Stochastische Unabhängigkeit – Baumdiagramm und Vierfeldertafel

Abhängigkeiten sind im Leben mal mehr und mal weniger offensichtlich. Genauso ist es auch bei Abhängigkeiten, die zwischen Wahrscheinlichkeiten bestehen! Die Wenigsten würden zum Beispiel bestreiten, dass die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Krankheit zu bekommen, sinkt, wenn man sich gegen sie impfen lässt. Aber hängt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man gut und ruhig schläft, mit der Zeit zusammen, die man wöchentlich für's Lernen nutzt? Konstellationen wie diese lassen sich mit der richtigen Datengrundlage auf "stochastische Unabhängigkeit" überprüfen. Um zu untersuchen, ob die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse "A" und "B" gegeben ist, können wir entweder DIESE oder DIESE gleichwertige Voraussetzung überprüfen. Wenn wir festgestellt haben, dass eine der beiden Gleichungen erfüllt ist, ist auch die andere erfüllt und die vorliegenden Ereignisse sind stochastisch UNABHÄNGIG. Im Umkehrschluss gilt auch: Ist eine der beiden Gleichungen NICHT erfüllt, ist auch die andere nicht erfüllt und die Ereignisse sind stochastisch ABHÄNGIG. Die Datengrundlage, mit der wir stochastische Unabhängigkeit überprüfen können, ist häufig in Form eines Baumdiagramms oder einer Vierfeldertafel gegeben. Wie wir aus diesen Darstellungsformen jeweils die benötigten Informationen ziehen und nutzen können, schauen wir uns jetzt mal genauer an. Ein erstes Beispiel: Gegeben ist dieses Baumdiagramm, zu dem wir die Wahrscheinlichkeiten der nicht näher bestimmten Ereignisse "A", "B unter der Bedingung A" sowie "Nicht-A und B" haben. Wir möchten jetzt herausfinden, ob die Ereignisse "A" und "B" stochastisch unabhängig sind. Dafür kann man unterschiedliche Ansätze wählen. Eine Möglichkeit besteht darin, zu überlegen, welche Wahrscheinlichkeiten wir im Baumdiagramm ergänzen können. Zunächst können wir mit Gegenwahrscheinlichkeiten arbeiten und so die Wahrscheinlichkeiten für "nicht-A" und für "nicht-B unter der Bedingung A" ergänzen. Die Wahrscheinlichkeit für "B unter der Bedingung nicht-A" können wir dann mit der "Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit" berechnen. Und wenn wir diese Wahrscheinlichkeit eingetragen haben, können wir auch die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ergänzen. Erkennst du schon, ob die Ereignisse "A" und "B" stochastisch unabhängig sind oder nicht? Weil die bedingten Wahrscheinlichkeiten für "B" in der zweiten Stufe des Baumdiagramms voneinander abweichen, müssen die Ereignisse abhängig sein. Denn wenn Ereignis "A" eintritt, ist es unwahrscheinlicher, dass Ereignis "B" eintritt, als wenn Ereignis "A" NICHT eintritt. Um diese Erkenntnis auch RECHNERISCH zu untermauern, brauchen wir noch die Gesamtwahrscheinlichkeit von Ereignis "B". Dafür berechnen wir die Wahrscheinlichkeit von Ereignis "A und B", indem wir die Wahrscheinlichkeiten des oberen Pfades multiplizieren, und addieren dazu dann die Wahrscheinlichkeit von "nicht-A und B". Wir sehen: Die Wahrscheinlichkeit von "B" ist UNgleich der Wahrscheinlichkeit für "B unter der Bedingung A". Das Kriterium für Unabhängigkeit ist also nicht erfüllt und die Ereignisse hängen stochastisch voneinander ab. Wir können uns merken: Wenn wir ein Baumdiagramm gegeben haben, bei dem zwischen zwei Ereignissen unterschieden wird, können wir erkennen, ob die Ereignisse stochastisch abhängig oder unabhängig voneinander