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Quadratische Funktionen y=x²+e – Bedeutung des Parameters e 06:01 min

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Transkript Quadratische Funktionen y=x²+e – Bedeutung des Parameters e

Hallo! Hier habe ich eine Parabel vorbereitet, eine Normalparabel. Diese Parabel hier ist der Graph der Quadratfunktion, und die Quadratfunktion ist die Funktion mit der Funktionsgleichung y=x². Wenn ich den Graphen dann zeichne, das heißt mache eine Wertetabelle und trage die Werte hier in das Koordinatensystem ein, dann bekomme ich diesen Graphen hier. Wir haben auch schon andere Graphen gehabt. Ich habe sie hier vorgemacht und zum Beispiel hatten wir den Graphen der Funktion y=x²+1, und dieser Graph sah also nicht so aus, sondern er war so. Ich muss das ein bisschen hier zurechtrücken. So, das ist ziemlich genau der Graph, den wir bekommen haben bei der Funktion y=x²+1. Und dann haben wir noch eine Funktion gesehen, nämlich die Funktion y=x²-2. Die sah so aus. Die muss ich auch noch glatt streichen. Das glatt Streichen ist immer das am Ganzen, ist fast wie Bügeln, nur ohne Bügeleisen. Die untere Funktion hier ist die Funktion y=x²-2. Genauer könnte man auch sagen, die Funktion, die die Funktionsgleichung y=x²-2 hat. Ich schreib die mal eben hier hin. Die obere Funktion, die wir hier sehen, ist y=x²+1. Die Mittlere ist y=x² und die da drunter ist, also ich meine selbstverständlich jeweils den Graphen, aber so genau wird das meistens nicht unterschieden. Man könnte das so genau unterscheiden, wird in der Regel aber nicht gemacht, deshalb mach ich´s hier auch nicht. Ich rede einfach von der Funktion auch dann, wenn ich hier zum Beispiel den Graphen der Funktion meine. Also, diese Funktion, bzw. der Graph der Funktion ist da unten, das ist der untere Graph hier, und der hat also die Funktionsgleichung y=x²-2. Ganz allgemein können wir deshalb sagen, da wir jetzt diese Erfahrung hier haben, wir können dann sagen, was wir erwarten, wenn man andere Zahlen einsetzt. Also, y=x²+e, das ist ein e hier. Manchmal steht hier auch ein c. Ich schreib das noch dazu: y=x²+c. Je nachdem, ob man sich hier auf die Scheitelpunktform bezieht oder auf die Normalform, möchte ich jetzt gar nicht drauf eingehen, ist in diesem Zusammenhang auch egal. Es geht nur darum: Wir haben quasi bis hier die Quadratfunktion y=x², wir können dann eine Zahl addieren, wir können eine positive oder eine negative Zahl addieren, normalerweise, wenn man eine negative Zahl addiert, sagt man, dass man sie abzieht. Wir können hier für e oder für c eine positive oder negative Zahl einsetzen und ich denke, wir dürfen das so verallgemeinern, wenn hier zum Beispiel 5 stehen würde, dann erwarten wir, dass als Graph bei dieser Funktion eine Normalparabel herauskommt, die um 5 Einheiten nach oben verschoben ist. Wenn hier eine 6 stehen würde, statt des e oder statt des c, würden wir erwarten, dass die Normalparabel um 6 Einheiten nach oben verschoben ist. Genauso erwarten wir, dass, wenn hier eine negative Zahl steht, zum Beispiel wenn hier -1 stehen würde, die Funktionsgleichung y=x²-1 würde dann da stehen, dann wird die Normalparabel um 1 Einheit nach unten verschoben. Oder genauer gesagt, wenn wir dann den Graphen zeichnen würden, der zu dieser Funktionsgleichung passt, dann erhielten wir eine Normalparabel, die um 1 Einheit nach unten verschoben ist. Oder in die negative y-Richtung, kann man auch sagen. Auf jeden Fall kann man sagen, dass diese Zahl hier hinten die Verschiebung der Normalparabel nach oben oder unten angibt. Ich habe das jetzt nicht an vielen Parabeln überprüft, du kannst es an beliebig vielen Parabeln überprüfen, es stimmt immer. Aber aus rein logischen Gründen würden wir sagen, wenn wir den Prozess wie hier mal gemacht haben, wenn wir die Wertetabelle geschrieben haben, dann wissen wir, das kann gar nicht anders funktionieren als das hier hinten die Verschiebung nach oben oder nach unten der Normalparabel angegeben ist. Damit ist diese Form der Normalparabeln oder der Funktionsgleichungen erledigt. Viel Spaß damit, bis bald. Tschüss!

2 Kommentare
  1. sehr gutes video wie alle anderen haben mir sehr viel geholfen. :-)

    Von E Prokopic, vor etwa einem Jahr
  2. jut

    Von Roman049, vor fast 2 Jahren

Quadratische Funktionen y=x²+e – Bedeutung des Parameters e Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen y=x²+e – Bedeutung des Parameters e kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme den passenden Funktionsgraphen.

    Tipps

    Die Normalparabel ist der Funktionsgraph der quadratischen Funktion y = x². Der Funktionsgraph verläuft durch den Koordinatenursprung.

    Wenn man die Normalparabel um 2 Einheiten auf der y-Achse nach oben verschiebt, wird zu x² in der Funktionsgleichung 2 addiert.

    Wenn man die Normalparabel um 3 Einheiten auf der y-Achse nach unten verschiebt, wird von x² in der Funktionsgleichung 3 subtrahiert.

    Lösung
    • Die Normalparabel ist der Funktionsgraph der quadratischen Funktion y = x². Im Bild ist die Normalparabel der gelbe Funktionsgraph.
    • Wenn man die Normalparabel um eine Einheit nach oben verschiebt, erhält man den Funktionsgraphen für die quadratische Funktion y = x² + 1. Im Bild ist das der grüne Funktionsgraph.
    • Wenn man den roten Funktionsgraphen um zwei Einheiten nach unten verschiebt, erhält man den blauen Funktionsgraphen mit der Funktionsgleichung y = x² - 2.
  • Beschreibe die Funktionsgraphen.

    Tipps

    Der Funktionsgraph zur Funktionsgleichung y = x² - 1 entsteht, wenn man den Funktionsgraphen der quadratischen Funktion y = x² um eine Einheit entlang der y-Achse nach unten verschiebt.

    Lösung
    • Die Normalparabel ist der Funktionsgraph zur quadratischen Funktion y = x².
    • Den Funktionsgraphen zur quadratischen Funktion y = x² + 1 erhält man, indem man die Normalparabel um 1 Einheiten entlang der y-Achse nach oben verschiebt.
    • Den Funktionsgraphen zur quadratischen Funktion y = x² - 2 erhält man, indem man die Normalparabel um 2 Einheiten entlang der y-Achse nach unten verschiebt.
  • Beschreibe die Auswirkungen auf den Funktionsgraphen.

    Tipps

    Die Normalparabel ist der Funktionsgraph zur quadratischen Funktion y = x². Der Funktionsgraph verläuft durch den Ursprung.

    Der Funktionsgraph der Funktion y = x² + 1 schneidet die y-Achse im Punkt P(0$|$1). Der Funktionsgraph der Funktion y = x² - 2 schneidet die y-Achse im Punkt Q(0$|$-2)

    Lösung
    • Die Normalparabel ist der Funktionsgraph zur quadratischen Funktion y = x².
    • Den Funktionsgraphen zur Funktion y = x² + 1 erhält man, indem man die Normalparabel um 1 Einheit entlang der y-Achse nach oben verschiebt.
    • Den Funktionsgraphen zur Funktion y=x² - 2 erhält man, indem man die Normalparabel um 2 Einheiten entlang der y-Achse nach unten verschiebt.
  • Ordne die Funktionsgleichungen den entsprechenden Funktionsgraphen zu.

    Tipps

    Beginne mit dem grünen Funktionsgraphen. Um wie viel wurde die Normalparabel nach oben verschoben? Die Funktionsgleichung der Normalparabel lautet y = x².

    Es folgen der rote, gelbe, blaue und zuletzt der graugrüne Funktionsgraph.

    Lösung
    • Wenn du die Normalparabel um 2 Einheiten nach oben verschiebst, erhältst du den grünen Funktionsgraphen mit der Funktionsgleichung y = x² + 2.
    • Wenn du die Normalparabel um 0,75 Einheiten nach oben verschiebst, erhältst du den roten Funktionsgraphen mit der Funktionsgleichung y = x² + 0,75.
    • Wenn du die Normalparabel um 0,25 Einheiten nach unten verschiebst, erhältst du den gelben Funktionsgraphen mit der Funktionsgleichung y = x² - 0,25.
    • Wenn du den gelben Funktionsgraphen um die gleiche Einheit weiter nach unten verschiebst, erhältst du den blauen Funktionsgraphen mit der Funktionsgleichung y = x² - 1,5.
    • Wenn du den blauen Funktionsgraphen um weitere 0,5 Einheiten nach unten verschiebst, erhältst du den graugrünen Funktionsgraphen mit der Funktionsgleichung y = x² - 2.
  • Entscheide, ob die Funktionsgraphen nach oben oder unten verschoben werden.

    Tipps

    Schau dir das Bild ganz oben einmal an. Im linken Bild wurde die Normalparabel nach oben verschoben. Der y-Achsenabschnitt der Funktion mit diesem Funktionsgraphen ist positiv.

    Im rechten Bild wurde die Normalparabel nach unten verschoben. Der y-Achsenabschnitt der Funktion mit diesem Funktionsgraphen ist negativ.

    Hier siehst du den Funktionsgraphen der Funktion mit der Funktionsgleichung y = x² - 2.

    Lösung

    Gegeben sei die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + e.

    Wenn e positiv ist, dann entsteht der entsprechende Funktionsgraph, wenn man die Normalparabel um e Einheiten entlang der y-Achse nach oben verschiebt. Dazu gehören die Funktionsgraphen der folgenden Funktionsgleichungen:

    • y = x² + 1
    • y = x² + 3
    • y = x² + 0,5
    Wenn e negativ ist, dann entsteht der entsprechende Funktionsgraph, wenn man die Normalparabel um e Einheiten entlang der y-Achse nach unten verschiebt. Dazu gehören die Funktionsgraphen der folgenden Funktionsgleichungen:
    • y = x² - 1
    • y = x² - 2
    • y = x² - 0,5
    • y = x² - 3

  • Leite die richtige Funktionsgleichung ab.

    Tipps

    Die Normalparabel ist der Funktionsgraph zur quadratischen Funktion y = x². Der Funktionsgraph verläuft durch den Ursprung.

    Durch den Parameter e wird die Funktion y = x² + e um e Einheiten verschoben.

    Ist e eine positive Zahl, so wird die Normalparabel entlang der y-Achse nach oben verschoben, andernfalls nach unten.

    Lösung

    Gegeben sei die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + e.

    Wenn e positiv ist, dann entsteht der entsprechende Funktionsgraph, wenn man die Normalparabel um e Einheiten entlang der y-Achse nach oben verschiebt. Dazu gehören die Funktionsgraphen der folgenden Funktionsgleichungen:

    • y = x²+ 1
    • y = x² + 0,5
    Wenn e negativ ist, dann entsteht der entsprechende Funktionsgraph, wenn man die Normalparabel um e Einheiten entlang der y-Achse nach unten verschiebt. Dazu gehören die Funktionsgraphen der folgenden Funktionsgleichungen:
    • y = x² - 1
    • y = x² - 1,5