Ergebnis ist y2. Die letzte Koordinate, ym, des Ergebnisvektors wird berechnet, indem die letzte Zeile der Matrix mit dem Vektor multipliziert wird. Man rechnet: am1×x1+am2×x2+amn×xn Und jetzt kommt der Prozess. Diese Matrix ist eine Prozessmatrix, wenn durch sie ein Prozess beschrieben wird, oder man sagt auch abgebildet wird. Ein solcher Prozess könnte ein Produktionsprozess sein und die Matrix könnte angeben, welche Rohstoffmengen zur Herstellung bestimmter Mengen von Endprodukten benötigt werden. Dann handelt es sich um eine Bedarfsmatrix. Nehmen wir einmal an, dieses hier seien drei formschöne Endprodukte. Für 1 kg des Endproduktes 1 sind 0,4 kg Grün nötig, 0,4 kg Gelb und 0,2 kg Rot. Für 1 kg des Endproduktes 2 braucht man 0,2 kg Grün,         0,6 kg Gelb und 0,6 kg Rot. Für die Herstellung 1 kg des Endproduktes 3 werden 0,3 kg Grün, 0,1 kg Gelb und 0,6 kg Rot benötigt. Möchte man 3 kg des Endproduktes 1 und 3 kg des Endproduktes 2 und 4 kg des Endproduktes 3 herstellen, dann benötigt man 3×0,4 kg Grün, 3×0,2 kg Grün und 4×0,3 kg Grün. Das hier ist die Rechnung dazu. Das Ergebnis ist 3. 3 kg grün für diese Endprodukte. Außerdem braucht man 3×0,4 kg Gelb, 3×0,6 kg Gelb und 4×0,1 kg Gelb. Das ist die Rechnung und das Ergebnis ist 3,4 kg Gelb für diese Endproduktmengen. Außerdem braucht man 3×0,2 kg Rot, 3×0,2 kg Rot und 4×0,6 kg Rot. Das ist die Rechnung und das Ergebnis ist 3,6 kg Rot. Wir haben also mit dieser Matrix den Bedarf an Grün, Gelb und Rot für diese Mengen an Endprodukten ausrechnen können, deshalb heißt diese Matrix Bedarfsmatrix.  

Übergangsmatrizen – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Übergangsmatrizen – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zur Bedarfsmatrix.

    Tipps

    Erst einmal ist eine Bedarfsmatrix eine Matrix.

    In einer Bedarfsmatrix werden zeilen- und spaltenweise der jeweilige Bedarf an einem in einem Herstellungsprozess verwendeten Gut eingetragen.

    Lösung

    Eine Matrix wird als Prozessmatrix, wenn durch sie ein Prozess beschrieben oder auch abgebildet wird. Ein solcher Prozess könnte ein Produktionsprozess sein.

    Die Matrix gibt dann an, welche Rohstoffmengen zur Herstellung bestimmter Mengen des Endprodukte benötigt werden. Dann handelt es sich um eine Bedarfsmatrix.

    Neben der Bedarfsmatix für Rohstoffmengen, kann eine Prozessmatrix aber auch:

    Eine chemische Reaktion abbilden, bei der zum Beispiel aus einem Teil verschiedener Edukte, unterschiedliche Produkte werden.

    Eine Produktionskostenmatrix sein, bei der jeder Produktionshandlung Kosten zugewiesen sind.

    Denkst du ein wenig darüber nach findest du viele verschieden Anwendungsgebiete.

  • Beschreibe, was beim Multiplizieren einer Matrix mit einem Vektor zu beachten ist.

    Tipps

    Wenn du eine Zeile der Matrix mit dem Vektor

    $\vec x=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_n \end{pmatrix}$,

    dann müssen doch ebenso viele Elemente in der Zeile wie in dem Vektor stehen.

    Wenn die Matrix quadratisch wäre, also $m=n$, dann hätten der Vektor $\vec x$ und der Vektor auf der rechten Seite gleich viele Elemente.

    Vertausche mal die Reihenfolge der Multiplikation und versuche dann zu rechnen.

    Was fällt dir auf? Der Vektor $\vec x$ hat nur eine Spalte, er müsste aber $m$ haben, damit die Multiplikation möglich ist. Dann wäre es sicher kein (Spalten)Vektor mehr.

    Lösung

    Wenn man ein solches Produkt berechnen möchte, muss man folgendes beachten:

    • Die Anzahl der Spalten der Matrix entspricht der Anzahl der Elemente von $\vec x$. Diese ist hier $n$.
    • Die Anzahl der Zeilen der Matrix entspricht der Anzahl der Elemente des Vektors $\vec y$ auf der rechten Seite, hier $m$.
    Insbesondere kann man die Reihenfolge der Multiplikation nicht vertauschen und man kann auch die (linke!) Matrix nicht mit dem Vektor auf der rechten Seite multiplizieren.

