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Stochastische Unabhängigkeit – Musiker

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Martin Wabnik
Stochastische Unabhängigkeit – Musiker
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Stochastische Unabhängigkeit – Musiker

In diesem Video geht es darum zu entscheiden, ob zwei Ereignisse unabhängig sind. Hier ist die Aufgabenstellung: Die Musiker "Bird" (CP) und "Mr Slowhand" (EC) treffen sich öfter montags zu einer Jam-Session im Carlyle. CP ist an 80 % der Montage dort, EC an 60 %. An 10 % aller Montage sind beide nicht dort. Entscheide, ob das Erscheinen der Musiker stochastisch unabhängig ist. Um die gegebenen Daten zu ordnen und schnell unsere Schlüsse daraus ziehen zu können, tragen wir die Angaben aus der Aufgabe in eine Vierfeldertafel ein. Mit der Formel der stochastischen Unabhängigkeit können wir dann die Aufgabe lösen.

Stochastische Unabhängigkeit – Musiker Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Stochastische Unabhängigkeit – Musiker kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Vierfeldertafel.

    Tipps

    Rechts unten steht eine $1$ in der Vierfeldertafel. Daran erkennst du, dass du die Prozente als Dezimalbrüche, also Kommazahlen eintragen sollst.

    Es gilt:

    $20\%=0,2$

    Hier siehst du, mit welchen Wahrscheinlichkeiten du die Vierfeldertafel ausfüllen musst.

    Es gilt:

    • $P(EC)=P(EC\cap CP)+P(EC\cap \overline{CP})$
    • $P(\overline{EC})=P(\overline{EC}\cap CP)+P(\overline{EC}\cap \overline{CP})$
    • $P(CP)=P(EC\cap CP)+P(\overline{EC}\cap CP)$
    • $P(\overline{CP})=P(EC\cap \overline{CP})+P(\overline{EC}\cap \overline{CP})$
    • $P(CP)+P(\overline{CP})=1$
    • $P(EC)+P(\overline{EC})=1$
    Lösung

    Wir füllen die Vierfeldertafel mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten aus:

    $\begin{array}{c|c|c|c} & CP & \overline{CP} & \\ \hline EC & P(EC\cap CP) & P(EC\cap \overline{CP}) & P(EC) \\ \hline \overline{EC} & P(\overline{EC}\cap CP) & P(\overline{EC}\cap \overline{CP}) & P(\overline{EC}) \\ \hline & P(CP) & P(\overline{CP}) & 1 \end{array}$

    Zunächst tragen wir die angegebenen Werte ein:

    $\begin{array}{c|c|c|c} & CP & \overline{CP} & \\ \hline EC & P(EC\cap CP) & P(EC\cap \overline{CP}) & \color{#669900}{0,6} \\ \hline \overline{EC} & P(\overline{EC}\cap CP) & \color{#669900}{0,1} & P(\overline{EC}) \\ \hline & \color{#669900}{0,8} & P(\overline{CP}) & 1 \end{array}$

    Es gilt:

    • $1-P(EC)=P(\overline{EC})$
    • $1-P(CP)=P(\overline{CP})$
    Damit folgt:

    $\begin{array}{c|c|c|c} & CP & \overline{CP} & \\ \hline EC & P(EC\cap CP) & P(EC\cap \overline{CP}) & 0,6 \\ \hline \overline{EC} & P(\overline{EC}\cap CP) & 0,1 & \color{#669900}{0,4} \\ \hline & 0,8 & \color{#669900}{0,2} & 1 \end{array}$

    Zudem gilt:

    • $P(EC\cap \overline{CP})=P(\overline{CP})-P(\overline{EC}\cap \overline{CP})$
    • $P(EC\cap CP)=P(EC)-P(EC\cap \overline{CP})$
    • $P(\overline{EC}\cap CP)=P(\overline{EC})-P(\overline{EC}\cap \overline{CP})$
    Daraus ergibt sich:

    $\begin{array}{c|c|c|c} & CP & \overline{CP} & \\ \hline EC & \color{#669900}{0,5} & \color{#669900}{0,1} & 0,6 \\ \hline \overline{EC} & \color{#669900}{0,3} & 0,1 & 0,4 \\ \hline & 0,8 & 0,2 & 1 \end{array}$

  • Gib an, ob das Erscheinen der Musiker stochastisch unabhängig ist.

    Tipps

    Nutze eine Vierfeldertafel, um die Wahrscheinlichkeit $P(EC\cap CP)$ zu bestimmen.

    Ist folgende Gleichung nicht erfüllt, so sind die Ereignisse $A$ und $B$ nicht stochastisch unabhängig:

    • $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
    Lösung

    Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:

    • $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
    Damit müssen wir überprüfen, ob bei uns die folgende Gleichung eine wahre Aussage liefert:

    • $P(EC\cap CP)=P(EC)\cdot P(CP)$
    Folgende Wahrscheinlichkeiten können wir direkt aus der Aufgabenstellung ableiten:

    • $P(EC)=0,6$
    • $P(CP)=0,8$
    • $P(\overline{EC}\cap \overline{CP})=0,1$
    Die Wahrscheinlichkeit $P(EC\cap CP)$ erhalten wir mithilfe einer Vierfeldertafel:

    $\begin{array}{c|c|c|c} & CP & \overline{CP} & \\ \hline EC & 0,5 & 0,1 & 0,6 \\ \hline \overline{EC} & & 0,1 & \\ \hline & 0,8 & 0,2 & 1 \end{array}$

    Mit $P(EC\cap CP)=0,5$ folgt:

    • $P(EC\cap CP)=0,5\neq 0,48=P(EC)\cdot P(CP)$
    Damit ist das Erscheinen der Musiker nicht stochastisch unabhängig.

  • Untersuche die Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit $P(J\cap T)$ kannst du mithilfe einer Vierfeldertafel bestimmen.

    Sind die Ereignisse $J$ und $T$ stochastisch unabhängig, dann gilt:

    • $P(J\cap T)=P(J)\cdot P(T)$
    Lösung

    Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:

    • $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
    Damit müssen wir überprüfen, ob bei uns folgende Gleichung eine wahre Aussage liefert:

    • $P(J\cap T)=P(J)\cdot P(T)$
    Folgende Wahrscheinlichkeiten können wir direkt aus der Aufgabenstellung ableiten:

    • $P(J)=0,55$
    • $P(T)=0,4$
    • $P(\overline{J}\cap \overline{T})=0,3$
    Die Wahrscheinlichkeit $P(J\cap T)$ erhalten wir mithilfe einer Vierfeldertafel:

    $\begin{array}{c|c|c|c} & J & \overline{J} & \\ \hline T & 0,25 & 0,15 & 0,4 \\ \hline \overline{T} & & 0,3 & \\ \hline & 0,55 & 0,45 & 1 \end{array}$

    Mit $P(J\cap T)=0,25$ folgt:

    • $P(J\cap T)=0,25\neq 0,22=P(J)\cdot P(T)$
    Damit ist die Abwesenheit von Jana und Timo nicht stochastisch unabhängig.

  • Ermittle die Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    In dem Grundkurs sitzen insgesamt $24$ Schüler und Schülerinnen.

    Beachte, dass die Tabelle absolute Werte enthält.

    $M$ steht für die Mädchen und $\overline{M}$ für die Jungs.

    Es gibt $6+4=10$ Mädchen in dem Kurs.

    Lösung

    In dem Grundkurs sitzen insgesamt $6+9+4+5=24$ Schüler und Schülerinnen.

    Davon sind $6+4=10$ Mädchen ($M$) und $9+5=14$ Jungs ($\overline{M}$). Es gilt also:

    • $P(M)=\dfrac{10}{24}=\dfrac{5}{12}$
    • $P(\overline{M})=\dfrac{14}{24}=\dfrac{7}{12}$
    Es fahren insgesamt $6+9=15$ Schüler und Schülerinnen mit dem Fahrrad zur Schule:

    • $P(F)=\dfrac{15}{24}=\dfrac{5}{8}$
    Es fahren insgesamt $4+5=9$ Schüler und Schülerinnen nicht mit dem Fahrrad zur Schule:

    • $P(\overline{F})=\dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8}$
    $6$ Mädchen fahren mit dem Fahrrad zur Schule:

    • $P(M\cap F)=\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}$
  • Gib die Beziehung für die stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse $A$ und $B$ an.

    Tipps

    Die Multiplikation ist kommutativ. Das heißt, dass du die Faktoren vertauschen darfst.

    Lösung

    Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:

    • $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
    Damit gilt auch:

    • $P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A)$
  • Bestimme, ob die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mit zwei Würfeln ein Pasch gewürfelt wird, beträgt:

    • $\dfrac 16 \cdot \dfrac 16=\dfrac 1{36}$

    Die Schnittmenge der Ereignisse $A$ und $B$ enthält zwei Ergebnisse, nämlich $(2;2)$ und $(4;4)$.

    Die Ergebnismenge für das Würfeln mit zwei Würfeln enthält $36$ Ergebnisse, nämlich:

    $\Omega = \lbrace(1,1); (1,2); (1,3); ... ; (2,1); (2,2); ... ; (6,6)\rbrace$

    Lösung

    Wir untersuchen nun die folgenden beiden Ereignisse:

    • $A$: Der grüne Würfel zeigt eine $2$ oder eine $4$.
    • $B$: Es wird ein Pasch gewürfelt.
    Jede Augenzahl eines herkömmlichen Würfels fällt mit der Wahrscheinlichkeit $\frac 16$. Die Ergebnismenge für das Würfeln mit zwei Würfeln enthält $36$ Ergebnisse, nämlich:

    $\Omega = \lbrace(1,1); (1,2); (1,3); ... ; (2,1); (2,2); ... ; (6,6)\rbrace$

    Damit gilt für das Ereignis $A$:

    • $P(A)=\dfrac 16+\dfrac 16=\dfrac 26=\dfrac 13$
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mit zwei Würfeln ein Pasch gewürfelt wird, beträgt $\frac 1{36}$. Es sind insgesamt $6$ verschiedene Pasche möglich. Damit erhalten wir:

    • $P(B)=\dfrac 6{36}=\frac 16$
    Die Schnittmenge der Ereignisse $A$ und $B$ enthält zwei Ergebnisse, nämlich $(2;2)$ und $(4;4)$. Damit gilt:

    • $P(A\cap B)=\dfrac 1{36}+\dfrac 1{36}=\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}$
    Damit ist $P(A\cap B)=\frac 1{18}=P(A)\cdot P(B)$. Die Ereignisse $A$ und $B$ sind also stochastisch unabhängig.

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