Übergangsmatrix aus Diagramm erstellen
Beschreibung Übergangsmatrix aus Diagramm erstellen
Hallo und herzlich willkommen zu meinem Übungsvideo zur Übergangsmatrix. Das Erstellen der Übergangsmatrix aus einem gegebenen Übergangsdiagramm ist eine häufig gestellte Aufgabe zum Thema „Matrizen“. Gegeben ist also ein Diagramm, aus dem nun abgelesen werden muss, was beim Übergang vom Anfangsprodukt ins Endprodukt passiert. Das Verfahren ist bei verschiedenen Aufgaben nahezu gleich. Deshalb wird hier allgemein gezeigt, wie es geht. Auf mögliche Beispiele wird deshalb nur am Rande eingegangen.
Transkript Übergangsmatrix aus Diagramm erstellen
Hallo! Das hier ist eine Grafik, die nicht ganz übersichtlich ist. Sie beschreibt einen Übergangsprozess. Es gibt viele Aufgaben, in denen verlangt wird, aus so einer Grafik eine Übergangsmatrix zu erstellen. Und zwar ist das meistens wichtig, den zugrunde liegenden Sachzusammenhang einer Aufgabe zu verstehen. In diesem Fall ist das aber kaum nötig. Diese Zahlen könnten zum Beispiel bedeuten, dass 60 % der Wähler der Partei 1, diese Partei bei der nächsten Wahl wieder wählen. 0,6 ist ja gleich 60 %. 30 % der Wähler wechseln zu Partei 2 und 10 % wechseln zu Partei 3. Die anderen Zahlen kannst du dann entsprechend interpretieren. Nicht immer müssen Zahlen in Übergangsschaubildern Anteile bedeuten, wie zum Beispiel bei diesem hier. Und zwar können diese beiden Zahlen noch als Anteile verstanden werden, die 30 und 70 aber nicht. Hierbei könnte es sich zum Beispiel um Insekten handeln, die sich in drei verschiedenen Zuständen befinden können, und die im Zustand 2, 30 Eier legen, was dann wieder Insekten in Zustand 1 zufolge hat. Und die im Zustand 3, 70 Eier legen, mit den bekannten Folgen. Die Matrix dazu sieht so aus. Kein Insekt verbleibt in Zustand 1, 20 % erreichen Zustand 2, und kein Insekt kann Zustand 2 überspringen und gleich in Zustand 3 wechseln. Du kannst aber auch einfach die Zahlen aus der Grafik abschreiben. Am Fall von Z2 zu Z1 steht eine 30. Also steht hier die 30. Von Z2 zu Z2 steht nichts, also steht hier die 0. Am Fall von Z2 zu Z3 steht 0,4. Also steht hier 0,4. Gleiches gilt für die anderen Zahlen. Wenn die Zahlen an den Pfeilen Anteile bedeuten, wie im ersten Beispiel, kann es vorkommen, dass die Summe der Zahlen an den Pfeilen, die bei einem Zustand beginnen, gleich 1 ist. Wie zum Beispiel hier. 0,6+0,1+0,3 ergibt 1. 0,8+0,1+0,1 ergibt auch 1. Und 0,7+0,1+0,2 ergibt ebenfalls 1. Das bedeutet, dass die Anzahl aller beteiligten Objekte immer gleich bleibt. Das muss aber nicht immer so sein, wie in diesem Beispiel. Es könnte sich bei dieser Übergangsgrafik um die Beschreibung von Bäumen handeln. 30 % aller jungen Bäume werden zu halbgroßen Bäumen. Die anderen werden vielleicht von Ziegen aufgefressen. 70 % dieser Bäume werden groß und stark und die anderen 30 % werden von Elefanten umgeworfen. Und wo hier die restlichen 20 % bleiben, kannst du dir ja selber ausdenken. Hier oben steht keine Zahl, sondern ein x. Auch das kommt vor. Dann sollst du wahrscheinlich im Verlauf der Aufgabe das x so bestimmen, dass die Anzahl der Bäume auf lange Sicht gleich bleibt, oder so ähnlich. Nun siehst du noch die Matrix dazu, und damit sind wir fertig.
Übergangsmatrix aus Diagramm erstellen Übung
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Gib die Übergangsmatrix für die beschriebene Situation an.
TippsDies ist die Grundstruktur der Übergangsmatrix: Zum Beispiel steht in der dritten Zeile, zweite Spalte, die Zahl, welche den Übergang von $Z_2$ nach $Z_3$ angibt.
Beachte, dass zum Beispiel von $Z_1$ nach $Z_3$ kein Pfeil zeigt. Das bedeutet, an der entsprechenden Stelle steht eine $0$.
In der Matrix befinden sich genau so viele Einträge, welche ungleich $0$ sind, wie die Anzahl der Pfeile in dem obigen Diagramm.
LösungHier ist die korrekte Übergangsmatrix zu sehen. Wie kommt man zu dieser?
Erste Spalte: Hier stehen alle Übergänge von $Z_1$ nach ...
- $Z_1$: hier ist kein Pfeil, also gehört hier die $0$ hin.
- $Z_2$: hier ist ein Pfeil mit $0,2$. Dies gehört an diese Stelle.
- $Z_3$: auch hier ist wieder kein Pfeil.
- $Z_1$: hier ist ein Pfeil mit $30$.
- $Z_2$: hier ist kein Pfeil.
- $Z_3$: hier ist ein Pfeil mit $0,4$.
- $Z_1$: hier ist ein Pfeil mit $70$.
- $Z_2$: hier ist kein Pfeil.
- $Z_3$: hier ist ebenfalls kein Pfeil.
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Stelle die Übergangsmatrix auf.
TippsAuf der Diagonalen der Matrix stehen die Zahlen, welche von einem Zustand zu sich selbst führen.
Beachte: Die Summe der Elemente einer Spalte ist immer $1$.
An der ersten Stelle der zweiten Spalte steht die Zahl, welche den Übergang von $Z_2$ nach $Z_1$ beschreibt.
LösungDie Übergangsmatrix ist hier zu sehen. Diese kann Spalte für Spalte wie folgt erklärt werden:
Erste Spalte:
- Zeile: Übergang von $Z_1$ nach $Z_1$, also $0,6$
- Zeile: Übergang von $Z_1$ nach $Z_2$, also $0,3$
- Zeile: Übergang von $Z_1$ nach $Z_3$, also $0,1$
Zweite Spalte:
- Zeile: Übergang von $Z_2$ nach $Z_1$, also $0,1$
- Zeile: Übergang von $Z_2$ nach $Z_2$, also $0,8$
- Zeile: Übergang von $Z_2$ nach $Z_3$, also $0,1$
- Zeile: Übergang von $Z_3$ nach $Z_1$, also $0,1$
- Zeile: Übergang von $Z_3$ nach $Z_2$, also $0,2$
- Zeile: Übergang von $Z_3$ nach $Z_3$, also $0,7$
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Leite die Übergangsmatrix her.
TippsDie Einträge sind jeweils die zu den Prozentangaben gehörenden Dezimalzahlen.
Die jeweiligen Anteile der bei einem Sender verbleibenden Zuhörer stehen auf der Diagonale der Matrix.
Wenn du die Elemente spaltenweise addierst, erhältst du jeweils als Summe $1$.
LösungDie Übergangsmatrix ist hier zu sehen. Spalte für Spalte erklärt sich diese wie folgt
Erste Spalte:
- Zeile: Verbleib der Zuhörer bei $A$, also $0,5$
- Zeile: Wechsel der Zuhörer von $A$ nach $B$, also $0,3$
- Zeile: Wechsel der Zuhörer von $A$ nach $C$, also $0,2$
$\begin{pmatrix} ...&0,2&... \\ ...&0,7&...\\ ...&0,1&... \end{pmatrix}$
Und in der dritten Spalte, von $C$ ausgehend, ergibt sich:
$\begin{pmatrix} ...&...&0,15 \\ ...&...&0,15\\ ...&...&0,7 \end{pmatrix}$
Auch hier, bei den Einträgen der Anteile, kann man feststellen, dass die Spaltensummen jeweils $1$ ergeben.
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Prüfe die Übergangsmatrix.
Tipps$50 ~\%$ der Beaglebesitzer würden sich wieder einen Beagle zulegen, $30 ~\%$ würden zu einem Golden Retriever und $20 ~\%$ zu einem Dalmatiner wechseln. Dies gehört in die erste Spalte der Übergangsmatrix.
$40~ \%$ der Besitzer eines Golden Retrievers würden sich als nächsten Hund einen Beagle zulegen. Die jeweiligen Anteile derer, die sich wieder einen Golden Retriever ($x$) zulegen oder zu einem Dalmatiner ($y$) wechseln würden, sind nicht bekannt.
Beachte, dass sowohl in der ersten als auch der dritten Spalte die Summe der Elemente $1$ ist.
LösungDie Veränderungen sind in dieser Übergangsmatrix zu sehen.
Es ist also durchaus auch möglich, dass sich nicht ausschließlich feste Werte in dieser Matrix befinden.
Zum Beispiel könnte noch nicht bekannt sein, wie groß der Anteil der Hundebesitzer ist, die vormals einen Golden Retriever besessen haben und sich wieder einen kaufen würden ($x=?$) oder sich beim nächsten Hund für einen Dalmatiner entscheiden würden ($y=?$).
Am Beispiel der Spalte B: $50~ \%$ der Beaglebesitzer würden sich wieder einen Beagle zulegen, $30 ~\%$ würden zu einem Golden Retriever und $20 ~\%$ zu einem Dalmatiner wechseln. Da die Summe $100~\%=1$ ergibt, bedeutet dies, dass alle Beaglebesitzer sich auf jeden Fall wieder einen Hund zulegen würden. Dies ist auch bei den Besitzern eines Dalmatiners so. Da sowohl $x$ als auch $y$ unbekannt sind, kann man dies bei den Besitzern von Golden Retrievern nicht wissen.
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Beschreibe, was eine Übergangsmatrix ist.
TippsDie zugehörige Übergangsmatrix lautet
$\begin{pmatrix} 0&30&70 \\ 0,2&0&0\\ 0&0,4&0 \end{pmatrix}$
Es können durchaus Anteile - zum Beispiel bei Wechselbewegungen von WählerInnen - in der Übergangsmatrix stehen.
Eine solche Matrix siehst du hier.
LösungEine Übergangsmatrix ist eine Matrix, welche aufgrund von Informationen aus einem Übergangsdiagramm erstellt werden kann.
Die Zahlen in dem Übergangsdiagramm müssen nicht immer Anteile sein, wie in dem neben stehenden Diagramm zu sehen.
Eine Besonderheit ist eine Übergangsmatrix, in der die Spaltensummen immer $1$ sind. Dies muss jedoch nicht immer sein, wie zum Beispiel bei der Übergangsmatrix zu nebenstehendem Diagramm:
$\begin{pmatrix} 0&30&70 \\ 0,2&0&0\\ 0&0,4&0 \end{pmatrix}$
Es müssen auch nicht immer Zahlen darin stehen. Es können auch durchaus Variablen in dem Diagramm stehen.
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Bestimme die Verteilung der Hunde.
TippsDie Hälfte der Beagle-Besitzer würden sich wieder einen Beagle zulegen. Das sind $150$. Hinzu kommen $40 ~\%$ der Retriever Besitzer und $60 ~\%$ der Dalmatiner Besitzer, die zu einem Beagle wechseln würden.
Die Zahl der Personen, die von einem Beagle zu einem Dalmatiner wechselt, ist $0,2\cdot 300=60$.
Berechne ebenso die Zahl derer, die von einem Golden Retriever zu einem Dalmatiner wechseln oder bei einem Dalmatiner bleiben, und addiere diese Werte.
Du kannst auch die Übergangsmatrix mit dem Vektor multiplizieren, in welchem die jeweilige Anzahl steht, so wie hier zu sehen.
Eine Matrix wird mit einem Vektor multipliziert, indem man jede Zeile der Matrix mit dem Vektor multipliziert.
LösungDie Übergangsmatrix wird unter anderem auch deshalb aufgestellt, weil man mithilfe dieser Matrix Entwicklungen berechnen kann.
Wir untersuchen, wie sich die Zahl der Hunde verteilt, wenn die Besitzer sich neu entscheiden würden.
Hierfür wird die Übergangsmatrix mit dem Vektor multipliziert, in welchem sich die anfängliche Anzahl der Hunde (oder Hundebesitzer) befindet. Diese ist hier zu sehen.
Eine Matrix wird mit einem Vektor multipliziert, indem man jede Zeile der Matrix mit dem Vektor multipliziert.
- Somit erhält man für die Beagle $0.5\cdot 300+0,4\cdot 500+0,6\cdot 200=150+200+120=470$,
- für die Golden Retriever $0.3\cdot 300+0,5\cdot 500+0,2\cdot 200=90+250+40=380$
- und für die Dalmatiner $0.2\cdot 300+0,1\cdot 500+0,2\cdot 200=60+50+40=150$.
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