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Stichproben – Übung

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Die Autor/-innen
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Thekla Haemmerling
Stichproben – Übung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Stichproben – Übung

Wie kommt es eigentlich, dass die Hochrechnungen vor Bundestagswahen ziemlich genau mit dem Ergebnis der eigentlichen Wahl übereinstimmen? Diese Frage wird dir hier anhand eines Beispiels einer Schülersprecherwahl beantwortet. Du lernst also, wie nützlich Stichproben im Alltag sind, um Informationen über eine Gesamtheit zu erhalten. Außerdem übst du, wie du anhand einer geordneten Liste von Werten das Maximum, Minimum und den Median abliest; und wie man die Spannweite dieser Liste berechnet. Zum Schluss wiederholen wir gemeinsam, wie sich der Median, oder Zentralwert, einer Liste mit gerader Anzahl von Daten berechnet.

Transkript Stichproben – Übung

Hallo, ich bin’s wieder: Thekla.

In diesem Video will ich mit dir an einem Beispiel üben, wie nützlich eine Stichprobe im Alltag ist, um Informationen über eine große Masse zu erhalten.

Außerdem werden wir an einem Beispiel wiederholen, was das Maximum, das Minimum, die Spannweite und der Zentralwert einer geordneten Liste ist. Dann los:

Die Kolmogorow-Oberschule zählt insgesamt 1000 Schülerinnen und Schüler..

Heute findet die diesjährige Wahl zum Schülersprecher statt. Zur Wahl haben sich 5 Schüler der neunten, zehnten und elften Klasse gestellt:

Kevin, Laura, Nico, Steffi und Ahmed. Die Fünf sind in der ganzen Schule für ihre Hilfsbereitschaft und ihr Engagement bekannt. Herr Peters, der Mathelehrer der Klasse 9c, nimmt gerade im Unterricht das Thema “Stichproben nehmen” durch und möchte schon vor der eigentlichen Wahl eine Hochrechnung machen, um zu ermitteln, wer von den 5 Kandidaten die meisten Stimmen bekommen wird.

Zur Befragung wählt er aus allen Klassenstufen jeweils 8 Schüler aus, das heißt 8 aus den siebten, plus 8 aus den achten, plus 8 aus den neunten, plus 8 aus den zehnten Klassen und plus 8 aus der Oberstufe.

also insgesamt 40 Schüler

Jetzt überleg einmal: Die 1000 Schülerinnen und Schüler der Carl-Friedrich-Gauß-Oberschule bilden unsere….(3 Sekunden Pause) - genau - Gesamtheit(3).

Die von Herrn Peters ausgewählten Schülerinnen und Schüler sind unsere…(3 Sekunden Pause) - richtig - repräsentative Stichprobe (4). Repräsentativ bedeutet, dass die Informationen, die du aus der Befragung der 40 Schüler ziehst, aussagekräftig genug sind, um auf unsere Gesamtheit zu schließen. Mittels eines Fragebogens, der einem Stimmzettel gar nicht unähnlich ist, befragt Herr Peters nun diese 40 Schülerinnen und Schüler, wen sie wählen würden. Dabei dürfen sie nur ein Kreuz setzen, also nur einen Kandidaten auswählen. Im Anschluss daran wertet Herr Peters die Umfragebögen aus und stellt das Ergebnis in Form einer Tabelle dar.

Nun kann er ablesen, wer laut seiner Hochrechnung die meisten Stimmen bekommen würde: Nämlich Laura. Auf ähnliche Art und Weise werden vor Bundestagswahlen Hochrechnungen durchgeführt, die das Ergebnis der eigentlichen Wahlen relativ gut wiedergeben. Hier wären die 85 Millionen Deutschen die Gesamtheit, aus der nach bestimmten Kriterien stichprobenartig Teilgruppen ausgewählt werden. Schauen wir uns nun ein Beispiel einer geordneten Liste an.

Wiebke fährt mit ihrer Klasse für eine Woche auf Klassenfahrt nach Greifswald an die Ostsee. Sie hat insgesamt 30 € Taschengeld mitgenommen, da sie ihrer Familie gerne ein paar Souvenirs mitbringen möchte. Nach der Fahrt erstellt sie eine Tabelle, wie viel sie jeden Tag ausgegeben hat: Sie hat insgesamt 25 € ausgegeben.

