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Schnittwinkel im Raum 10:17 min

Textversion des Videos

Transkript Schnittwinkel im Raum

Hallo. Mein Name ist Frank. In diesem Video werde ich dir zeigen, wie du Schnittwinkel im Raum berechnen kannst. Und dabei gehe ich wie folgt vor: Ich betrachte erst einmal einen Schnittwinkel zwischen zwei Geraden, dann den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene und den Schnittwinkel zwischen Ebenen. Unter dem Schnittwinkel zweier Geraden, du kannst hier schon einmal ein Bild sehen, zweier sich schneidender Geraden, verstehe ich immer den spitzen Winkel. Also es gibt, wie du hier siehst, einen spitzen Winkel und einen stumpfen Winkel, also wenn meine beiden Arme Geraden wären. Und man versteht unter dem Schnittwinkel immer den spitzen Winkel und deswegen gilt diese Formel hier mit den Beträgen. Damit bekomme ich auf jeden Fall immer einen Winkel, der kleiner/gleich 90° ist. Der Kosinus des eingeschlossenen Winkels ist gerade Der Betrag des Skalarproduktes der beiden Richtungsvektoren der Geraden, geteilt durch das Produkt der Längen der beiden Vektoren. Also diese Betragsstriche geben die Länge des Vektors an. Und ich betrachte jetzt im folgenden das Beispiel dieser beiden Geraden g und h. Und du kannst schon einmal an den beiden Richtungsvektoren erkennen, welche nicht kollinear sind, dass sie sich entweder schneiden oder windschief sind. Diese beiden schneiden sich, auf den Nachweis verzichte ich jetzt. Wenn die beiden Geraden übrigens identisch wären, dann haben die auch einen Winkel, den sie einschließen und dieser wäre dann 0°. Ich nehme jetzt einmal die Formel her. Also cos von Gamma ist gleich: Ich brauche das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren. Also (1,0,1) * (0,1,4) und davon den Betrag. Und das Ganze teile ich durch das Produkt der Länge, der Längen der beiden Richtungsvektoren. Also (1,0,1) und (0,1,4). Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist 10=0 + 01 ist immer noch 0, 14 = 4. Die Betragsstriche brauche ich hier nicht, weil 4 sowieso schon positiv ist. Und die Länge eines Vektors berechne ich, in dem ich die einzelnen Komponenten quadriere und diese Quadrate dann addiere und daraus die Wurzel ziehe. 12 =1 + 02, ist immer noch 1, plus 12 ist 2 und daraus die Wurzel. Also Wurzel aus 2. 02 =0. Plus 12 =1, plus 42 = 16. Also 1+16=17. Und daraus die Wurzel. Also haben wir hier stehen: cos von Gamma = 4/(√12√17). Und ich möchte nicht den Kosinus des Winkels wissen, sondern den Winkel. Also muss ich den Kosinus umkehren. cos-1. Dabei beachte bitte in deinem Taschenrechner, dass dieser auf „deg“, für „degree“, also Winkelmaß eingestellt ist. Und wenn wir das bei diesem Beispiel machen, erhalten werden Winkel Gamma = 46,7°. So. Damit hätten wir den Fall zweier sich schneidender Geraden schon einmal fertig. Und im folgenden schaue ich mir den Fall zweier sich schneidenden Geraden und Ebenen an. Gut. Dann mache ich jetzt weiter mit dem Fall einer Gerade und einer Ebene, also die sich schneiden. Und was du hier schon einmal beachten kannst: Die Formel sieht so ähnlich aus, wie hier die Formel bei zwei Geraden. Ein Unterschied und zwar ein sehr wesentlicher Unterschied: hier wird der Sinus verwendet. Und bei dieser Berechnung gehen einmal der Richtungsvektor der Geraden ein und der Normalenvektor der Ebene. Und ich habe hier schon einem ein Beispiel angeschrieben. Das heißt, die Gerade ist wieder in dieser Form gegeben. Der Richtungsvektor der Gerade ist (1,3,1) und die Ebene ist in Normalenform angegeben mit dem Normalenvektor (1,1,-1). Und auch hier werde ich jetzt wieder diese Formel betrachten. Also sin von Gamma ist gleich: Ich brauche jetzt wieder das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden mit dem Normalenvektor der Ebene. Davon den Betrag. Das Ganze durch das Produkt der Länge der beiden Vektoren. Also des Richtungsvektors (1,3,1) und des Normalenvektors (1,1,-1). Das Skalarprodukt ist: 11=1, 31=3, 1*(-1)=(-1). Also kommt da insgesamt 3 heraus. Auch wieder positiv. Die Beträge kann ich also weglassen. Und die Länge dieses Vektors ist 12 + 32 + 12. Das ist 11. Daraus die Wurzel. Also Wurzel aus 11 mal 12 +12 + (-1)2. Ist die Wurzel aus 3. Und auch hier wieder: die trigonometrische Funktion wird umgekehrt. Der Taschenrechner sollte auf deg eingestellt werden, ansonsten bekommst du andere Ergebnisse. Und ich erhalte den Winkel Gamma = 31,5°. Und damit habe ich auch den Fall von Gerade-Ebene fertig und werde abschließend den Fall zweier sich schneidender Ebenen betrachten. Gut. Die ersten beiden Fälle sind fertig. Komme ich zu dem letzten Fall. Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen. Das Bild kannst du hier wieder sehen. Und die Formel sieht wieder genauso aus, wie die Formel bei Geraden. Der Kosinus des eingeschlossenen Winkels ist gerade des Betrags des Skalarproduktes der beiden Normalenvektoren der Ebene, der Ebenen. Geteilt durch das Produkt der Längen der beiden Normalenvektoren. Und ich habe hier schon einmal ein Beispiel vorbereitet zweier Ebenen. Mit den Normalenvektoren (3,3,-4) zur Ebene E1 und (1,-2,-3) zur Ebene E2. Und dann schaue ich mir die Formel wieder an: Also Kosinus von Gamma ist gleich: Der Betrag des Skalarproduktes der beiden Normalenbektoren. Also (3,3,-4) und (1,-2,-3) geteilt durch das Produkt der beiden Längen der Normalenvektoren. Also (3,3,-4) und (1,-2,-3). Das rechne ich wieder aus. Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist 9. Und hier unten ist 32 + 32 + (-4)2. Das ist die Wurzel aus 34. Und 12 + (-2)2 + (-3)2 und daraus die Wurzel. Das ist die Wurzel aus 14. Auch hier wieder, ich brauche den Winkel Gamma. Also kehre ich diese trigonometrische Funktion, in diesem Fall Kosinus um. cos-1. Und wieder: Man kann es einfach nicht oft genug sagen: Denkt bitte daran, dass der Taschenrechner auf deg eingestellt sein sollte, damit du das Winkelmaß herausbekommst. Und dann erhalten wir den Winkel Gamma = 65,6°. Damit ist auch der letzte Fall zweier sich schneidender Ebenen fertig. Ich fasse noch einmal kurz zusammen, was du in diesem Video gelernt hast: Wie werden Schnittwinkel im Raum berechnet? Einmal zwischen zwei Geraden, einmal zwischen einer Gerade und Ebene und einmal zwischen Ebene und Ebene. Die entsprechenden Bilder kannst du hier noch sehen. Die Formeln sehen immer sehr sehr ähnlich aus, also die jeweils rechte Seite stimmt überein. Produkt der Skalarprodukte der Richtungsvektoren, durch Produkt der Längen der Vektoren, Produkt des Richtungsvektors mit einem Normalenvektor durch Produkt der Längen. Und hier entsprechend. Worauf du bitte achten musst, ist, dass bei dem Winkel zwischen Gerade und Ebene der Sinus betrachtet wird. In beiden anderen Fällen Kosinus. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest. Und danke dir für deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal. Dein Frank.

