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Übergangsmatrizen – Beispiel Wohlfühlgranulat

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Martin Wabnik
Übergangsmatrizen – Beispiel Wohlfühlgranulat
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Übergangsmatrizen – Beispiel Wohlfühlgranulat

Hallo und herzlich willkommen zu meinem Übungsvideo zur Bedarfsmatrix. Im Video wollen wir folgenden Sachverhalt bearbeiten: Die Wohlfühlgranulate "Wellness" und "Bliss" sollen aus vier Grundstoffen hergestellt werden. Welche Anteile von welchem Grundstoff in dem jeweiligen Granulat vorhanden sind, ist durch eine Tabelle gegeben. Die eigentliche Aufgabe besteht nun darin, die gewünschten Mengen der Endprodukte sowie die Angaben der Tabelle in der richtigen Anordnung aufzuschreiben. Daraus ergibt sich die Bedarfsmatrix.

Transkript Übergangsmatrizen – Beispiel Wohlfühlgranulat

Hallo! Hier kommt eine Aufgabe zur Bestimmung einer Bedarfsmatrix. Es geht um 2 verschiedene Wohlfühlgranulate, die später hier rein kommen, die aus jeweils unterschiedlichen Mischungen von 4 Grundstoffen bestehen. Für das eine Wohlfühlgranulat mit dem Namen Wellness braucht man diese braunen Biolinsen, ein bisschen von den pinken Steinen, ein bisschen weniger von den gelben und ein bisschen von den grünen Steinen. Für das Wohlfühlgranulat Bliss braucht man viel braun, etwas weniger Pink, noch weniger Gelb und ganz wenig Grün. Wie bei solchen Produkten üblich, sind diese Produkte selbst, wie auch deren Namen, völliger Blödsinn. Trotzdem werden sie nach einem vernünftigen Schema hergestellt, welches wir hier sehen können. Der Anteil der braunen Biolinsen in dem Produkt Wellness beträgt 0,8 oder 80 %. 0,8 und 80 % ist ja dieselbe Zahl. Der Anteil der pinken Steine aus dem Produkt Wellness beträgt 0,1 oder 10 % und so weiter. Die eigentliche Aufgabe besteht nun darin, diesen Produktionsprozess als Matrix darzustellen. Wie das genau geht, können wir verstehen, wenn wir uns überlegen, was wir erreichen wollen. Also: hier soll eine Matrix stehen. Wenn wir diese mit einem Vektor multiplizieren, indem die Mengen der beiden herzustellenden Produkte stehen, dann soll hier ein Vektor herauskommen, in dem steht, welche Mengen des jeweiligen Grundstoffs wir benötigen. Nehmen wir an, wir wollen 200 kg des Granulates Wellness und 300 kg des Granulates Bliss herstellen. Dann müssen wir in die erste Zeile der Matrix eintragen, welche Anteile der Biolinsen in den Endprodukten vorkommen, damit die Multiplikation mit dem Endproduktvektor den Bedarf an Biolinsen ergibt. Die Anteile sind 0,8 und 0,9. Jetzt rechnen wir 0,8×200 kg + 0,9×300 kg, und das ergibt 430 kg. In der zweiten Zeile der Matrix können wir die Anteile der pinkfarbenen Steine eintragen, denn die Multiplikation mit dem Endproduktvektor ergibt dann den Bedarf dieser Steinsorte. Die Anteile sind 0,1 und 0,06. Und 0,1×200 kg + 0,06×300 kg ergibt 38 kg. Das Gleiche gilt für die dritte und vierte Zeile. Hier stehen die Anteile, und hier der Bedarf. Weil man mit dieser Matrix den Grundproduktbedarf ausrechnen kann, heißt sie Bedarfsmatrix. Wir haben nun für bestimmte gewünschte Endproduktmengen den Bedarf der Grundstoffe ausgerechnet. Ist in einer Aufgabe aber nur nach der Bedarfsmatrix gefragt, dann brauchst Du das hier gar nicht mehr - und das ist das richtige Ergebnis.

Übergangsmatrizen – Beispiel Wohlfühlgranulat Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Übergangsmatrizen – Beispiel Wohlfühlgranulat kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die Bedarfsmatrix auf.

    Tipps

    Die rechte Seite ist für diese Aufgabe noch nicht interessant.

    Beachte, dass eine Matrix mit einem Vektor multipliziert wird, indem jede Zeile mit dem Vektor multipliziert wird.