  • Berechne das Produkt aus Matrix und Vektor.

    Tipps

    Stelle dir die Multiplikation so vor wie ein Skalarprodukt. Ein Beispiel dafür siehst du hier.

    Es fehlt bei der Berechnung jeweils ein, jeweils ein anderes, Element des Vektors.

    Lösung

    Wenn man eine Matrix mit einem Vektor multiplizieren möchte, kann man sich das so vorstellen, dass man jede Zeile der Matrix mit dem Vektor multipliziert. So erhält man die jeweils rechte Seite.

    Daran kann man bereits erkennen, dass die Anzahl der Spalten der Matrix, also die Anzahl der Elemente in einer Zeile, ebenso groß sein muss wie die Anzahl der Elemente in dem Vektor.

    Das bedeutet also, dass man das erste Element der rechten Seite wie folgt erhält

    $0,4\cdot 3+0,2\cdot 3+0,3\cdot 4=3$.

    Ebenso können das zweite und dritte Element berechnet werden:

    • $0,4\cdot 3+0,6\cdot 3+0,1\cdot 4=3,4$
    • $0,2\cdot 3+0,2\cdot 3+0,6\cdot 4=3,6$

  • Berechne das jeweilige Produkt.

    Tipps

    Jede der Multiplikationen ist möglich.

    Multipliziere jedes Element einer Zeile der Matrix mit dem entsprechenden Elemente des Vektors.

    Alle Ergebnisse sind natürliche Zahlen.

    Zum Beispiel musst du für $y_1$ aus der oberen Aufgabe wie folgt rechnen:

    $y_1=1\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot (-1)$.

    Lösung

    Wenn man eine Matrix mit einem Vektor multiplizieren möchte, multipliziert man jede Zeile der Matrix mit dem Vektor. Das bedeutet, man multipliziert jedes Element der Zeile mit dem entsprechenden Element des Vektors:

    $\begin{pmatrix} 1&1&2 \\ 3&1&2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2\\ 3\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+3-2\\ 6+3-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\7 \end{pmatrix}$

    $\begin{pmatrix} 1&1&2&4 \\ 4&5&6&1 \\ 1&2&1&3\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+2+2+12\\ 4+10+6+3\\ 1+4+1+9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 17\\ 23\\ 15 \end{pmatrix}$

    $\begin{pmatrix} 1&1&2&4 \\ 4&5&6&1 \\ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 3\\4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-1+6+16\\ 8-5+18+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 23\\ 25\end{pmatrix}$

  • Prüfe, mit welchen der Vektoren die Matrix multipliziert werden kann.

    Tipps

    Du musst nicht das Ergebnis ausrechnen.

    Es genügt, die Spalten der Matrix mit der Anzahl der Elemente der Vektoren zu vergleichen.

    Die Anzahlen müssen gleich sein.

    Die jeweilige Zeilenanzahl ist für diese Aufgabe nicht von Bedeutung; ebenso wie die Matrixeinträge.

    Lösung

    Für die Überprüfung, ob man eine Matrix mit einem Vektor multiplizieren kann oder nicht, ist ausschließlich die Anzahl der Spalten von Bedeutung.

    Die Matrix $A$ hat drei Spalten, sie kann also ausschließlich mit Vektoren mit drei Elementen multipliziert werden, wie zum Beispiel

    $\begin{pmatrix} 1\\ 1\\1\end{pmatrix}$ oder $\begin{pmatrix} a\\ b\\c \end{pmatrix}$ oder $\begin{pmatrix}0\\ 0\\0 \end{pmatrix}$

    Die Matrix $B$ hat vier Spalten, sie kann also ausschließlich mit Vektoren multipliziert werden, die vier Elemente haben. Zum Beispiel

    $\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\1 \end{pmatrix}$ oder $\begin{pmatrix} 0\\ a\\ 3\\b \end{pmatrix}$ oder $\begin{pmatrix} 1\\ b\\ 0\\-2 \end{pmatrix}$

  • Entscheide, welches der Ergebnisse richtig ist.

    Tipps

    Man multipliziert, zum Beispiel für $y_1$, jedes Element der ersten Zeile der Matrix mit dem entsprechenden Element des Vektors

    $\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$

    Achte darauf, dass Punkt vor Strich gilt.

    Hier siehst du ein Beispiel mit einer Matrix mit zwei Zeilen und zwei Spalten.

    Lösung

    Das Ergebnis der Multiplikation ist hier zu sehen. Nur wie kommt man darauf?

    Es ist $y_1=1\cdot1+2\cdot1+3\cdot1=6$.

    Das heißt, man multipliziert jedes Element der ersten Zeile der Matrix mit dem entsprechenden Element des Vektors und addiert die Produkte.

    Somit ist $y_2=4\cdot1+5\cdot1+6\cdot1=15$ und $y_3=7\cdot1+8\cdot1+9\cdot1=24$.