Trapez – Flächeninhaltsformeln mit Winkeln

Hallo liebe Schülerinnen und Schüler! Herzlich willkommen zu diesem Video Geometrie - Teil 35. Das Video heißt "Das Trapez". Der Untertitel lautet "(d) Flächeninhaltsformel mit Winkeln". Ich möchte euch darauf hinweisen, dass dieses Video über den Grundschulstoff hinausgeht. Es ist für Schülerinnen und Schüler der 10. Klasse geeignet. Im Video Geometrie 34 haben wir die Flächeninhaltsformel für das Trapez exakt hergeleitet. Sie lautet A=a+c/2×h. a und c sind die beiden parallelen Seiten des Trapezes, h die Höhe. Um eine Formel herzuleiten, in der Winkel enthalten sind, werden wir folgende Herleitungsskizze benutzen: Die Höhen habe ich eingezeichnet, oben ist die Seite c. Die Länge der Seite c haben wir auch unten eingezeichnet. Das ist der Streckenabschnitt e und das ist der Streckenabschnitt f. Ich trage noch die übrigen Seiten ein. Unten die lange Seite ist a, rechts haben wir b und links d. Links haben wir den Winkel α und rechts den Winkel β. Die neue Flächeninhaltsformel leiten wir her, indem wir von der Formel ausgehen, die wir bereits im Video 34 gefunden haben. A=a+c/2×h. Die Seite a setzt sich zusammen aus dem Streckenabschnitt e, der Seite c und dem Streckenabschnitt f. Wenn wir die Definition des Cosinuses auf den Winkel α übertragen und die Gleichung umstellen, erhalten wir e=d×cosα. Tun wir das gleiche für f und den Winkel β, so erhalten wir f=b×cosβ. Wir setzen nun in die Gleichung a=e+c+f für e und f die Ausdrücke, in denen die Winkel enthalten sind, ein. Somit erhalten wir d×cosα+c+b×cosβ. sinα=h/d. Daraus erhalten wir h=d×sinα. Wir können nun die entsprechenden Ausdrücke in die Gleichung in der oberen Zeile einsetzen. A=, großer Bruchstrich, im Zähler steht d×cosα+c+b×cosβ. Das ist der Ausdruck für A.Der große Pfeil deutet darauf hin. Im Nenner haben wir eine 2. Und es geht weiter. Wir addieren nun ganz einfach im Zähler noch ein c, +c. Der Bruch wird nun mit dem Ausdruck für h, der große Pfeil deutet das an, multipliziert, also ×d×sinα. In der unteren Gleichung sehen wir, dass wir im Zähler des Bruches zweimal ein c haben. Das können wir noch zusammenfassen, dann sind wir praktisch fertig. So, jetzt habe ich die beiden cs zusammengefasst und habe jetzt oben diese rote Gleichung erhalten. A=2c+b×cosβ+d×cosα/2×d×sinα. So, außerdem gilt sinβ=h/b. Also h=b×sinβ. Wir können also für h statt d×sinα b×sinβ schreiben. Damit erhalten wir noch eine zweite Gleichung. Der Bruchterm bleibt komplett erhalten. A=2c+b×cosβ+d×cosα/2×b×sinβ. Damit haben wir zwei Gleichungen der gewünschten Form enthalten, (1) und (2). So, das wärs für heute! Wie gesagt, diese Aufgabe hat einen erhöhten Schwierigkeitsgrad. Ihr lieben Schülerinnen und Schüler, ich hoffe, wir hören und sehen uns bald wieder. Tschüss!