    In die erste Zeile gehören also die Biolinsen-Anteile hinein. Überlege dir, welcher an der ersten und welcher an der zweiten Stelle steht.

    Lösung

    Da in der ersten Zeile des Vektors die zu produzierende Menge Wellness und in der zweiten Zeile die entsprechende Menge Bliss steht, muss in der Bedarfsmatrix links der jeweilige Anteil einer Zutat für Wellness und rechts der für Bliss stehen.

    Die Werte können der obigen Tabelle entnommen werden.

    Die resultierende Bedarfsmatrix ist hier zu sehen.

  • Berechne den jeweiligen Bedarf der einzelnen Zutaten.

    Tipps

    Um die jeweiligen Anteile zu berechnen, musst du die entsprechende Zeile der Matrix mit dem Vektor

    $\begin{pmatrix} 200 \\ 300 \end{pmatrix}$

    multiplizieren.

    Multipliziere jedes Element der Zeile der Matrix mit dem entsprechenden Element des Vektors und addiere die Produkte.

    Um eine Matrix mit einen Vektor multiplizieren zu können, muss die Anzahl der Spalten in der Matrix gleich der Anzahl der Zeilen im Vektor sein.

    Lösung

    Um eine Matrix mit einem Vektor zu multiplizieren, multipliziert man jede Zeile der Matrix mit dem Vektor:

    • Gesamtbedarf der Biolinsen: $0,8\cdot 200+0,9\cdot 300=430$
    • Gesamtbedarf der pinkfarbenen Steine: $0,1\cdot 200+0,06\cdot 300=38$
    • Gesamtbedarf der gelben Steine: $0,05\cdot 200+0,03\cdot 300=19$
    • Gesamtbedarf der grünen Steine: $0,05\cdot 200+0,01\cdot 300=13$

  • Entscheide, welche Rechnung die Menge der jeweiligen Teesorten beschreibt.

    Tipps

    Stelle zunächst die Bedarfsmatrix auf:

    • Die Spalten beziehen sich auf „Spirit of Roses“ sowie „Orange Dreams“ und
    • die Zeile auf die Zutaten schwarzer Tee, grüner Tee, Rosenblüten und Orangenblüten.

    Beachte, dass eine Matrix mit einem Vektor multipliziert wird, indem man jede Zeile der Matrix mit dem Vektor multipliziert.

    Achte jeweils auf die Reihenfolge.

    Lösung

    Die Prozentangaben können in einer Matrix aufgeschrieben werden:

    • Die Spalten beziehen sich auf „Spirit of Roses“ sowie „Orange Dreams“ und
    • die Zeile auf die Zutaten: schwarzer Tee, grüner Tee, Rosenblüten und Orangenblüten.
    $\begin{pmatrix} 0,7& 0,3\\ 0,2& 0,55\\ 0,08&0,05\\ 0,02&0,1 \end{pmatrix}$

    Die zu produzierenden Mengen der verschiedenen Teemischungen werden als Spaltenvektor geschrieben. Dabei entspricht die erste Zeile dem Tee „Spirit of Roses“ und die zweite „Orange Dreams“. Sei die zu produzierende Menge

    • von „Spirit of Roses“ durch $x$ beschrieben,
    • von „Orange Dreams“ durch $y$,
    dann ergibt sich die folgende Rechnung:

    $\begin{pmatrix} 0,7& 0,3\\ 0,2& 0,55\\ 0,08&0,05\\ 0,02&0,1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

    Nun können verschiedene Werte für $x$ und für $y$ eingesetzt werden und man erhält den jeweiligen Bedarf an Zutaten.

  • Berechne die jeweils benötigten Zutaten für die beiden Teesorten.

    Tipps

    Zu berechnen ist das nebenstehende Produkt.

    Man multipliziert eine Matrix mit einem Vektor, indem man jede Zeile der Matrix mit dem Vektor multipliziert.

    Die erste Zeile ist hier bereits zu sehen.

    Die Summe der einzelnen Zutaten muss gerade $90~kg$ betragen.

    Lösung

    Mithilfe der Bedarfsmatrix kann der Bedarf an den jeweiligen Zutaten berechnet werden.

    Hierfür wird diese Matrix mit dem Vektor, in welchem die Mengen der Teemischungen in der entsprechenden Reihenfolge stehen, multipliziert.

    Man multipliziert eine Matrix mit einem Vektor, indem man jede Zeile mit diesem Vektor multipliziert.

