30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Quadratische Funktionen y=x²-2 – Graph

Bewertung

Ø 5.0 / 9 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik
Quadratische Funktionen y=x²-2 – Graph
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Funktionen y=x²-2 – Graph

Herzlich Willkommen zum zweiten Teil des Videos „ Quadratische Funktionen y = x² - 2 “. Im ersten Teil haben wir bereits mit dir zusammen die Wertetabelle zur quadratischen Funktion f ( x ) = x² - 2 erstellt. Nun wollen wir die Gelegenheit nutzen und die errechneten Punkte in das Koordinatensystem übertragen. Du erhältst eine Parabel. Was fällt dir an dem entstandenen Graphen auf? Kennst du bereits einen Funktionsgraphen, welcher ähnlich aussieht? Im Film werden wir dir einen bereits bekannten Funktionsgraphen zeigen, welcher dem neuen Funktionsgraphen ähnlich aussieht. Lass dich überraschen!

Transkript Quadratische Funktionen y=x²-2 – Graph

Hallo! Hier ist also die Funktion mit der Funktionsgleichung y=x2-2. Das möchte ich mal eben schnell in ein Koordinatensystem eintragen, halt nur eben eine Skizze machen. Und hier muss ich ein bisschen mich strecken, weil auch negative Funktionswerte vorkommen. Eine Skizze kann man auch ohne Lineal machen, wenn man dazu die Fähigkeit hat. Auf jeden Fall: Es ist immer ganz gut, so eine Skizze anzufertigen, dann brauchst Du Dir keine Gedanken machen, was passiert, wenn ich mich mal irgendwo verrechne. Das ist kein Problem, Du kannst es Dir hier angucken, wie der Graph aussehen wird. Hier ist ja die x-Achse, hier ist die y-Achse. Wenn man für x 0 einsetzt, ist der Funktionswert bei -2. Wenn man für x 1 oder -1 einsetzt, ist der Funktionswert bei -1, beides mal. Und wenn man für x 2 einsetzt beziehungsweise -2, ist der Funktionswert bei 2, dann bilden wir hier noch die Einheiten: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Das ist hier nur für die Skizze. Wenn ich jetzt also für x 2 oder -2 einsetze, dann ist hier der Funktionswert bei 2 jeweils. Es ist wieder symmetrisch, das hast Du wahrscheinlich schon erwartet. Ich möchte Symmetrie hier nicht diskutieren. Falls Du das noch nicht gehabt hast, kein Problem. Hier geht es nur darum, diesen Graphen zu zeichnen und ein bisschen vertraut zu werden mit diesen Quadratfunktionen oder quadratischen Funktionen. So sieht das also ungefähr aus. Ich glaube, das ist halbwegs das, was Du erwartet hast. Das brauche ich nicht mehr. Das ist die Skizze des Graphen der Funktion y=x2-2 und das möchte ich jetzt auch noch mal in schön zeigen. Rein zufällig habe ich hier mal 2 Parabeln vorbereitet. Die eine brauche ich, um die Funktion y=x2-2 darzustellen. Das ist diese Parabel hier. Ich glaube, Du erkennst die Ähnlichkeit zwischen dieser Zeichnung und diesem Graphen hier. So muss das hin, jetzt ist es bei -2, eben noch glatt streichen. Eine schöne Parabel haben wir hier! Jetzt habe ich es schon vorweggenommen, es ist auch eine Parabel. Wir erinnern uns an die Normalparabel, die also hier zu liegen kommt. Das ist die Normalparabel. Sie geht durch den Punkt (0|0), hier ist der Punkt (0|0). Und die Parabel, die wir hier gezeichnet haben, sieht fast genauso aus, sie ist nur ein bisschen verschoben, deshalb nennt man den Graphen, diesen Graphen hier, den unteren, nennt man verschobene Normalparabel, und zwar ist sie verschoben worden entlang der x-Achse um 2 Einheiten nach unten. Ich glaube, das ist gut zu sehen. Der Abstand hier ist überall 2 Einheiten. Auch wenn es so aussieht, als seien sie hier nah beieinander, dieser Abstand ist nicht gefragt, dieser Abstand ist gefragt und der ist jeweils 2 Einheiten. Das ist hier überall so, auch wenn es nicht ganz so aussieht. Damit haben wir hier wieder eine verschobene Normalparabel um 2 Einheiten entlang der x-Achse nach unten. Das ist alles dazu. Viel Spaß damit, bis bald. Tschüss.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Wirklich toll und hilfreich!!!