Schnittwinkel im Raum Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schnittwinkel im Raum kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, was bei der Berechnung von Schnittwinkeln im Raum zu beachten ist.

    Tipps

    Der Winkel zwischen zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ist wie folgt definiert:

    $cos(\alpha)=\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}$.

    Ein solcher Winkel kann auch stumpf sein.

    Durch die Betragsstriche wird sicher gestellt, dass der Winkel, welcher mit

    $cos(\alpha)=\frac{|\vec a \cdot \vec b|}{|\vec a| \cdot |\vec b|}$

    berechnet werden kann, ein spitzer Winkel ist.

    Der Normalenvektor steht senkrecht zur Ebene. Dadurch ist der von dem Normalenvektor einer Ebene und dem Richtungsvektor einer Geraden eingeschlossene Winkel nicht der Winkel zwischen der Geraden und der Ebene.

    Lösung

    Der Schnittwinkel im Raum wird immer recht ähnlich berechnet: Auf der jeweils rechten Seite der folgenden Formeln stehen immer der Betrag eines Skalarproduktes zweier Vektoren dividiert durch das Produkt der Beträge dieser Vektoren. Die verwendete trigonometrische Funktion ändert sich.

    Gerade - Gerade

    Gegeben seien zwei Geraden mit den Richtungsvektoren $\vec u$ sowie $\vec v$, dann ist der von diesen Geraden eingeschlossene Winkel $\gamma$ gegeben durch

    $\cos(\gamma)=\frac{|\vec u \cdot \vec v|}{|\vec u| \cdot |\vec v|}$.

    Gerade - Ebene

    Zu der Geraden sei der Richtungsvektor $\vec u$ und zu der Ebene der Normalenvektor $\vec n$ bekannt, dann gilt

    $\sin(\gamma)=\frac{|\vec u \cdot \vec n|}{|\vec u| \cdot |\vec n|}$.

    Wichtig ist hier: Es wird der Sinus verwendet.

    Ebene - Ebene

    Gegeben seien zwei Ebenen mit den Normalenvektoren $\vec m$ sowie $\vec n$. Dann lässt sich der von diesen Ebenen eingeschlossene Winkel berechnen mit

    $\cos(\gamma)=\frac{|\vec m \cdot \vec n|}{|\vec m| \cdot |\vec n|}$.

    Merke: Wenn die Elemente gleich sind (Gerade - Gerade oder Ebene - Ebene) verwendet man den Cosinus. Sind die Elemente verschieden (Gerade - Ebene) verwendet man den Sinus.

  • Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden $g$ und $h$.

    Tipps

    Beachte: Der Richtungsvektor ist daran zu erkennen, dass er mit dem Parameter multipliziert wird.

    Du berechnest das Skalarprodukt zweier Vektoren, indem du

    • die Koordinaten multiplizierst und
    • die so erhaltenen Produkte addierst.

    Du berechnest den Betrag oder die Länge eines Vektors, indem du

    • jede einzelne Koordinate quadrierst,
    • die Quadrate addierst und
    • aus der Summe die Wurzel ziehst.

    Achte darauf, den Taschenrechner auf DEG (für das Winkelmaß) einzustellen.

    Lösung

    Diese Formel benötigt man zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren $\vec u$ und $\vec v$.

    Es ist

    $\begin{align} |\vec u\cdot \vec v| & =\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\4 \end{pmatrix}\right| \\ & =1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 4 \\ & = 4 \end{align}$

    Nun müssen noch die Längen der Richtungsvekoren berechnet werden:

    $\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$

    $\left|\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 4 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$

    Nun können die berechneten Werte in der Formel eingesetzt werden:

    $\cos(\gamma)=\frac{4}{\sqrt2\cdot \sqrt{17}}$.

    Zuletzt wird der Cosinus umgekehrt:

    $\gamma=\cos^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt2\cdot \sqrt{17}}\right)\approx 46,7^\circ$.

  • Beschreibe, wie der Schnittwinkel zwischen einer Ebene und einer Geraden berechnet wird.

    Tipps

    Hier siehst du, wie das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet wird.

    So wird der Betrag eines Vektors berechnet.

    Beachte, dass du deinen Taschenrechner auf DEG einstellen musst.

    Achte darauf, dass das Quadrat einer negativen Zahl eine positive Zahl ist.

    Lösung

    Wir verwenden diese Formel zur Berechnung des Schnittwinkels:

    $\sin(\gamma)=\frac{|\vec u \cdot \vec n|}{|\vec u| \cdot |\vec n|}$

    Wir berechnen zuerst das Skalarprodukt aus Richtungs- und Normalenvektor und dann die einzelnen Beträge für diese beiden Vektoren:

    $\vec u=\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec n=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\-1 \end{pmatrix}$

    Damit ist

    • $|\vec u\cdot \vec n|=3$,
    • $|\vec u|=\sqrt{11}$ und
    • $|\vec n|=\sqrt 3$.
    Nun ist $\sin(\gamma)=\frac{3}{\sqrt{11}\cdot \sqrt{3}}$. Durch den Arcussinus können wir nach $\gamma$ umstellen:

    $\gamma=\sin^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{11}\cdot \sqrt{3}}\right)\approx 31,5^\circ$.

  • Bestimme jeweils den Schnittwinkel.

    Tipps

    Beachte, dass du bei

    • Gerade - Gerade den Cosinus,
    • Gerade - Ebene den Sinus und
    • Ebene - Ebene den Cosinus verwendest.

    Hier siehst du zum Beispiel die Formel für den Winkel zwischen zwei Ebenen, wobei $\vec m$ und $\vec n$ die Normalenvektoren der Ebenen sind.

    Bei zwei Geraden nimmst du die Richtungsvektoren der Geraden.

    Dies ist die Formel für die Berechnung des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene: $\vec u$ ist der Richtungsvektor der Geraden und $\vec n$ der Normalenvektor der Ebene.