    Somit ergibt sich für die Mengen:

    • (S): $0,7\cdot 50+0,3\cdot 40=47~ kg$
    • (G): $0,2\cdot 50+0,55\cdot 40=32 ~kg$
    • (S): $0,08\cdot 50+0,05\cdot 40=6 ~kg$
    • (S): $0,02\cdot 50+0,1\cdot 40=5 ~kg$
    Man kann dieses Ergebnis prüfen: Die Summe der Zutaten muss gerade $50+40=90$ kg sein.

    • $47+32+6+5=90~kg$ $~~~~~$✓
  • Beschreibe, was die jeweiligen Einträge bedeuten.

    Tipps

    In jeder Spalte befindet sich die Zutat.

    In den Zeilen befinden sich die Anteile der Zutaten an dem jeweiligen Granulat.

    Wenn du eine Dezimalzahl in Prozent umrechnen möchtest, multipliziere sie mit $100$.

    Lösung

    Es sollen die beiden Wohlfühlgranulate Wellness und Bliss hergestellt werden. Die jeweiligen Anteile sind dieser Tabelle zu entnehmen:

    Für Wellness werden

    • $80~\%$ Biolinsen,
    • $10~\%$ pinkfarbene Steine
    • $5~\%$ gelbe und
    • $5~\%$ grüne.
    Für Bliss werden die folgenden Anteile benötigt
    • $90 ~\%$ Biolinsen,
    • $6~\%$ pinkfarbene Steine
    • $3~\%$ gelbe und
    • $1~\%$ grüne.

  • Leite her, wie viel Tee man mit den entsprechenden Zutaten herstellen kann und wie viel der fehlenden Zutaten noch besorgt werden muss.

    Tipps

    Die Mengen der Teemischungen sind ganzzahlig. Gesamt sind es $18 ~kg$.

    Löse das nebenstehende Gleichungssystem: Subtrahiere vom doppelten der ersten Zeile das siebenfache der zweiten.

    Du erhältst dann die Gleichung $-3,25y=-32,5$.

    Setze die so erhaltenen Lösungen in der nebenstehenden Rechnung ein.

    Wenn du alle Zutaten addierst, kommst du wieder auf die Gesamtmenge der beiden Teemischungen, nämlich $18~ kg$.

    Lösung

    Da die beiden Zutaten für Alices Lieblingsteemischungen (der schwarze Tee und auch der grüne Tee) noch vorhanden sind und deren Menge bekannt ist, kann man zunächst ausrechnen, wie viel von jeder der beiden Teemischungen man mit diesen beiden Zutaten erhält. Dabei sei $x$ die Menge an „Spirit of Roses“ und $y$ die Menge an „Orange Dreams“.

    Dies führt zu dem folgenden Gleichungssystem:

    $\begin{pmatrix} 0,7& 0,3\\ 0,2& 0,55 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8,6 \\ 7,1 \end{pmatrix}$.

    Wenn man die erste Zeile mit $2$ multipliziert und die zweite mit $-7$ und die so erhaltenen Gleichungen addiert, gelangt man zu

    $\begin{array}{rclll} 0,7\cdot x+0,3\cdot y &=&8,6&|&\cdot 2\\ 0,2\cdot x+0,55\cdot y&=&7,1&|&\cdot (-7)\\ \hline 0,14\cdot x+0,6\cdot y&=&17,2\\ -0,14\cdot x-3,85\cdot y&=&-49,7&|&+\\ \hline -3,25\cdot y&=&-32,5 \end{array}$

    Division durch $-3,25$ führt zu $y=10$. Damit kann $x$ berechnet werden: Dies funktioniert durch Einsetzen (zum Beispiel) in die obere Gleichung:

    $\begin{array}{rclll} 0,7\cdot x+0,3\cdot 10 &=&8,6&|&-3\\ 0,7\cdot x&=&5,6&|&:0,7\\ x&=&8 \end{array}$

    Nun ist bereits bekannt, dass $8 ~kg$ „Spirit of Roses“ sowie $10 ~kg$ „Orange Dreams“ produziert werden können.

    Um nun noch herauszufinden, wie viele Rosen- und Orangenblüten Alice sammeln muss, muss die folgende Multiplikation durchgeführt werden:

    $\begin{pmatrix} 0,08&0,05\\ 0,02&0,1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,08\cdot 8+0,05\cdot 10 \\ 0,02\cdot 8+0,1\cdot 10 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1,14\\ 1,16 \end{pmatrix}$

    Das bedeutet, dass $1,14 ~kg$ Rosen- und $1,16 ~kg$ Orangenblüten benötigt werden.

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