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Quadratische Funktionen y=x²+1 – Wertetabelle

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Martin Wabnik
Quadratische Funktionen y=x²+1 – Wertetabelle
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Funktionen y=x²+1 – Wertetabelle

Herzlich Willkommen zum Video „ Quadratische Funktionen y = x² + 1 Teil 1 “. Was wird dir in diesem Video begegnen? Im Lehrfilm wird dir die Funktionsgleichung y = x² + 1 gegeben. Zu dieser quadratischen Funktion erstellen wir eine Wertetabelle, damit wir ein paar Punkte des dazugehörigen Funktionsgraphen bekommen. Im zweiten Teil werden die Koordinaten in ein Koordinatensystem übertragen. Du kannst auch die Gelegenheit nutzen und das Video anhalten, damit du die Wertetabelle selbständig ausfüllen kannst. Nur so kannst du überprüfen, ob du in der Lage bist Wertetabellen zu quadratischen Funktionen zu erstellen. Viel Spaß!

Transkript Quadratische Funktionen y=x²+1 – Wertetabelle

Hallo! Wenn du den Film über die Quadratfunktion gesehen hast und über die Normalparabel, dann wirst du festgestellt haben, dass das alles sehr einfach ist. Es ist so einfach, dass es fast schon langweilig ist, und damit du ein bisschen mehr Spaß an der Mathematik haben kannst, möchte ich jetzt mal eine andere Funktion zeigen. Ich möchte einfach die Funktionsgleichung der Quadratfunktion verändern. Die Funktionsgleichung der Quadratfunktion ist ja y=x2, und die soll jetzt mal ein ganz kleines bisschen verändert werden, und zwar zu y=x2+1. Da können wir wieder ganz langsam vorgehen und auch ganz elementar. Es ist hier wichtig, dass du das auch einmal wirklich durchrechnest und dir das überlegst, was passiert hier. Es kann sein, dass du es so siehst, aber es ist immer ganz gut, das wirklich einmal durchzurechnen, damit du hinterher ein gutes Gefühl für diese Funktion bekommst. Ich mache hier eine Wertetabelle, um gleich die Funktion zeichnen zu können. Und zwar haben wir x und y, ich möchte was für x einsetzen und dann das y ausrechnen. Wenn ich hier für x z. B. 0 einsetze, dann passiert Folgendes: Ich rechne 0×0, x2 bedeutet ja x×x, also rechne ich, wenn ich für x 0 einsetze, 0×0+1. Dann ist also der y-Wert=1. So, und dann kann ich z. B. für x 1 einsetzen. Du siehst, es geht nicht viel über die Grundschule hinaus, außer das Multiplizieren negativer Zahlen, das hast du in der Grundschule wahrscheinlich nicht gemacht. Aber ansonsten ist das hier wirklich sehr elementar, du brauchst keine weiteren Voraussetzungen und kannst einfach mal diese Funktionen ganz unvoreingenommen auf dich wirken lassen. Wir haben - wenn wir für x 1 einsetzen, rechnen wir hier 1×1, und dann noch +1. 1×1 ist 1, +1 ist 2, also ist der y-Wert=2. Wenn wir für x -1 einsetzen, können wir berücksichtigen, minus × minus ist plus, also -1×(-1)=+1 und dann kommt noch +1, und das ist dann auch 2, genau so hier, wenn wir für x 1 einsetzen. Ich sage das auch in so einer komischen Betonung, um das noch mal zu zeigen, das noch mal zu unterstützen: Es ist wirklich nicht komplizierter. Manche Schüler haben Angst vor quadratischen Funktionen; wie du siehst hier: Es passiert fast überhaupt nichts. Wir setzen für x z. B. 2 ein und rechnen 22, das bedeutet 2×2, das ist 4, +1 ist 5. -2 können wir auch einsetzen, -2×(-2) ist +4, dann rechnen wir noch +1 und das ist 5. Ebenso haben wir 3, die können wir einsetzen. x2 wird dann zu 32, das ist 9, +1 ist 10. Wenn wir für x -3 einsetzen, rechnen wir -3×(-3), das ist +9, +1 ist 10 (10 wollte ich hinschreiben, 10 ist auch richtig; das ist so einfach, dass man sich schon hier vertut). Das ist die Wertetabelle, die möchte ich in ein Koordinatensystem übertragen, das mache ich im zweiten Teil. Bis dahin viel Spaß, tschüss!