    Lösung

    Bei der Winkelberechnung ist zu beachten, dass bei

    • Gerade - Gerade der Cosinus,
    • Gerade - Ebene der Sinus und
    • Ebene - Ebene der Cosinus
    verwendet wird. Betrachten wir die verschiedenen Fälle:

    • Gerade - Gerade: $\cos(\gamma)=\frac{0}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{10}}$ und damit $\gamma=\cos^{-1}\left(0\right)=90^\circ$.
    • Gerade - Ebene: $\sin(\gamma)=\frac{2}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{6}}$ und damit $\gamma=\sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{6}}\right)\approx75,7^\circ$.
    • Ebene - Ebene: $\cos(\gamma)=\frac{2}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{6}}$ und damit $\gamma=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{6}}\right)\approx14,3^\circ$.
  • Ermittle den Winkel zwischen den beiden Ebenen.

    Tipps

    Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf dieser Ebene.

    Damit ist das Skalarprodukt aus einem Vektor in der Ebene und dem Normalenvektor gleich $0$.

    Multipliziere die beiden Normalenvektoren koordinatenweise und addiere die Produkte. So erhältst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

    Quadriere jede Koordinate eines Vektors, addiere die Quadrate und ziehe die Wurzel aus der Summe: So erhältst du die Länge (Betrag) eines Vektors.

    Lösung

    $\vec m$ und $\vec n$ sind die beiden Normalenvektoren der Ebenen:

    $\vec m=\begin{pmatrix} 3 \\ 3\\-4 \end{pmatrix}$ und $\vec n=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\-1 \end{pmatrix}$.

    Damit ist

    • $|\vec m\cdot \vec n|=10$,
    • $|\vec m|=\sqrt{34}$ und
    • $|\vec n|=\sqrt 3$.
    Beim Skalarprodukt werden die Vektoren koordinatenweise multipliziert und die Produkte zuletzt addiert. Die Länge (Betrag) eines Vektors erhältst du durch $|\vec m| = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$.

    Nun kann die Formel angewendet werden:

    $\cos(\gamma)=\frac{10}{\sqrt{34}\cdot\sqrt3}$

    und damit $\gamma=\cos^{-1}\left(\frac{10}{\sqrt{34}\cdot\sqrt3}\right)\approx8^\circ$.

  • Prüfe die Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen.

    Tipps

    Wenn zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen $\vec u\perp\vec v$, dann gilt $\vec u\cdot \vec v=0$.

    Wenn zwei Geraden identisch sind, gilt, dass die Richtungsvektoren kollinear sind. Das bedeutet

    $\vec u=k\cdot \vec v$.

    Wenn $\vec u=k\cdot \vec v$ gilt, dann kannst du daraus folgern

    $\begin{array}{rcl} \frac{|\vec u\cdot \vec v|}{|\vec u|\cdot |\vec v|}&=&\frac{|k\cdot \vec v\cdot \vec v|}{|k\cdot \vec v|\cdot |\vec v|}\\ &=&\frac{|k|\cdot |\vec v|^2}{|k|\cdot|\vec v|^2}\\ &=&1 \end{array}$

    Lösung

    Wenn zwei Geraden (oder Ebenen) identisch sind, dann gilt für die Richtungsvektoren (Normalenvektoren), dass diese kollinear sind.

    Das bedeutet $\vec u=k\cdot \vec v$.

    Damit ist

    $\begin{array}{rcl} \frac{|\vec u\cdot \vec v|}{|\vec u|\cdot |\vec v|}&=&\frac{|k\cdot \vec v\cdot \vec v|}{|k\cdot \vec v|\cdot |\vec v|}\\ &=&\frac{|k|\cdot |\vec v|^2}{|k|\cdot|\vec v|^2}\\ &=&1 \end{array}$

    Beide Male wird der Cosinus verwendet: $\cos^{-1}(1)=0^\circ$.

    Das bedeutet, dass der eingeschlossene Winkel $0^\circ$ oder $180^\circ$ beträgt.

    Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich $0$ ist, sind die Vektoren orthogonal. Das bedeutet, dass zwei Geraden, deren Richtungsvektoren orthogonal sind, ebenfalls orthogonal sind, also den Winkel $90^\circ$ einschließen.

    Es ist $\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\-1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}=0$.

    Eine Gerade liegt in einer Ebene, wenn der eingeschlossene Winkel $0^\circ$ oder $180^\circ$ beträgt. Zusätzlich muss (mindestens!) ein Punkt der Geraden auf der Ebene liegen (Auf diesen Nachweis wird hier verzichtet.)

    Es ist $\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\-1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}=0$.

    Damit ist $\gamma=\sin^{-1}(0)=0^\circ$.

    Wenn bei dem Schnittwinkel Gerade - Ebene der Cosinus verwendet wird, erhält man einen Winkel, der den tatsächlich gesuchten Schnittwinkel zu $90^\circ$ ergänzt.