sind, indem wir uns die ZWEITE Verzweigung des Baumdiagramms anschauen. Sind die Wahrscheinlichkeiten an diesen Ästen gleich und zwar egal, ob das erste Ereignis eingetreten ist oder nicht (wie es HIER der Fall wäre), sind die Ereignisse stochastisch unabhängig. In DIESEM Beispiel unterscheiden sich die Wahrscheinlichkeiten, je nachdem, ob das erste Ereignis eingetreten ist oder nicht. Sie sind daher stochastisch abhängig. Um auf Nummer Sicher zu gehen, sollten wir das dann auch jeweils noch rechnerisch nachweisen. Ein weiteres typisches Aufgabenformat ist, dass wir eine Vierfeldertafel gegeben haben, wie zum Beispiel DIESE hier. Auch auf dieser Grundlage können wir bestimmen, ob die betrachteten Merkmale stochastisch voneinander abhängen. In dieser Vierfeldertafel sind die absoluten Häufigkeiten einer Studie zu der Lernzeitbelastung von Schüler*innen einerseits und ihrer Schlafqualität andererseits erfasst. Um auf stochastische Unabhängigkeit zu überprüfen, wählen wir jetzt eine beliebige Und-Verknüpfung – zum Beispiel einfach DIESE – und berechnen ihre Wahrscheinlichkeit. Um Schreibarbeit zu sparen, nennen wir die Ereignisse, einfach "A" und "B". Jetzt müssen wir die Anzahl von "A und B" durch die Gesamtmenge teilen und brauchen dann noch die Wahrscheinlichkeiten für "ruhiger Schlaf" sowie für "lernt mehr als fünf Stunden die Woche". Die beiden letzteren müssen wir dann noch multiplizieren. Wir sehen: "P von A UND B" ist nicht gleich dem Produkt aus "P von A" und "P von B". Auch das wäre ja eine Bedingung für stochastische Unabhängigkeit. Sie ist aber nicht erfüllt. Die betrachteten Ereignisse sind also stochastisch abhängig. Eine wichtige Bemerkung müssen wir an dieser Stelle noch machen. Die Tatsache, dass wir eine STOCHASTISCHE Abhängigkeit zwischen der Schlafqualität und Lernzeitbelastung festgestellt haben, heißt nicht zwangsweise, dass diese Merkmale auch KAUSAL zusammenhängen. Was wir aber auf Grundlage der Daten sagen können, ist, dass das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit für das andere Ereignis beeinflusst, wenn wir einen zufällig ausgewählten Fall aus DIESER Grundmenge betrachten. Wir fassen nochmal zusammen, wie wir Ereignisse mit Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln auf stochastische Unabhängigkeit überprüfen können. Die Voraussetzung für stochastische Unabhängigkeit ist grundsätzlich immer die gleiche. Wenn eine DIESER Formeln erfüllt ist, sind die Ereignisse A und B unabhängig voneinander. Ist das nicht der Fall, liegt stochastische ABHÄNGIGKEIT vor. Die Informationen, die wir zur Überprüfung von stochastischer Unabhängigkeit benötigen, können wir aus einer Vierfeldertafel oder einem Baumdiagramm relativ leicht ablesen. Bei einer Vierfeldertafel können wir die Wahrscheinlichkeiten der "Und-Verknüpfungen" und der Gesamtwahrscheinlichkeiten für "A" und "B" einfach ablesen. Dafür sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten hier nicht direkt ersichtlich. Diese können wir im Gegensatz dazu in einem Baumdiagramm ablesen. Dafür sind hier die Ereignisse in einer bestimmten Reihenfolge eingeordnet und wir müssen eventuell noch die Wahrscheinlichkeiten der "Und-Verknüpfungen" selbst ergänzen. Im Endeffekt führen beide Wege zum Ziel! Egal, ob du mit Baumdiagramm oder Vierfeldertafel arbeitest. Wenn du das noch ein bisschen trainierst, wirst du auch ohne ausufernde Lernzeiten gut vorbereitet sein und dann bestimmt auch gut schlafen können!