Diese Werte in der Zeile “Ausgaben” (mit Finger darauf zeigen) müssen wir nun der Größe nach ordnen. Jetzt bist du dran: Versuch mal folgende Begriffe den richtigen Werten zuzuordnen - Minimum - Maximum - Median

(3 Sekunden Pause)

Das Minimum ist …. 0 €, also der kleinste Wert deiner geordneten Liste. Das Maximum ist dementsprechend …. 10 €, genau, der größte Wert in der Tabelle. Der Median ist …. der Wert der in der Mitte liegt, also 3,2 €. Da er sich im Zentrum der geordneten Liste befindet, heißt er Zentralwert.

Du kannst jetzt noch den Abstand zwischen Minimum und Maximum berechnen, die so genannte Spannweite der Stichprobe: 10 €-0€=10€. Wiebkes Tabelle besteht aus einer ungeraden Anzahl von Werten. Da lässt sich der Median gut ablesen, da er der mittlere Wert ist.

Weißt du noch wie man den Median bestimmen muss, wenn die Anzahl der Werte gerade ist? Was ist zum Beispiel, wenn Wiebke die restlichen 5 € ihres Taschengeldes am Montag nach der Klassenfahrt ausgibt?

Erstmal fügen wir den Wert in unsere geordnete Tabelle ein.

Nun liegen zwei Werte in der Mitte, nämlich 3,2 € und 4 €. Diese Werte addiert man und teilt das Ergebnis durch zwei, also 3,2 + 4 /2 = 7,2/ 2 = 3,6 Hast du alles verstanden?

Wenn ja, dann solltest du nun…

… wissen, warum man aus einer Gesamtheit Stichproben zieht und diese Teilgruppen dann befragt:.... Nämlich um Informationen über die Gesamtheit zu erhalten.

Du solltest wissen….

...wie man eine Liste von Daten ordnet. … wie man das Minimum und Maximum abliest. … wie man den Median, oder auch Zentralwert einer Liste mit ungerader Anzahl von Werten bestimmt … und wie man den Median berechnet, wenn die Liste aus einer geraden Anzahl von Werten besteht. Und denk immer daran:

Mathe macht Spaß!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. SEHR GUT ERKLÄRT
    MACH WEITER SO,
    ;)

    Von Lionel G., vor mehr als 3 Jahren

Stichproben – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Stichproben – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wer die Wahl zum Schülersprecher gemäß der Stichprobenerhebung gewinnen wird.

    Tipps

    Zur Bestimmung der Prozentzahlen teilst du jeweils die Anzahl der erhaltenen Stimmen durch $40$.

    Sicher kann, Enthaltungen ausgeschlossen, nur jemand gewinnen, wenn die $20~\%$ überschritten sind.

    Diese Erhebung gibt nicht mit Sicherheit das tatsächliche Wahlergebnis wieder, sondern nur eine Vorhersage.

    Lösung

    Aus der Gesamtheit der $1000$ Schüler der Kolmogorow-Schule wird eine Stichprobe von $40$ Schülern ausgewählt.

    Die Schüler aus der Stichprobe werden mit Hilfe eines Fragebogens befragt, wen sie wählen würden.

    Es gibt sich die folgende Voraussage:

    • Kevin würde sieben Stimmen, also $17,4~\%$, erhalten,
    • Laura dreizehn, $32,5~\%$,
    • Nico elf, $27,5~\%$,
    • Steffi vier, $10~\%$, und
    • Ahmed fünf, $12,5~\%$.
    Demnach würde Laura die Wahl gewinnen.

    Es ist wichtig zu beachten, dass dies Vorhersagen sind und nicht der tatsächliche Ausgang der Wahl.

  • Gib das Minimum, das Maximum, den Median und die Spannweite des geordneten Datensatzes an.

    Tipps

    Oberhalb und unterhalb des Medians befinden sich in einem geordneten Datensatz mit ungerader Anzahl an Einträgen gleich viele Einträge.

    Die Spannweite gibt an, wie weit sich die Einträge in dem Datensatz erstrecken.

    Die Spannweite muss positiv sein.

    Lösung

    Aus der Tabelle lassen sich die folgende Informationen ablesen:

    • Der kleinste Wert, $0~€$, ist das Minimum.
    • Der größte Wert, $10~€$, ist das Maximum.
    • Der Median oder auch Zentralwert ist $3,20~€$.
    • Die Spannweite ist die Differenz aus Maximum und Minimum: $10~€-0~€=10~€$.
    In diesem Fall liegt eine ungerade Anzahl an Einträgen in dem Datensatz vor. Deshalb ist der Median der Eintrag, welcher sich genau in der Mitte der geordneten Liste befindet. Wenn man die Werte nach der Größe ordnet, erhält man: $0$, $0,60$, $1,40$, $3,20$, $4$, $5,8$ und $10$.

