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Quadratische Funktionen y=x²+1 – Graph

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Quadratische Funktionen y=x²+1 – Graph
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Funktionen y=x²+1 – Graph

Herzlich Willkommen zum zweiten Teil des Videos „ Quadratische Funktionen y = x² + 1 “. Im ersten Teil haben wir bereits mit dir zusammen die Wertetabelle zur quadratischen Funktion f ( x ) = x² +1 erstellt. Nun wollen wir die Gelegenheit nutzen und die errechneten Punkte in das Koordinatensystem übertragen. Du erhältst eine Parabel. Was fällt dir an dem entstandenen Graphen auf? Kennst du bereits einen Funktionsgraphen, welcher ähnlich aussieht? Im Film werden wir dir einen bereits bekannten Funktionsgraphen zeigen, welcher dem neuen Funktionsgraphen ähnlich aussieht. Lass dich überraschen!

Transkript Quadratische Funktionen y=x²+1 – Graph

Hallo hier ist der zweite Teil unserer lustigen kleinen Funktionen mit der Funktionsgleichung y=x²+1. Die möchte ich in ein Koordinatensystem eintragen und mache dazu zunächst einmal eine Skizze. Ich habe festgestellt, dass ich keine y-Werte habe, die kleiner als 0 sind deshalb kann ich mir den Teil hier unten sparen. Hier ist x=1, hier ist x=-1, 2 und 3. Ich habe ja schon festgestellt mehr brauche ich nicht. Hier auch noch -2 und -3. Hier habe ich 1, 2, 3 und so weiter, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 das ist hier ungefähr. Das ist auch schnell gemacht, ich trage die 5 noch ein damit ich mich ein bisschen zurechtfinde. So und dann kann ich also diese Werte hier übertragen. Da hier jetzt die Pappe liegt werde ich bei den Negativen anfangen beziehungsweise ich fange bei 0 an. Wenn ich für x 0 einsetze, dann muss ich auf der y-Achse einen Schritt nach oben gehen und komme zu einen Punkt des Graphen dieser Funktion. Wenn ich für x -1 einsetze dann ist hier der Funktionswert +2, wenn ich für x -2 einsetze ist der Funktionswert +5, wenn ich für x -3 einsetze ist der Funktionswert +10 das ist hier ungefähr. Und auf der anderen Seite ja wirst du schon festgestellt haben, das ist also symmetrisch zur y-Achse, ich will das jetzt gar nicht genau definieren, was Symmetrie bedeutet, wahrscheinlich kannst du es dir denken. Das soll im Moment nicht das Thema sein.Symmetrie wie auch denken, denn hier brauchst du fast überhaupt nichts zu denken, sondern nur ein bisschen hier was einzuzeichnen. Das ist ein bisschen krumm geworden, macht aber nichts. So, ach das mache ich nochmal das ist ja Mist so. So. Das ist also die, der Funktionsgraph dieser Funktion mit der Funktionsgleichung y=x²+1. Das halte ich nochmal hoch. Jetzt möchte ich das aber mal in etwas schöner zeigen und rein zufällig habe ich dazu mal eine Parabel vorbereitet. Jetzt habe ich es schon verraten, es wird also eine Parabel sein, die hier entsteht. Ja, das wirst du wiedererkennen, das ist das was du gerade auf der pinkfarbenen Pappe gesehen hast. So ein bisschen putzen damit es schöner aussieht und glatt liegt. Und diesen Graphen hier, der jetzt entstanden ist den nennt man verschobene Normalparabel. Warum nennt man das so? Weil das aussieht wie die Normalparabel, die also nach eine Einheit nach oben verschoben wurde und das möchte ich jetzt nochmal zeigen, wenn du den Film über die Normalparabel gesehen hast, also über die Funktion mit der Funktionsgleichung y, ja so, y=x², ja es liegt nicht ganz so schön aber naja ganz auf den Millimeter kommt es jetzt nicht an. Wenn du also diesen Film gesehen hast dann wirst du dich an diese Parabel hier erinnern. Das war die, die durch den Nullpunkt geht und das ist die Normalparabel. Und diese andere Funktion, die du jetzt hier siehst, die sieht fast genauso aus, nur ist sie quasi um einen Schritt nach oben, um eine Einheit nach oben verschoben worden. Ja, lass dich nicht veräppeln, hier ist der Abstand 1 und wenn man hier diesen Abstand jeweils sieht, den muss man hier parallel zur y-Achse messen. Dann ist dieser Abstand auch überall 1 obwohl es nicht so aussieht aber wenn man hier nach oben geht ist jeweils der Abstand dieser beiden Punkte, die hier entlang der y-Achse übereinander liegen, der Abstand ist jeweils auch 1. Ja und damit haben wir also hier eine verschobene Normalparabel. Viel Spaß damit, bis bald, Tschüss.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Sehr hilfreich - vor allem total anschaulich mit den Folien!!! :)

    Von Schoki 1, vor mehr als 4 Jahren
  2. Jetzt verstehe ich es :) Wenn Mathe nur immer so logisch erklärt würde!

    Von Uwe 6, vor mehr als 5 Jahren
  3. Super Video :)

    Von Bunluan2, vor etwa 6 Jahren

Quadratische Funktionen y=x²+1 – Graph Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen y=x²+1 – Graph kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Sätze zur Funktion y = x$^2$ + 1.

    Tipps

    Erstelle dir eine Wertetabelle, um die Unterschiede zu y = x$^2$ zu erkennen.

    Der x-Wert wird in die Funktion eingesetzt, um den zugehörigen y-Wert zu erhalten.

    Lösung

    Wir haben bereits die Funktion y = x$^2$ kennengelernt und wissen, wie eine Normalparabel aussieht.

    Bei y = x$^2$ + 1 handelt es sich um eine verschobene Normalparabel. Das bedeutet, dass die Parabel die gleiche Form wie bei y = x$^2$ besitzt, aber nicht die gleichen y-Werte. