Quadratische Funktionen y=x² – Wertetabelle

Quadratische Funktionen y=x² – Wertetabelle Übung

• Beschreibe, wie man die Werte einer quadratischen Funktion berechnen kann.

  Tipps

  Die Potenzschreibweise ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in welchem eine Zahl als Faktor mehrmals vorkommt. Zum Beispiel

  $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^4$.

  Beachte

  • $-3^4=-81$, wohingegen
  • $(-3)^4=(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)=81$,

  da Minus mal Minus Plus ergibt.

  Jeder Punkt im x-y-Koordinatensystm $P(p_x|p_y)$ besitzt eine x- ($\large{p_x}$) sowie eine y-Koordinate ($\large{p_y}$).

  Lösung

  Wie kann man eine Normalparabel zeichnen?

  Die Normalparabel ist der Graph der Quadratfunktion $y=x^2$.

  Durch das Erstellen einer Wertetabelle erhält man Paare aus $x$ und $y$, welche in ein x-y-Koordinatensystem eingezeichnet werden können.

  Zu gegebenen $x$ berechnet man $y=x^2=x\cdot x$.

• Ergänze die Wertetabelle für die Funktionsgleichung $y=x^2$.

  Tipps

  Setze jeweils $x$ in der Funktionsgleichung $y=x^2$ ein.

  Beachte, dass das Quadrat einer negativen Zahl eine positive Zahl ist.

  Es gilt $x^2=x\cdot x$.

  Lösung

  Grundsätzlich gilt: Wenn man einen Funktionsgraphen zeichnen möchte oder muss, dann kann man sich zunächst einmal eine Wertetabelle erstellen.

  Eine Wertetabelle hat die Form

  $\begin{array}{c|c|c|c} x&?&...&?\\ \hline y&?&...&? \end{array}$

  In der oberen Zeile stehen verschiedene Werte für $x$ und in die untere Zeile werden die zugehörigen $y$-Werte eingetragen. Wie erhält man diese?

  Man setzt den entsprechenden $x$-Wert in der Funktionsgleichung, hier $y=x^2$, ein:

  • $x=0$ $\rightarrow$ $y=0^2=0$
  • $x=1$ $\rightarrow$ $y=1^2=1$
  • $x=-1$ $\rightarrow$ $y=(-1)^2=1$
  • $x=2$ $\rightarrow$ $y=2^2=4$
  • $x=(-2)$ $\rightarrow$ $y=(-2)^2=4$
  • $x=3$ $\rightarrow$ $y=3^2=9$
  • $x=-3$ $\rightarrow$ $y=(-3)^2=9$

  Wichtig ist zu beachten, dass beim Quadrieren das Vorzeichen $-$ wegfällt. Oder, anders ausgedrückt: das Quadrat einer negativen Zahl ist eine positive Zahl.

• Entscheide, welche Wertetabelle zu welcher Funktion gehört.

  Tipps

  Du kannst zu jeder Funktion zu den gegebenen x-Werten die y-Werte berechnen.

  Beachte, dass das Quadrat negativer Zahlen immer positiv ist.

  Schau dir zunächst die y-Werte für $x=0$ an.

  Lösung

  Wertetabellen sind immer eine gute Idee, wenn Funktionsgraphen gezeichnet werden müssen.

  • Man gibt sich verschiedene Werte für $x$ vor und
  • ermittelt dann die zugehörigen y-Werte durch Einsetzen dieses $x$ in der Funktionsgleichung.

  Der zu $x=0$ gehörende Funktionswert ist immer durch den Term gegeben, welcher kein $x$ beinhaltet.

  Schauen wir uns zunächst die Funktionsgleichung $y=x^2-2x+1$ an. Setzen wir zum Beispiel $x=2$ ein, so erhalten wir $y=2^2-2\cdot 2+1=4-4+1=1$. Dies ist die dazugehörige Wertetabelle:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x&-1&0&1&2&3\\ \hline y&4&1&0&1&4 \end{array}$

  Als nächstes wollen wir uns die Funktionsgleichung $y=x^2+1$ näher ansehen. Für $x=-1$ ergibt sich $y=(-1)^2+1=1+1=2$. Die Wertetabelle:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x&-1&0&1&2&3\\ \hline y&2&1&2&5&10 \end{array}$

  Die Funktionsgleichung $y=x^2+2x$ besitzt für $x=3$ den Funktionswert $y=3^2+2\cdot 3=9+6=15$ und für weitere x-Werte folgende Wertetabelle:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x&-1&0&1&2&3\\ \hline y&-1&0&3&8&15 \end{array}$

  Letztlich wollen wir $y=x^2-3x$ näher untersuchen. Für $x=-1$ ergibt sich $y=(-1)^2-3\cdot (-1)=1+3=4$. Dies ist die entsprechende Wertetabelle:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x&-1&0&1&2&3\\ \hline y&4&0&-2&-2&0 \end{array}$

• Ermittle die Funktionswerte.

  Tipps

  Beachte:

  • $(-2)^2=(-2)\cdot(-2)=4$
  • aber: $-(-2)^2=-4$.

  Berechne zunächst die Quadrate und multipliziere diese gegebenenfalls mit dem zugehörigen Faktor.

  Falls du den Taschenrechner benutzt, denke daran, beim Quadrieren der negativen Zahlen Klammern zu verwenden.

  Lösung

  In dieser Aufgabe sind drei verschiedene quadratische Funktionsgleichungen. Zu jeder dieser Funktionen gehört als Funktionsgraph eine Parabel. Um eine Parabel zu zeichnen, genügen drei Punkte. Jeder Punkt hat eine x-Koordinate und eine y-Koordinate. Zu einer gegebenen x-Koordinate erhält man die y-Koordinate durch Einsetzen in der Funktionsgleichung.

  Schauen wir uns zunächst $y=-x^2-2x$ genauer an:

  • $x=-2~\rightarrow~y=-(-2)^2-2\cdot (-2)=-4+4=0$
  • $x=-1~\rightarrow~y=-(-1)^2-2\cdot (-1)=-1+2=1$
  • $x=2~\rightarrow~y=-2^2-2\cdot 2=-4-4=-8$

  Wie lauten die Werte für $y=2x^2+x-1$?

  • $x=-1~\rightarrow~y=2\cdot(-1)^2+(-1)-1=2-1-1=0$
  • $x=0~\rightarrow~y=2\cdot0^2+0-1=-1$
  • $x=2~\rightarrow~y=2\cdot2^2+2-1=8+2-1=9$

  Zuletzt untersuchen wir noch die Funktionsgleichung $y=-2x^2+4$:

  • $x=-1~\rightarrow~y=-2\cdot (-1)^2+4=-2+4=2$
  • $x=1~\rightarrow~y=-2\cdot 1^2+4=2$
  • $x=3~\rightarrow~y=-2\cdot 3^2+4=-14$

• Gib den Verlauf des Funktionsgraphen der quadratischen Funktion $y=x^2$ an.

  Tipps

  Erstelle dir eine Wertetabelle zu $y=x^2$ und trage die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem ein. Liegen diese Punkte auf einer Geraden?

  Hier siehst du den Verlauf einer Hyperbel.

  Eine allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion ist gegeben durch $y=ax^2+bx+c$.

  Hier ist $a=1$ und $b=c=0$.

  Lösung

  Im Laufe der Schulmathematik werden viele verschiedene Funktionen vorgestellt:

  • Lineare Funktionen. Deren Verlauf sind Geraden.
  • Quadratische Funktionen. Deren Verlauf sind Parabeln oder spezieller: Normalparabeln.
  • Kubische Funktionen. Deren Verlauf weist eine S-Form auf.
  • Gebrochen rationale Funktionen, zum Beispiel $y=\frac 1x$. Deren Verlauf ist eine Hyperbel.

  Egal, welche Funktion betrachtet wird, man kann immer eine Wertetabelle anfertigen und die resultierenden Zahlenpaare $(x|y)$ in ein x-y-Koordinatensystem einzeichnen. Wenn die Schrittweiten für die x-Werte klein genug sind, kann man bereits an den Punkten den Verlauf erkennen. Ansonsten ist es wichtig, allgemein zu wissen, welchen Verlauf eine gegebene Funktion besitzt.

  Worin unterscheidet sich eine Normalparabel von einer Parabel? Jede Normalparabel ist insbesondere auch eine Parabel. Umgekehrt stimmt dies im allgemeinen nicht. Jeder zu einer Funktion der Form $y=x^2+bx+c$ gehörende Verlauf wird als Normalparabel bezeichnet.

  Der Streckfaktor $a$ der Funktion $y=ax^2+bx+c$ ist also $1$.

• Bestimme den Funktionsgraphen zu der gegebenen Funktionsgleichung $y=x^2-2x+1$.

  Tipps

  Erstelle zu der gegebenen Funktion eine Wertetabelle und trage die resultierenden Punkte in ein x-y-Koordinatensystem ein.

  Du kannst dir auch anschauen, wo der Graph die y-Achse schneidet.

  Der y-Achsenabschnitt kann berechnet werden für $x=0$.

  Lösung

  Zu der Funktion $y=x^2-2x+1$ kann zunächst eine Wertetabelle erstellt werden:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x&-1&0&1&2&3\\ \hline y&4&1&0&1&4 \end{array}$

  Diese Punkte können nun in ein x-y-Koordinatensystem eingetragen werden und man erhält den Graphen rechts.