Quadratische Funktionen y=x² – Wertetabelle 04:31 min
Transkript Quadratische Funktionen y=x² – Wertetabelle
Hallo liebe Kinder! In diesem Film basteln wir uns eine Normalparabel. Eine Normalparabel, oder die Normalparabel, ist der Graph der Quadratfunktion. Die Quadratfunktion ist die Funktion mit der Funktionsgleichung y=x2. Um diese Funktion zu verstehen, machen wir unseren Kopf frei von Gedanken. Wir öffnen unseren Geist. Wir machen uns frei von Vorurteilen. Wir glauben nicht, die Quadratfunktion sei schwierig, auch wenn man uns das Gegenteil erklären möchte. Wir brauchen dazu nur die Grundschulmathematik, und, ja, ein bisschen Multiplizieren. Und das ist wieder einer der Punkte, wo Mathematik quasi von sich aus wieder entsteht. Und zwar, hier bei der Quadratfunktion, diese Quadratfunktion hat die Funktionsgleichung y=x2. Wie kann man das verstehen? Wir wollen was für x einsetzen und dann das y ausrechnen, und diese Wertepaare, also diese Paare von Zahlen, die wir dann herausbekommen, die werden wir hier in dieses Koordinatensystem eintragen oder so ungefähr zumindest. Wir überlegen kurz noch mal, was bedeutet x2? Das bedeutet x × x. Und so können wir jetzt eine Wertetabelle machen. Hier in die erste Zeile kommt das x, in die zweite Zeile kommt das y. Wenn wir jetzt etwas für x einsetzen, wir setzen irgendwelche Zahlen ein und rechnen jeweils das y aus. Das geht so, ich kann zunächst mal die 0 einsetzen, und dann rechne ich 0 × 0 = 0, deshalb ist y dann auch gleich 0. Bitte schön. Dann können wir rechnen 12, wir setzen für x 1 ein, 12 bedeutet 1×1, das ist 1, das ist auch nicht so schwierig. Dann setzen wir -1 ein, für x, das bedeutet, hier steht also -1 mal -1. Wenn wir das konkret aufschreiben wollten, müsste da natürlich noch eine Klammer gesetzt werden, um die zweite -1. Wir wissen schon -1 × (-1) = +1. Deshalb ist y = +1, wenn wir für x -1 einsetzen. Dann machen wir 2. Wir können für x 2 einsetzen, dann steht hier 2×2, das ist 4, kein Problem. Übrigens, für das Ganze brauchst du natürlich keinen Taschenrechner, das wär ja völliger Quatsch, wenn du 2×2 mit dem Taschenrechner rechnest, dann haben wir -2. Das können wir auch einsetzen. -2×(-2)=+4. Und deshalb ist y = 4, wenn wir für x -2 einsetzen. Wir können auch einsetzen, zum Beispiel 3. Dann haben wir hier 3×3, das ist 9. Ebenso können wir -3 einsetzen, dann bekommen wir auch 9 heraus, weil -3×(-3) =+9 ist. Minus mal Minus ergibt ja Plus. Das ist kein Problem. Jetzt könnte man die Wertetabelle natürlich noch erweitern, indem man hier 1,5 einsetzt oder zum Beispiel 0,5 oder -0,5. Das werde ich mir hier jetzt sparen, weil ich jetzt einfach den Graphen erstellen möchte, und zwar zunächst mal in einer kleinen Skizze. Eine solche Skizze ist immer dann sinnvoll, wenn man noch nicht genau weiß, worauf die Sache so hinausläuft und sich ein Gefühl dafür verschaffen möchte, für diese Wertetabelle. Wir sehen ja, dass die y-Werte, hier kommen die y-Werte hin, dass sie nicht negativ sind. Hier kommen die x-Werte hin, deshalb brauche ich hier diesen Platz nach unten eigentlich nicht. Ja, und dann muss ich diese Wertepaare, die ich hier herausbekommen habe, in dieser Wertetabelle noch hier eintragen. Das mache ich im zweiten Teil. Bis dahin, viel Spaß. Tschüss.
Videobeschreibung
Herzlich Willkommen zum Video „ Quadratische Funktionen y = x² Teil 1 “. In diesem Film basteln wir uns eine Normalparabel. Die Normalparabel ist der Funktionsgraph der Funktionsgleichung f ( x ) = x². Als erstes werden wir zusammen eine Wertetabelle zur Funktionsgleichung f ( x ) = x² aufstellen. Wir setzen Werte für x ein und berechnen mithilfe der Funktionsgleichung die dazugehörigen y- Werte. Somit erhalten wir verschiedene Punkte, welche zum Graphen der quadratischen Funktion gehören. Es sind Punkte der Normalparabel. Im zweiten Teil der Reihe werden wir die Parabel zeichnen.