    Von Schoki 1, vor mehr als 4 Jahren
  2. Super Video:)

    Von Bunluan2, vor etwa 6 Jahren
  3. Perfekt erklärt, alle Videos zu den quadratischen Funktionen, schön langsam und deutlich.

    Weiter so! :D

    Von Angelikaklemm, vor mehr als 6 Jahren
  4. Bei 3,50 ca. sagst du sie ist an der x-Achse nach unten verschoben. Heißt natürlich an der y-Achse. Finde deine Videos echt super und verstädnlich.

    Von Schokomaus, vor mehr als 9 Jahren

Quadratische Funktionen y=x²-2 – Graph Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen y=x²-2 – Graph kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Punkte an, welche zu dem Graphen der Funktion $y=x^2-2$ gehören.

    Tipps

    Jedes Paar $(x|y)$ der Wertetabelle steht für einen Punkt. Dies ist eine Wertetabelle zu der quadratischen Funktion $y=x^2-2$.

    Um einen Punkt in ein x-y-Koordinatensystem zu zeichnen, kannst du

    • eine Parallele zur y-Achse durch die x-Koordinate und dann
    • eine Parallele zur x-Achse durch die y-Koordinate zeichnen.
    • Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der gesuchte Punkt.

    Beachte, dass die erste Koordinate die x- und die zweite die y-Koordinate des Punktes ist.

    Lösung

    Die Lösung ist hier zu sehen.

    Jedes Paar aus der Wertetabelle stellt einen Punkt des Funktionsgraphen dar.

    Zum Beispiel: $x=0$ und $y=-2$.

    $x=0$ entspricht der y-Achse. Es handelt sich hier also um den y-Achsenabschnitt. Dieser liegt bei $y=-2$. Dieser Punkt ist der Scheitelpunkt der Parabel.

    Allgemein kann man einen Punkt $P(p_x|p_y)$ wie folgt zeichnen:

    1. Zeichne eine zur y-Achse parallele Gerade durch $x=p_x$.
    2. Zeichne eine zur x-Achse parallele Gerade durch $y=p_y$.
    3. Der gesuchte Punkt ist der Schnittpunkt der beiden Geraden.

  • Bestimme den Graphen zu der Funktion $y=x^2-2$.

    Tipps

    Erstelle eine Wertetabelle mit $x=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$.

    Die zugehörigen y-Werte erhältst du durch Einsetzen in der Funktionsvorschrift $y=x^2-2$.

    Zum Beispiel gehört zu $x=2$ der Funktionswert $y=2^2-2=4-2=2$.

    Hier siehst du die Punkte im Koordinatensystem.

    Lösung

    Wie kann man den Graphen einer Funktion zeichnen?

    Ganz allgemein kann man wie folgt vorgehen:

    1. Man fertigt eine Wertetabelle an. In der oberen Zeile stehen verschiedene Werte für $x$, welche man sich vorgeben kann. In der unteren Zeile werden die zugehörigen y-Werte eingetragen. Diese erhält man durch Einsetzen der x-Werte in der Funktionsvorschrift.
    2. Jedes der Paare $(x|y)$ stellt einen Punkt des Funktionsgraphen dar. Man trägt alle berechneten Punkte in ein x-y-Koordinatensystem ein.
    3. Man verbindet die Punkte. Hierbei ist es sinnvoll, eine Vorstellung vom Verlauf des Funktionsgraphen zu haben. Ansonsten müsste man sehr viele Punkte mit entsprechend kleinem Abstand in den x-Werten bestimmen.
    Eine zu $y=x^2-2$ gehörende Wertetabelle ist gegeben durch

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x&0&1&-1&2&-2&3&-3\\ \hline y&-2&-1&-1&2&2&7&7 \end{array}$

    Alternativ könnte man auch wie folgt vorgehen:

    Ausgehend von der zu $y=x^2$ gehörenden Normalparabel kann man sich anschauen, ob die gesuchte Parabel aus dieser durch Verschiebung hervorgeht. Da von jedem Funktionswert $y=x^2$ die $2$ subtrahiert wird, handelt es sich bei der zu $y=x^2-2$ um eine um zwei Längeneinheiten nach unten, also entlang der y-Achse, verschobene Normalparabel.

    Der zugehörige Graph ist hier zu sehen.

  • Bestimme die fehlenden Funktionswerte der Funktion $y=x^2+1$.

    Tipps

    Setze jeweils $x$ in der Funktionsgleichung $y=x^2+1$ ein.

    Beachte, dass das Quadrat einer negativen Zahl eine positive Zahl ist.

    Der Graph der Funktion $y=x^2+1$ ist eine um eine Längeneinheit nach oben verschobene Normalparabel.

    Lösung

    Man kann sicher jede Parabel mit Hilfe von

    • Verschiebungen entlang der Koordinatenachsen und/oder
    • Streckungen zeichnen.
    Auf jedem Fall kann man auch immer eine Wertetabelle erstellen.

    Diese hat die Form

    $\begin{array}{c|c|c|c} x&?&...&?\\ \hline y&?&...&? \end{array}$

    In der oberen Zeile stehen verschiedene Werte für $x$ und in die untere Zeile werden die zugehörigen $y$-Werte eingetragen. Diese erhält man durch Einsetzen der $x$-Werte in der Funktionsvorschrift.

    • $x=0$ $\rightarrow$ $y=0^2+1=1$
    • $x=1$ $\rightarrow$ $y=1^2+1=2$
    • $x=-1$ $\rightarrow$ $y=(-1)^2+1=2$
    • $x=2$ $\rightarrow$ $y=2^2+1=5$
    • $x=(-2)$ $\rightarrow$ $y=(-2)^2+1=5$
    • $x=3$ $\rightarrow$ $y=3^2+1=10$
    • $x=-3$ $\rightarrow$ $y=(-3)^2+1=10$
    Wichtig ist zu beachten, dass beim Quadrieren das Vorzeichen $-$ wegfällt. Oder, anders ausgedrückt: Das Quadrat einer negativen Zahl ist eine positive Zahl.

  • Prüfe die folgenden Aussagen zur Normalparabel $y=x^2$.

    Tipps

    Du könntest jeweils eine Wertetabelle erstellen und die Graphen zeichnen.

    Es reicht,

    • bei $y=x^2-1$ den Funktionswert für $x=0$ zu ermitteln sowie
    • bei $y=(x+1)^2$ zu untersuchen, für welchen $x$-Wert der $y$-Wert $0$ angenommen wird.

    In diesem Bild siehst du die drei Graphen zu $y=x^2$, $y=x^2-1$ sowie $y=(x+1)^2$.

    Lösung

    Die Normalparabel zu $y=x^2$ ist in diesem Bild rot dargestellt.

    Die violette Parabel entsteht aus der roten durch eine Verschiebung entlang der y-Achse um eine Längeneinheit nach unten. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet $y=x^2-1$.

    Allgemein erhält man durch $y=x^2+e$ eine Verschiebung entlang der y-Achse um $e$ Einheiten

    • nach oben, wenn $e>0$ ist, oder
    • nach unten, wenn $e<0$ ist.
    Die blaue Parabel entsteht aus der roten durch eine Verschiebung um eine Längeneinheit entlang der x-Achse nach links. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet $y=(x+1)^2$.

    Allgemein erhält man durch $y=(x-d)^2$ eine Verschiebung entlang der x-Achse um $d$ Einheiten

    • nach rechts, wenn $d>0$ ist, oder
    • nach links, wenn $d<0$ ist.
    Man kann auch beide Verschiebungen kombinieren und erhält dann

    $y=(x-d)^2+e$.

    Dies ist eine Scheitelpunktform, aus welcher man den Scheitelpunkt $S(d|e)$ ablesen kann. Im Fall einer nach oben geöffneten Normalparabel ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Parabel. Dies ist bei den hier abgebildeten Parabeln der Fall.