    Bei Datensätzen mit gerader Anzahl an Einträgen, werden die beiden mittleren addiert und die Summe durch $2$ dividiert.

  • Untersuche den Datensatz auf Minimum, Maximum, Median und Spannweite.

    Tipps

    Der Datensatz ist geordnet: Er beginnt mit dem kleinsten Wert und endet mit dem größten.

    Der Median heißt auch Zentralwert.

    Die Spannweite gib an, wie weit sich der Datensatz erstreckt. Dies ist ein positiver Wert.

    Lösung

    Wenn ein Datensatz geordnet ist, können diesem weitere Informationen entnommen werden:

    • Das Minimum ist hier $4$.
    • Das Maximum ist hier $30$.
    • Die Spannweite ist die Differenz aus Maximum und Minimum, also $30-4=26$.
    • Der Median ist der mittlere Wert des geordneten Datensatzes, also $16$.

  • Untersuche den Datensatz auf Maximum und Minimum sowie Median.

    Tipps

    Addiere bei denjenigen, bei welchen mehrere Sportarten angegeben sind, zunächst die verschiedenen Angaben.

    Sortiere den Datensatz.

    Der größte (kleinste) Wert ist das Maximum (Minimum). Der Wert genau in der Mitte ist der Median.

    Lösung

    Um aus Datensätzen weitere Informationen zu gewinnen, muss die Liste der Datensätze zunächst geordnet werden. Man beginnt bei dem kleinsten Wert und vervollständigt dann die Liste der Reihenfolge nach.

    Daraus ergibt sich die nebenstehend zu sehende geordnete Liste.

    • Das Minimum sind die drei Stunden von Laura.
    • Das Maximum sind die $22$ Stunden von Lilly.
    • Der Median, der Wert in der Mitte, sind die $13$ Stunden von Anna.

  • Beschreibe die Erhebung an der Kolmogorow-Oberschule.

    Tipps

    Wahlen sind ein sehr gutes Beispiel für statistische Erhebungen.

    Um Hochrechnungen angeben zu können, werden zufällig vor den Wahllokalen Wähler befragt, was sie gewählt haben. Damit können zeitlich sehr nah und auch sehr genau vor der endgültigen Ausszählung die zu erwartenden Ergebnisse bekannt gegeben werden.

    Natürlich werden nicht alle Wähler befragt; dies wäre viel zu aufwändig.

    Da die Personen zufällig ausgewählt werden, können Rückschlüsse auf den tatsächlichen Ausgang der Wahl gezogen werden.

    Lösung

    Auf die Kolmogorow-Oberschule gehen $1000$ Schüler. Es soll ein neuer Schülersprecher gewählt werden. Der Mathelehrer, Herr Peters, will eine Hochrechnung anstellen.

    Von den $1000$ Schülern, wählt Herr Peters aus jeder Klassenstufe acht Schüler, also insgesamt $40$ Schüler aus.

    Die $1000$ Schüler sind die Gesamtheit und die ausgewählten $40$ sind die Stichprobe.

    Die Stichprobe muss repräsentativ sein, um von den mit dieser Stichprobe erhobenen Daten auf die Gesamtheit schließen zu können.

  • Berechne den Median des Datensatzes.

    Tipps

    Oberhalb und unterhalb des Medians befinden sich gleich viele Elemente des Datensatzes.

    Bei einer geraden Anzahl an Elementen liegt der Median genau zwischen zwei gegebenen Daten.

    Der Median ist hier eine Dezimalzahl.

    Lösung

    Der Median, auch Zentralwert, eines geordneten Datensatzes ist der mittlere Wert dieses Datensatzes.

    Bei einer ungeraden Anzahl an Elementen ist dies der Wert genau in der Mitte; darüber befinden sich ebenso viele Elemente wie darunter.

    Doch wie kann bei einem Datensatz mit gerader Anzahl an Elementen der Median berechnet werden?

    Am Beispiel des oben zu sehenden Datensatzes geht man wie folgt vor: Die Mitte dieses Datensatzes liegt genau zwischen $16$ und $19$. Die beiden Werte werden addiert und die Summe durch $2$ dividiert:

    $\frac{16+19}2=\frac{35}2=17,5$.

    $17,5$ ist der gesuchte Median.

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