Der Tutor:
Mathematik / mathematische Logik
Quadratische Funktionen y=x² – Wertetabelle
Quadratische Funktionen y=x² – Wertetabelle Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen y=x² – Wertetabelle kannst du es wiederholen und üben.
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Beschreibe, wie man die Werte einer quadratischen Funktion berechnen kann.
Tipps
Die Potenzschreibweise ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in welchem eine Zahl als Faktor mehrmals vorkommt. Zum Beispiel
$3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^4$.
Beachte
- $-3^4=-81$, wohingegen
- $(-3)^4=(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)=81$,
Jeder Punkt im x-y-Koordinatensystm $P(p_x|p_y)$ besitzt eine x- ($\large{p_x}$) sowie eine y-Koordinate ($\large{p_y}$).
Lösung
Wie kann man eine Normalparabel zeichnen?
Die Normalparabel ist der Graph der Quadratfunktion $y=x^2$.
Durch das Erstellen einer Wertetabelle erhält man Paare aus $x$ und $y$, welche in ein x-y-Koordinatensystem eingezeichnet werden können.
Zu gegebenen $x$ berechnet man $y=x^2=x\cdot x$.
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Ergänze die Wertetabelle für die Funktionsgleichung $y=x^2$.
Tipps
Setze jeweils $x$ in der Funktionsgleichung $y=x^2$ ein.
Beachte, dass das Quadrat einer negativen Zahl eine positive Zahl ist.
Es gilt $x^2=x\cdot x$.
Lösung
Grundsätzlich gilt: Wenn man einen Funktionsgraphen zeichnen möchte oder muss, dann kann man sich zunächst einmal eine Wertetabelle erstellen.
Eine Wertetabelle hat die Form
$\begin{array}{c|c|c|c} x&?&...&?\\ \hline y&?&...&? \end{array}$
In der oberen Zeile stehen verschiedene Werte für $x$ und in die untere Zeile werden die zugehörigen $y$-Werte eingetragen. Wie erhält man diese?
Man setzt den entsprechenden $x$-Wert in der Funktionsgleichung, hier $y=x^2$, ein:
- $x=0$ $\rightarrow$ $y=0^2=0$
- $x=1$ $\rightarrow$ $y=1^2=1$
- $x=-1$ $\rightarrow$ $y=(-1)^2=1$
- $x=2$ $\rightarrow$ $y=2^2=4$
- $x=(-2)$ $\rightarrow$ $y=(-2)^2=4$
- $x=3$ $\rightarrow$ $y=3^2=9$
- $x=-3$ $\rightarrow$ $y=(-3)^2=9$
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Entscheide, welche Wertetabelle zu welcher Funktion gehört.
Tipps
Du kannst zu jeder Funktion zu den gegebenen x-Werten die y-Werte berechnen.
Beachte, dass das Quadrat negativer Zahlen immer positiv ist.
Schau dir zunächst die y-Werte für $x=0$ an.
Lösung
Wertetabellen sind immer eine gute Idee, wenn Funktionsgraphen gezeichnet werden müssen.
- Man gibt sich verschiedene Werte für $x$ vor und
- ermittelt dann die zugehörigen y-Werte durch Einsetzen dieses $x$ in der Funktionsgleichung.
Schauen wir uns zunächst die Funktionsgleichung $y=x^2-2x+1$ an. Setzen wir zum Beispiel $x=2$ ein, so erhalten wir $y=2^2-2\cdot 2+1=4-4+1=1$. Dies ist die dazugehörige Wertetabelle:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x&-1&0&1&2&3\\ \hline y&4&1&0&1&4 \end{array}$
Als nächstes wollen wir uns die Funktionsgleichung $y=x^2+1$ näher ansehen. Für $x=-1$ ergibt sich $y=(-1)^2+1=1+1=2$. Die Wertetabelle:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x&-1&0&1&2&3\\ \hline y&2&1&2&5&10 \end{array}$
Die Funktionsgleichung $y=x^2+2x$ besitzt für $x=3$ den Funktionswert $y=3^2+2\cdot 3=9+6=15$ und für weitere x-Werte folgende Wertetabelle:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x&-1&0&1&2&3\\ \hline y&-1&0&3&8&15 \end{array}$
Letztlich wollen wir $y=x^2-3x$ näher untersuchen. Für $x=-1$ ergibt sich $y=(-1)^2-3\cdot (-1)=1+3=4$. Dies ist die entsprechende Wertetabelle:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x&-1&0&1&2&3\\ \hline y&4&0&-2&-2&0 \end{array}$
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Ermittle die Funktionswerte.
Tipps
Beachte:
- $(-2)^2=(-2)\cdot(-2)=4$
- aber: $-(-2)^2=-4$.
Berechne zunächst die Quadrate und multipliziere diese gegebenenfalls mit dem zugehörigen Faktor.
Falls du den Taschenrechner benutzt, denke daran, beim Quadrieren der negativen Zahlen Klammern zu verwenden.
Lösung
In dieser Aufgabe sind drei verschiedene quadratische Funktionsgleichungen. Zu jeder dieser Funktionen gehört als Funktionsgraph eine Parabel. Um eine Parabel zu zeichnen, genügen drei Punkte. Jeder Punkt hat eine x-Koordinate und eine y-Koordinate. Zu einer gegebenen x-Koordinate erhält man die y-Koordinate durch Einsetzen in der Funktionsgleichung.
Schauen wir uns zunächst $y=-x^2-2x$ genauer an:
- $x=-2~\rightarrow~y=-(-2)^2-2\cdot (-2)=-4+4=0$
- $x=-1~\rightarrow~y=-(-1)^2-2\cdot (-1)=-1+2=1$
- $x=2~\rightarrow~y=-2^2-2\cdot 2=-4-4=-8$
- $x=-1~\rightarrow~y=2\cdot(-1)^2+(-1)-1=2-1-1=0$
- $x=0~\rightarrow~y=2\cdot0^2+0-1=-1$
- $x=2~\rightarrow~y=2\cdot2^2+2-1=8+2-1=9$
- $x=-1~\rightarrow~y=-2\cdot (-1)^2+4=-2+4=2$
- $x=1~\rightarrow~y=-2\cdot 1^2+4=2$
- $x=3~\rightarrow~y=-2\cdot 3^2+4=-14$
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Gib den Verlauf des Funktionsgraphen der quadratischen Funktion $y=x^2$ an.
Tipps
Erstelle dir eine Wertetabelle zu $y=x^2$ und trage die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem ein. Liegen diese Punkte auf einer Geraden?
Hier siehst du den Verlauf einer Hyperbel.
Eine allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion ist gegeben durch $y=ax^2+bx+c$.
Hier ist $a=1$ und $b=c=0$.
Lösung
Im Laufe der Schulmathematik werden viele verschiedene Funktionen vorgestellt:
- Lineare Funktionen. Deren Verlauf sind Geraden.
- Quadratische Funktionen. Deren Verlauf sind Parabeln oder spezieller: Normalparabeln.
- Kubische Funktionen. Deren Verlauf weist eine S-Form auf.
- Gebrochen rationale Funktionen, zum Beispiel $y=\frac 1x$. Deren Verlauf ist eine Hyperbel.
Worin unterscheidet sich eine Normalparabel von einer Parabel? Jede Normalparabel ist insbesondere auch eine Parabel. Umgekehrt stimmt dies im allgemeinen nicht. Jeder zu einer Funktion der Form $y=x^2+bx+c$ gehörende Verlauf wird als Normalparabel bezeichnet.
Der Streckfaktor $a$ der Funktion $y=ax^2+bx+c$ ist also $1$.
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Bestimme den Funktionsgraphen zu der gegebenen Funktionsgleichung $y=x^2-2x+1$.
Tipps
Erstelle zu der gegebenen Funktion eine Wertetabelle und trage die resultierenden Punkte in ein x-y-Koordinatensystem ein.
Du kannst dir auch anschauen, wo der Graph die y-Achse schneidet.
Der y-Achsenabschnitt kann berechnet werden für $x=0$.
Lösung
Zu der Funktion $y=x^2-2x+1$ kann zunächst eine Wertetabelle erstellt werden:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x&-1&0&1&2&3\\ \hline y&4&1&0&1&4 \end{array}$
Diese Punkte können nun in ein x-y-Koordinatensystem eingetragen werden und man erhält den Graphen rechts.
@Dorisbuchstab,
bei der von dir gezeigten Rechnung, musst du dir das so vorstellen. Beim Einsetzten der Werte für die Variable x gilt:
-x² = - (x mal x) und nicht (-x mal -x)
sonst wäre ja -x² = x²
Das Minus vor der Variable wird nicht mit quadriert!
Also gilt für die beschriebene Rechnung
y= -x² -2x mit x=2
y= -(2 mal 2) - 2 mal 2
y= -4 - 4 = -8
Das stimmt natürlich, nur wenn ich mir dieses Beispiel nehme, passt es nicht mehr:
y= -x²-2x mit x=2
y= -2²- 4= 4-4 = 0
In den Lösungen allerdings steht :
y= -4-4 = -8
@Dorisbuchstab,
es stimmt das Minus mal Minus Plus ist. Jedoch ist es bei dieser Aufgabe etwas anders. Das Minus steht vor dem x. Es ist also so:
y = - x² mit x = -2
y = - (-2)² = - 4
Vorsicht, bei der Aufgabe 4 sind die Lösungen wohl nicht korrekt. Quadriert man negative Werte, erhält man nämlich positive Ergebnisse.
Super Video. Alles gut erklärt. Weiter so :)