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. @Khalfine:
    Du hast recht. Wir haben das korrigiert. Vielen Dank für deinen Kommentar.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 6 Jahren
  2. ist bei den Übungen ( Übung nr. 2 ) nicht ein Fehler in der Wertetabelle ( bei x=3; y=9) ?

    Von Khalfine, vor fast 6 Jahren
  3. Total liebe und motivierende Art es zu erklären! So macht Mathe endlich wieder Spass UND ist sogar verständlich! :D

    Von Linda 6, vor mehr als 6 Jahren

Quadratische Funktionen y=x²+1 – Wertetabelle Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen y=x²+1 – Wertetabelle kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Aussagen zur Funktion y = x$^2$ + 1 sinnvoll.

    Tipps

    Die x-Werte werden in die Funktion eingesetzt, um den dazugehörigen y-Wert zu berechnen.

    Für x = 3 ergibt die Funktion y = x$^2$ + 1 den Wert y = 3$^2$ +1 = 9 +1 = 10.

    Lösung

    Wie auch eine lineare Funktion kann die quadratische Funktion y = x$^2$ auf der y-Achse verschoben werden. Wenn du die Funktion y = x$^2$ um 1 nach oben verschieben möchtest, musst du die Parameter anpassen. Dazu addierst du einfach 1. Es ergibt sich y = x$^2$ + 1.

    Das gucken wir uns anhand von x = 2 einmal genauer an: y = 2$^2$ +1 = 2 $\cdot$ 2 = 4 + 1 = 5.

    Man kann erkennen, dass in der Wertetabelle die jeweiligen y-Werte um 1 größer sind als bei der Normalparabel.

  • Ergänze die Wertetabelle zur Funktion y = x$^2$ + 1.

    Tipps

    Setze einen x-Wert in die Funktion ein, um den dazugehörigen y-Wert zu erhalten.

    Für x = 4 ergibt sich y = 4$^2$ + 1 = 4 $\cdot$ 4 + 1 = 16 + 1 = 17.

    Lösung

    Wir wollen die Wertetabelle für y = x$^2$ + 1 vervollständigen.

    Wenn die x-Werte festgelegt sind, können die einzelnen y-Werte berechnet werden. Dafür wird ein x-Wert in die Funktion eingesetzt. Beispielsweise für x = - 2 ergibt sich folgender y-Wert:

    y = $($- 2$)$$^2$ + 1 = 4 + 1 = 5.

    Dabei haben wir ausgenutzt, dass „Minus mal Minus" Plus ergibt. So lässt sich die Wertetabelle vervollständigen.

  • Ordne anhand der Funktion y = x$^2$ + 1 den x-Werten die richtigen y-Werte zu.

    Tipps

    Setze einen x-Wert in die Funktion ein, um den y-Wert zu erhalten.

    Achte darauf, dass das Produkt zweier negativer Zahlen positiv ist.

    Einen Bruch quadriert man, indem man den Bruch mit sich selbst multipliziert, also Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnet.

    Erinnere dich an die Addition von Brüchen: $\frac 1 3 + 1 = \frac 1 3 + \frac 3 3 = \frac 4 3$

    Lösung

    Du setzt nacheinander alle x-Werte in die Funktion y = x$^2$ + 1 ein und erhältst jeweils den zugehörigen y-Wert.

    Beispielsweise die Zahl x = - 5 ergibt den Funktionswert:

    y = $($-7$)^2$ + 1 = $($- 7$)$ $\cdot$ $($- 7$)$ + 1 = 49 + 1 = 50.

    Setzen wir den Bruch $\frac 1 2$ für x ein, so erhalten wir für y:

    y = $\frac 1 2 \cdot \frac 1 2$ + 1 = $\frac 1 4$ + 1 = $\frac 1 4$ + $\frac 4 4$ = $\frac 5 4$ = 1,25.

    Auf die gleiche Weise berechnest du die weiteren Werte, welche folgende Wertetabelle ergeben:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & \frac 1 2 & -7 & 9 & 10 & -16 & -\frac 5 2 \\ \hline y & 1,25 & 50 & 82 & 101 & 257 & 7,25 \end{array}$

  • Prüfe, zu welcher Funktion die gegebenen Punkte gehören.

    Tipps

    Wie überprüft man, ob ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt?

    Setze einen x-Wert in die Funktion ein und du erhältst einen y-Wert. Stimmt dieser mit dem y-Wert des Punktes überein?

    Lösung

    Um zu prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man den x-Wert des Punktes in die Funktion ein und schaut, ob der berechnete y-Wert dem des Punktes entspricht.

    Das wollen wir uns anhand des Punktes $($-7$|$47$)$ klar machen. Setzen wir x = -7 in y = x$^2$ + 3 ein, so erhalten wir den Funktionswert y = 52. Das entspricht nicht dem y-Wert des Punktes. Somit kann y = x$^2$ + 3 nicht die gesuchte Funktion sein. Also bleibt die Funktion y = x$^2$ - 2 übrig. Schnell machen wir noch den Test:

    y = $($-7$)$$^2$ - 2 = $($- 7$)$ $\cdot$ $($- 7$)$ - 2 = 49 - 2 = 47.

    Der Punkt $($-7$|$47$)$ liegt also auf der Funktion y = x$^2$ - 2.

  • Bestimme die wahren Aussagen zur Funktion y = x$^2$ + 1.

    Tipps

    Erstelle eine Wertetabelle für y = x$^2$ + 1 und überprüfe die Aussagen erneut.

    $($- 1$)$ $\cdot$ $($- 1$)$ = 1

    Lösung

    Die quadratischen Funktionen y$_1$ = x$^2$ und y$_2$ = x$^2$ + 1 ähneln sich sehr, was du gut erkennen kannst, wenn du die Wertetabelle folgendermaßen aufschreibst:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3 \\ \hline y & 0 + 1 & 1 + 1 & 1+ 1 & 4 + 1 & 4+ 1 & 9 + 1 & 9 + 1 \end{array}$

    Dabei wird jedem x$^2$ noch 1 hinzuaddiert.

    Beispielsweise wird der Funktionswert zu x = - 2 durch y = $($- 2$)^2$ + 1 = $($- 2$)$ $\cdot$ $($- 2$)$ + 1 = 4 + 1 = 5 berechnet. Wenn du zwei negative Zahlen multiplizierst bzw. eine negative Zahl quadrierst, ist das Ergebnis immer positiv.

    Weil das der Fall ist, gibt es stets zwei x-Werte, die auf dieselbe Zahl abgebildet werden. Allerdings gilt dies für x = 0 nicht, da diese Stelle direkt auf der Symmetrieachse liegt.

  • Untersuche, wann 40 Blattläuse das Blatt bewohnen.

    Tipps

    Erstelle eine Wertetabelle mit ausreichend hohen x-Werten.

    Überprüfe, welcher x-Wert den passenden y-Wert erzeugt.

    Gib den positiven x-Wert an.

    Lösung

    Wir haben einen y-Wert gegeben und wollen den dazugehörigen x-Wert ermitteln. Eine Wertetabelle kann dir dabei helfen. Du erweiterst dazu die Menge der x-Werte, bis du den gewünschten y-Wert erhältst. In unserem Fall wollen wir wissen, wann 40 Blattläuse das Blatt bevölkern.

    40 ist also unser y-Wert und wir erweitern unsere Tabelle so lange, bis eine in y = x$^2$ + 4 eingesetzte Zahl 40 ergibt.

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & 4 & 5 & 8 & 13 & 20 & 29 & 40 \end{array}$

    Das ist offenbar bei x = 6 der Fall. Nach sechs Tagen also beherbergt das Blatt 40 Blattläuse.

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