  • Gib wieder, wie der Graph der Funktion $y=x^2-2$ gezeichnet werden kann.

    Tipps

    Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $y=mx+b$.

    Beachte, dass $2$ von dem Funktionswert $y=x^2$ subtrahiert wird.

    Eine Verschiebung entlang der x-Achse liegt vor bei $y=(x-2)^2$.

    Lösung

    Gezeichnet werden soll der Graph der Funktion $y=x^2-2$. Hierbei handelt es sich um eine quadratische Funktion. Deren Graph ist eine Parabel.

    Die Parabel zu der Gleichung $y=x^2$ wird als Normalparabel bezeichnet. Jeder Graph, der aus dieser Parabel ausschließlich durch Verschiebungen entlang der Koordinatenachsen entsteht, wird ebenfalls als Normalparabel bezeichnet.

    Bei dem Graphen zu der Funktion $y=x^2-2$ handelt es sich um eine um zwei Längeneinheiten nach unten verschobene Normalparabel, welche rechts zu sehen ist.

    Normalparabeln können:

    • entlang der x-Achse nach rechts oder links oder
    • entlang der y-Achse nach oben oder unten verschoben werden.
    Natürlich können auch Kombinationen von Verschiebungen entlang der Koordinatenachsen durchgeführt werden.

  • Ermittle die zugehörigen Funktionsgleichungen.

    Tipps

    An der Form $y=(x-d)^2+e$ kannst du die Verschiebungen erkennen:

    • um $d$ Einheiten entlang der x-Achse nach rechts (links), wenn $d>0$ ($d<0$) ist oder
    • um $e$ Einheiten entlang der y-Achse nach oben (unten), wenn $c>0$ ($c<0$) ist.

    Wenn entlang einer Achse keine Verschiebung vorliegt, ist der entsprechende Parameter $0$.

    Achte auch auf das Vorzeichen.

    Zum Beispiel entspricht $y=(x-(-3))^2=(x+3)^2$ einer Verschiebung um drei Längeneinheiten in x-Richtung nach links.

    Lösung

    Wenn man verschiedene Verschiebungen entlang der Koordinatenachsen kombiniert, erhält man die Scheitelpunktform:

    $y=(x-d)^2+e$.

    Die Verschiebungen sind wie folgt gegeben:

    • Durch $y=x^2+e$ eine Verschiebung entlang der y-Achse um $e$ Einheiten nach oben (unten), wenn $e>0$ ($e<0$) ist.
    • Durch $y=(x-d)^2$ eine Verschiebung entlang der x-Achse um $d$ Einheiten nach rechts (links), wenn $d>0$ ($d<0$) ist.
    Aus der Scheitelpunktform kann der Scheitelpunkt $S(d|e)$ abgelesen werden. Umgekehrt kann die Gleichung mit Hilfe des Scheitelpunktes angegeben werden. Warum? Man kann sich jegliche Verschiebungen auch ausschließlich an dem Scheitelpunkt klarmachen.

    In dem obersten Graphen ist der Scheitelpunkt $S(1|0)$, das bedeutet, es liegt keine Verschiebung entlang der y-Achse vor, allerdings eine um eine Längeneinheit entlang der x-Achse nach rechts. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet $y=(x-1)^2$.

    In dem mittleren Graphen ist der Scheitelpunkt $S(-2|0)$, das bedeutet, es liegt keine Verschiebung entlang der y-Achse vor, allerdings eine um zwei Längeneinheiten entlang der x-Achse nach links. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet: $y=(x-(-2))^2=(x+2)^2$.

    In dem unteren Graphen ist der Scheitelpunkt $S(-1|-2)$. Hier liegt

    • eine Verschiebung entlang der y-Achse um zwei Längeneinheiten nach unten sowie
    • entlang der x-Achse um eine Längeneinheit nach links vor.
    Die zugehörige Funktionsgleichung lautet $y=(x-(-1))^2-2=(x+1)^2-2$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
Im Vollzugang erhältst du:

10.841

Lernvideos

44.342

Übungen

38.963

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

In allen Fächern und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden