Übergangsmatrix aus Diagramm erstellen

Übergangsmatrix aus Diagramm erstellen Übung

• Gib die Übergangsmatrix für die beschriebene Situation an.

  Tipps

  Dies ist die Grundstruktur der Übergangsmatrix: Zum Beispiel steht in der dritten Zeile, zweite Spalte, die Zahl, welche den Übergang von $Z_2$ nach $Z_3$ angibt.

  Beachte, dass zum Beispiel von $Z_1$ nach $Z_3$ kein Pfeil zeigt. Das bedeutet, an der entsprechenden Stelle steht eine $0$.

  In der Matrix befinden sich genau so viele Einträge, welche ungleich $0$ sind, wie die Anzahl der Pfeile in dem obigen Diagramm.

  Lösung

  Hier ist die korrekte Übergangsmatrix zu sehen. Wie kommt man zu dieser?

  Erste Spalte: Hier stehen alle Übergänge von $Z_1$ nach ...

  • $Z_1$: hier ist kein Pfeil, also gehört hier die $0$ hin.
  • $Z_2$: hier ist ein Pfeil mit $0,2$. Dies gehört an diese Stelle.
  • $Z_3$: auch hier ist wieder kein Pfeil.

  Zweite Spalte: Hier stehen alle Übergänge von $Z_2$ nach ...

  • $Z_1$: hier ist ein Pfeil mit $30$.
  • $Z_2$: hier ist kein Pfeil.
  • $Z_3$: hier ist ein Pfeil mit $0,4$.

  Dritte Spalte: Hier stehen alle Übergänge von $Z_3$ nach ...

  • $Z_1$: hier ist ein Pfeil mit $70$.
  • $Z_2$: hier ist kein Pfeil.
  • $Z_3$: hier ist ebenfalls kein Pfeil.

• Stelle die Übergangsmatrix auf.

  Tipps

  Auf der Diagonalen der Matrix stehen die Zahlen, welche von einem Zustand zu sich selbst führen.

  Beachte: Die Summe der Elemente einer Spalte ist immer $1$.

  An der ersten Stelle der zweiten Spalte steht die Zahl, welche den Übergang von $Z_2$ nach $Z_1$ beschreibt.

  Lösung

  Die Übergangsmatrix ist hier zu sehen. Diese kann Spalte für Spalte wie folgt erklärt werden:

  Erste Spalte:

  1. Zeile: Übergang von $Z_1$ nach $Z_1$, also $0,6$
  2. Zeile: Übergang von $Z_1$ nach $Z_2$, also $0,3$
  3. Zeile: Übergang von $Z_1$ nach $Z_3$, also $0,1$

  Die Summe dieser Elemente ist $1$. Dies ist bei den beiden übrigen Spalten ebenfalls so.

  Zweite Spalte:

  1. Zeile: Übergang von $Z_2$ nach $Z_1$, also $0,1$
  2. Zeile: Übergang von $Z_2$ nach $Z_2$, also $0,8$
  3. Zeile: Übergang von $Z_2$ nach $Z_3$, also $0,1$

  Dritte Spalte:

  1. Zeile: Übergang von $Z_3$ nach $Z_1$, also $0,1$
  2. Zeile: Übergang von $Z_3$ nach $Z_2$, also $0,2$
  3. Zeile: Übergang von $Z_3$ nach $Z_3$, also $0,7$

• Leite die Übergangsmatrix her.

  Tipps

  Die Einträge sind jeweils die zu den Prozentangaben gehörenden Dezimalzahlen.

  Die jeweiligen Anteile der bei einem Sender verbleibenden Zuhörer stehen auf der Diagonale der Matrix.

  Wenn du die Elemente spaltenweise addierst, erhältst du jeweils als Summe $1$.

  Lösung

  Die Übergangsmatrix ist hier zu sehen. Spalte für Spalte erklärt sich diese wie folgt

  Erste Spalte:

  1. Zeile: Verbleib der Zuhörer bei $A$, also $0,5$
  2. Zeile: Wechsel der Zuhörer von $A$ nach $B$, also $0,3$
  3. Zeile: Wechsel der Zuhörer von $A$ nach $C$, also $0,2$

  In der zweiten Spalte wird analog jeweils der Wechsel von $B$ nach $A$ (1. Zeile) oder $C$ (3. Zeile) sowie der Verbleib bei $B$ (2. Zeile) der Zuhörer betrachtet:

  $\begin{pmatrix} ...&0,2&... \\ ...&0,7&...\\ ...&0,1&... \end{pmatrix}$

  Und in der dritten Spalte, von $C$ ausgehend, ergibt sich:

  $\begin{pmatrix} ...&...&0,15 \\ ...&...&0,15\\ ...&...&0,7 \end{pmatrix}$

  Auch hier, bei den Einträgen der Anteile, kann man feststellen, dass die Spaltensummen jeweils $1$ ergeben.

• Prüfe die Übergangsmatrix.

  Tipps

  $50 ~\%$ der Beaglebesitzer würden sich wieder einen Beagle zulegen, $30 ~\%$ würden zu einem Golden Retriever und $20 ~\%$ zu einem Dalmatiner wechseln. Dies gehört in die erste Spalte der Übergangsmatrix.

  $40~ \%$ der Besitzer eines Golden Retrievers würden sich als nächsten Hund einen Beagle zulegen. Die jeweiligen Anteile derer, die sich wieder einen Golden Retriever ($x$) zulegen oder zu einem Dalmatiner ($y$) wechseln würden, sind nicht bekannt.

  Beachte, dass sowohl in der ersten als auch der dritten Spalte die Summe der Elemente $1$ ist.

  Lösung

  Die Veränderungen sind in dieser Übergangsmatrix zu sehen.

  Es ist also durchaus auch möglich, dass sich nicht ausschließlich feste Werte in dieser Matrix befinden.

  Zum Beispiel könnte noch nicht bekannt sein, wie groß der Anteil der Hundebesitzer ist, die vormals einen Golden Retriever besessen haben und sich wieder einen kaufen würden ($x=?$) oder sich beim nächsten Hund für einen Dalmatiner entscheiden würden ($y=?$).

  Am Beispiel der Spalte B: $50~ \%$ der Beaglebesitzer würden sich wieder einen Beagle zulegen, $30 ~\%$ würden zu einem Golden Retriever und $20 ~\%$ zu einem Dalmatiner wechseln. Da die Summe $100~\%=1$ ergibt, bedeutet dies, dass alle Beaglebesitzer sich auf jeden Fall wieder einen Hund zulegen würden. Dies ist auch bei den Besitzern eines Dalmatiners so. Da sowohl $x$ als auch $y$ unbekannt sind, kann man dies bei den Besitzern von Golden Retrievern nicht wissen.

• Beschreibe, was eine Übergangsmatrix ist.

  Tipps

  Die zugehörige Übergangsmatrix lautet

  $\begin{pmatrix} 0&30&70 \\ 0,2&0&0\\ 0&0,4&0 \end{pmatrix}$

  Es können durchaus Anteile - zum Beispiel bei Wechselbewegungen von WählerInnen - in der Übergangsmatrix stehen.

  Eine solche Matrix siehst du hier.

  Lösung

  Eine Übergangsmatrix ist eine Matrix, welche aufgrund von Informationen aus einem Übergangsdiagramm erstellt werden kann.

  Die Zahlen in dem Übergangsdiagramm müssen nicht immer Anteile sein, wie in dem neben stehenden Diagramm zu sehen.

  Eine Besonderheit ist eine Übergangsmatrix, in der die Spaltensummen immer $1$ sind. Dies muss jedoch nicht immer sein, wie zum Beispiel bei der Übergangsmatrix zu nebenstehendem Diagramm:

  $\begin{pmatrix} 0&30&70 \\ 0,2&0&0\\ 0&0,4&0 \end{pmatrix}$

  Es müssen auch nicht immer Zahlen darin stehen. Es können auch durchaus Variablen in dem Diagramm stehen.

• Bestimme die Verteilung der Hunde.

  Tipps

  Die Hälfte der Beagle-Besitzer würden sich wieder einen Beagle zulegen. Das sind $150$. Hinzu kommen $40 ~\%$ der Retriever Besitzer und $60 ~\%$ der Dalmatiner Besitzer, die zu einem Beagle wechseln würden.

  Die Zahl der Personen, die von einem Beagle zu einem Dalmatiner wechselt, ist $0,2\cdot 300=60$.

  Berechne ebenso die Zahl derer, die von einem Golden Retriever zu einem Dalmatiner wechseln oder bei einem Dalmatiner bleiben, und addiere diese Werte.

  Du kannst auch die Übergangsmatrix mit dem Vektor multiplizieren, in welchem die jeweilige Anzahl steht, so wie hier zu sehen.

  Eine Matrix wird mit einem Vektor multipliziert, indem man jede Zeile der Matrix mit dem Vektor multipliziert.

  Lösung

  Die Übergangsmatrix wird unter anderem auch deshalb aufgestellt, weil man mithilfe dieser Matrix Entwicklungen berechnen kann.

  Wir untersuchen, wie sich die Zahl der Hunde verteilt, wenn die Besitzer sich neu entscheiden würden.

  Hierfür wird die Übergangsmatrix mit dem Vektor multipliziert, in welchem sich die anfängliche Anzahl der Hunde (oder Hundebesitzer) befindet. Diese ist hier zu sehen.

  Eine Matrix wird mit einem Vektor multipliziert, indem man jede Zeile der Matrix mit dem Vektor multipliziert.

  • Somit erhält man für die Beagle $0.5\cdot 300+0,4\cdot 500+0,6\cdot 200=150+200+120=470$,
  • für die Golden Retriever $0.3\cdot 300+0,5\cdot 500+0,2\cdot 200=90+250+40=380$
  • und für die Dalmatiner $0.2\cdot 300+0,1\cdot 500+0,2\cdot 200=60+50+40=150$.