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Satz des Thales 05:22 min

Textversion des Videos

Transkript Satz des Thales

Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um den Satz des Thales. Wir werden einer Fotografin helfen, ein Objekt unter einem bestimmten Blickwinkel zu fotografieren und dabei den Satz des Thales verwenden. Schließlich wenden wir den Satz des Thales zur Konstruktion von rechtwinkligen Dreiecken an. Warst Du schon einmal in Berlin im Museum für Naturkunde? Das Skelett des Brachiosaurus ist das größte montierte Dinosaurierskelett der Welt. Ein Fotograf soll eben dieses Skelett abfotografieren. Das ist gar nicht so leicht, denn das Skelett ist nicht nur sehr groß, sondern auch sehr lang. Um das Dinosaurierskelett optimal abfotografieren zu können, muss der Fotograf daher einen Betrachtungswinkel von 90° einnehmen. Nur dann ist das gesamte Skelett auf dem Foto zu sehen. Wo muss sich der Fotograf dafür im Raum positionieren? Zur Vereinfachung fertigen wir eine Skizze an. Die Strecke AB stellt das Dinosaurierskelett in seiner gesamten Länge dar. Etwas entfernt davon steht der Fotograf im Punkt C. Die Punkte A, B und C bilden somit ein Dreieck. Der Winkel γ im Eckpunkt C ist der Betrachtungswinkel des Fotografen. Dieser soll 90° groß sein. Nur wo im Raum muss sich der Fotograf für solch einen Winkel positionieren? Machen wir uns also auf die Suche. Mit dem Geodreieck können wir auf unserer Skizze beliebig viele Standpunkte ausfindig machen. Zum Beispiel die Standorte C1, C2 und C3. Es gibt noch viel mehr optimale Standorte. Hier beispielsweise, hier, hier, hier, hier und hier. Fällt Dir bei der Anordnung der Standorte vielleicht etwas auf? Sie liegen alle auf einem Halbkreis über der Strecke AB. Die Strecke bildet also gleichzeitig den Durchmesser des Halbkreises. Das bedeutet, dass jeder Punkt auf dem Halbkreis ein idealer Standort für den Fotografen ist, bei dem er einen Betrachtungswinkel von 90° einnimmt. Steht der Fotograf außerhalb oder innerhalb des Halbkreises, so verändert sich sein Betrachtungswinkel, größer oder kleiner als 90°. Und das ist auch schon die Lösung unseres Problems. Der Fotograf kann von jedem Punkt aus, der auf diesem Kreisbogen liegt, ein Foto des Dinosaurierskeletts mit einem Betrachtungswinkel von 90° machen. Den Halbkreis über der Strecke AB bezeichnet man als Thaleskreis nach dem griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet. Er bewies etwa 600 vor Christus als erster den nach ihm benannten Satz: Liegt der Punkt C des Dreiecks ABC auf dem Halbkreis über der Strecke AB, dann hat das Dreieck ABC im Eckpunkt C einen rechten Winkel. Auch die Umkehrung gilt: Ist ABC ein Dreieck mit einem rechten Winkel bei C, so enthält der Thaleskreis über der Strecke AB den Eckpunkt C. Aufgaben wie "Zeichne mehrere rechtwinklige Dreiecke mit der Seite AB" kannst Du jetzt leicht mit Hilfe des Satzes des Thales lösen. Du zeichnest die Strecke AB, konstruierst den Thaleskreis und zeichnest mehrere Dreiecke ein, deren Punkt C auf dem Thaleskreis liegt. Wir fassen kurz zusammen: Der Satz des Thales besagt: Liegt der Punkt C des Dreiecks ABC auf dem Halbkreis über der Strecke AB, dann hat das Dreieck ABC im Eckpunkt C einen rechten Winkel. Damit hast Du wieder etwas Neues zu rechtwinkligen Dreiecken gelernt.

37 Kommentare
  1. Jonas ohne rahmen

    Hallo Murmeltier123,
    du hast recht, dass beide Dreiecke gleichschenklig sind. Allerdings sind sie nur gleichschenklig, da AM = MC und MB = MC. Wir wissen nicht genau wie lange BC ist. Deswegen können wir auch nicht sagen, dass BC und MC gleich lang sind. Wir wissen lediglich, dass MC und MB gleich lang sind, da sie beide gleich dem Radius des Kreises sind.
    Ich hoffe, dass ich dir damit weiterhelfen konnte.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor etwa 21 Stunden
  2. Default

    bei übung 4 ist doch Strecke MC Und BC gleichlang
    denn wenn beide Dreiecke gleichschenklig sind dann muss MC und BC doch gleivchlang sein ,oder ?

    LIebe Grüße Mureltier123

    Von Murmeltier123, vor einem Tag
  3. Default

    ist hilfreich

    Von Jr Hoffmann, vor 15 Tagen
  4. Default

    Gut erklärt. Hab es eigentlich ziemlich gut verstanden. Danke👍🏼

    Von Alenka H., vor 2 Monaten
  5. Default

    Mein Sohn hatte es in d. Schule nicht verstanden. Jetzt schon. Vielen Dank für diese tolle, anschauliche und gehirngerechte Erklärung!

    Von Mi Schmelzer, vor 2 Monaten
  1. Default

    war hilfreich

    Von Bitawahedi 1, vor 2 Monaten
  2. Default

    Hab ich nicht verstanden 😓🥶

    Von Sabinemaier2010, vor 3 Monaten
  3. Default

    sehr Hilfreich

    Von Detlef Tv, vor 4 Monaten
  4. Default

    Kommisch

    Von Alichtmaneker, vor 5 Monaten
  5. Physik

    @Kamila Lesch
    Die Umkehrung geht das ganze nur von der anderen Seite an. Der Punkt C des rechtwinkligen Dreiecks liegt auf dem Halbkreis über der Hypotenuse (leicht abgewandelt, um nicht die Lösung zu verraten).

    Liebe Grüße

    Von Nils B., vor 5 Monaten
  6. Default

    Ich finde die Videos gut ich verstehe allerdings die Umkehrung noch nicht so ganz das ist bei den Aufgaben die Aufgabe 2

    Von Deleted User 682165, vor 6 Monaten
  7. Default

    supper !!

    Von Xiaoyusun, vor 8 Monaten
  8. Default

    ...;)

    Von Evelinemezger, vor 11 Monaten
  9. Albrecht

    @Carolin C.: Das ist womöglich ein technisches Problem. Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut. Wenn du weiterhin technische Probleme beim Abspielen der Videos haben solltest, kannst du dich gerne an unseren support unter support@sofatutor.com wenden. Sie werden dir dann weiterhelfen.

    Von Albrecht Kröner, vor etwa einem Jahr
  10. Cat

    ich meins ernst ich kann das video nicht sehen

    Von Caroline C., vor etwa einem Jahr
  11. Cat

    ok

    Von Caroline C., vor etwa einem Jahr
  12. Cat

    dialekt

    Von Caroline C., vor etwa einem Jahr
  13. Cat

    lol

    Von Caroline C., vor etwa einem Jahr
  14. Cat

    sch bin offen händy

    Von Caroline C., vor etwa einem Jahr
  15. Cat

    kan isch nischt versteen

    Von Caroline C., vor etwa einem Jahr
  16. Cat

    kann diid vid nischt sehn

    Von Caroline C., vor etwa einem Jahr
  17. 20180104 090605301 ios

    Alles gut erklärt

    Von Nils A., vor etwa einem Jahr
  18. Default

    Wie soll man den Kreis ziehen, und von wo, fehlt.
    Sonst gut.

    Von Sjuhj, vor fast 2 Jahren
  19. Default

    schön erklärt

    Von Adarma, vor etwa 2 Jahren
  20. Default

    Gutes Video!

    Von Slinsplinter, vor etwa 2 Jahren
  21. Thomas ohne rahmen

    @Wincor: Bitte schreibe auch hier, welche Aufgabe du meinst. Wieder kann ich keinen Fehler entdecken.
    Vielleicht handelt es sich ja nur um ein Missverständnis. Ich hoffe ich kann dir weiterhelfen.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Thomas Scholz, vor etwa 2 Jahren
  22. Default

    schon wieder probiere ich die Übung schreibe es so wie es gehört und wie ich im video gesehen habe, und es ist falsch !

    Von Wincor, vor etwa 2 Jahren
  23. Default

    Das Video war wirklich sehr hilfreich

    Von Lea-Monique H., vor mehr als 2 Jahren
  24. Default

    Echt ein gutes Video

    Von Axel Reints, vor mehr als 2 Jahren
  25. Default

    Echt ein gutes Video

    Von Axel Reints, vor mehr als 2 Jahren
  26. Default

    Danke jetzt hab ich es endlich verstanden SUPER!!!!

    Von Justine A., vor mehr als 2 Jahren
  27. Default

    Ich schreibe u.a darüber eine Arbeit und das video war wirklich sehr hilfreich

    Von Cd0 1, vor fast 3 Jahren
  28. Images

    SUPER!!!

    Von Dasgolem1, vor fast 3 Jahren
  29. Default

    Sehr schöne Erklärung. Daumen hoch!

    Von Picvelek, vor etwa 3 Jahren
  30. Default

    Sehr, sehr gut! danke

    Von Sonnenschein2001, vor fast 5 Jahren
  31. Giuliano test

    @F Said:
    Ja das funktioniert auch unterhalb des Durchmessers. Du kannst dir ja sicher vorstellen, dass du den Kreis um das Dreieck auch unterhalb des Durchmessers zeichnen kannst. Wenn du nun das Ganze drehst erhälst du dieselben Bedingungen, wie beim Satz des Thales. Probier es mal selber aus!
    Ich hoffe ich konnte dir helfen.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 5 Jahren
  32. Default

    Würde das aber auch unterhalb des Durchmessers funktionieren?

    Von F Said, vor mehr als 5 Jahren
Mehr Kommentare

Satz des Thales Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Thales kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, wie der Satz des Thales lautet.

    Tipps

    Der Satz des Thales sagt aus, unter welcher Bedingung eine bestimmte Winkelgröße in einem Eckpunkt eines Dreiecks existiert.

    Eine Seitenlänge des Dreiecks entspricht dem Durchmesser des Thales-Kreises.

    Ein Punkt muss auf dem Halbkreis liegen, damit die Bedingung erfüllt ist.

    Lösung

    Der Satz des Thales sagt aus, dass unter einer bestimmten Bedingung der Winkel im Eckpunkt $C$ des Dreiecks $ABC$ immer $90°$ beträgt. Diese Bedingung lautet: Die Strecke $\overline{AB}$ muss der Durchmesser des Halbkreises sein und der Punkt $C$ muss auf diesem Halbkreis liegen. Dieser Halbkreis wird auch Thales-Kreis genannt.

    Der Satz des Thales lautet somit: "Liegt der Punkt $C$ des Dreiecks $ABC$ auf dem Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$, dann hat das Dreieck $ABC$ im Eckpunkt $C$ einen rechten Winkel."

  • Gib an, wie die Umkehrung vom Satz des Thales lautet.

    Tipps

    Der Satz des Thales lautet: Liegt der Punkt $C$ des Dreiecks $ABC$ auf dem Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$, dann hat das Dreieck $ABC$ im Eckpunkt $C$ einen rechten Winkel.

    Die Umkehrung des Satzes besagt, dass man von der Winkelgröße in einem bestimmten Punkt auf die Position dieses Punktes schließen kann.

    Der Satz des Thales und seine Umkehrung gehören zu den Sätzen über rechtwinklige Dreiecke.

    Lösung

    Thales von Milet bewies ca. 600 v. Chr. den Satz des Thales, sowie seine Umkehrung.

    Der Satz des Thales besagt: Liegt der Punkt $C$ des Dreiecks $ABC$ auf dem Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$, dann hat das Dreieck $ABC$ im Eckpunkt $C$ einen rechten Winkel.

    Die Umkehrung vom Satz des Thales besagt, dass man aus der Winkelgröße $90°$ im Eckpunkt $C$ schließen kann, dass der Punkt $C$ auf dem Thales-Kreis liegt.

  • Erstelle eine Konstruktionsbeschreibung für ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Satz des Thales.

    Tipps

    Die Strecke $\overline{AB}$ ist dir in der Aufgabenstellung bereits gegeben.

    Der Durchmesser des Thales-Kreises muss die Strecke $\overline{AB}$ sein.

    Der Radius eines Kreises ist der halbe Durchmesser.

    Lösung
    1. Die Strecke $\overline{AB}=5~cm$ ist in der Aufgabenstellung bereits gegeben, also wird diese zuerst gezeichnet.
    2. Du weißt, dass der Thales-Kreis die Strecke $\overline{AB}$ als Durchmesser haben muss. Es muss also als nächstes der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ gefunden werden.
    3. In diesen Mittelpunkt wird die Zirkelspitze eingestochen und der halbe Durchmesser, also der Radius des Thales-Kreises, in die Zirkelspanne genommen.
    4. Nun wird ein Kreisbogen über der Strecke $\overline{AB}$ geschlagen.
    5. Da wir aus dem Satz des Thales wissen, dass mit allen Punkten auf dem Kreisbogen ein rechtwinkliges Dreieck $ABC$ entsteht, kannst du einen beliebigen Punkt $C$ auf dem Kreisbogen auswählen.
  • Beweise mit Hilfe der Skizze den Satz des Thales.

    Tipps

    Da $M$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ ist, teilt dieser den Durchmesser des Thales-Kreises in zwei Teile.

    Was weißt du über die Basiswinkel von gleichschenkligen Dreiecken?

    Der Innenwinkelsummensatz sagt aus, wie groß die Summe aller Innenwinkel des Dreiecks ist.

    Die Strecke $\overline{MC}$ teilt den Winkel $\gamma$ in zwei Winkel.

    Lösung

    Da $M$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ ist, teilt er den Durchmesser des Thales-Kreises in zwei Teile. Der halbe Durchmesser entspricht dem Radius des Kreises, somit gilt:

    $\overline{AM} = \overline{MB} = r$.

    Der Punkt $C$ liegt auf dem Thales-Kreis mit dem Radius $r$, also ist auch die Strecke

    $\overline{MC} = r$.

    Die Teildreiecke $AMC$ und $CMB$ sind somit gleichschenklige Dreiecke.

    Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind immer gleich groß. Damit folgt $\alpha=\gamma_1$ und $\beta=\gamma_2$.

    Der Innenwinkelsummensatz für Dreiecke besagt, dass die Summe aller Winkel innerhalb eines Dreiecks stets $180°$ ergibt.

    Durch die eingezeichnete Strecke $\overline{MC}$ wird der Winkel $\gamma$ in zwei Winkel $\gamma_1$ und $\gamma_2$ geteilt.

    Ersetzt man in der Formel $\alpha$ und $\beta$ und stellt die Formel um, so erhält man die Aussage: $\gamma_1 + \gamma_2 =90°$ und da wir bereits wissen, dass $\gamma_1+\gamma_2=\gamma $ ist, folgt $\gamma=90°$.

  • Bestimme die Auswirkung bestimmter Positionen von C auf das Dreieck ABC.

    Tipps

    Der Satz des Thales sagt aus, welche Größe der Winkel $\gamma$ hat, wenn der Punkt $C$ auf dem Thales-Kreis liegt.

    Mache eine Skizze, um nachzuvollziehen, welche Auswirkungen das Verschieben des Punktes $C$ auf das Dreieck $ABC$ hat.

    Liegen alle drei Punkte $A$, $B$ und $C$ auf einer Geraden, so kann kein Dreieck entstehen.

    Lösung

    Der Satz des Thales sagt aus, dass der Winkel an dem Punkt $C$ auf dem Thales-Kreis $90°$ beträgt. Das Dreieck $ABC$ ist also ein rechtwinkliges Dreieck.

    Liegt der Punkt $C$ außerhalb des Kreisbogens, wird der Winkel $\gamma$ kleiner als $90°$. Das Dreieck ABC ist dann ein spitzwinkliges Dreieck.

    Liegt $C$ hingegen innerhalb des Thales-Kreises, so ist der Winkel $\gamma$ größer als $90°$. Es handelt sich dann um ein stumpfwinkliges Dreieck.

    Ein Sonderfall tritt auf, wenn der Punkt $C$ auf der Strecke $\overline{AB}$ liegt. Dann liegen die Punkte $A$, $B$ und $C$ auf einer Geraden und somit entsteht dann auch kein Dreieck.

  • Bestimme die Eigenschaften der Teildreiecke AMC und CMB.

    Tipps

    Welcher Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$?

    Der Radius eines Kreises ist der halbe Durchmesser.

    Wie nennt man ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten?

    Lösung

    Da $M$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ ist, teilt er den Durchmesser des Thales-Kreises in zwei Teile. Der halbe Durchmesser entspricht dem Radius des Kreises, somit gilt:

    $\overline{AM}= \overline{MB} = r$.

    Der Punkt $C$ liegt auf dem Thales-Kreis mit dem Radius $r$, also ist auch die Strecke $\overline{MC} = r$. Die Teildreiecke $AMC$ und $CMB$ sind somit gleichschenklige Dreiecke.

    Gemäß dem Satz des Thales ist das Dreieck $ABC$ rechtwinklig. Die Teildreiecke $AMC$ und $CMB$ müssen jedoch nicht zwangsläufig rechtwinklig sein. Dies wäre nur der Fall, wenn der Punkt $C$ senkrecht zum Mittelpunkt $M$ auf dem Halbkreis liegen würde.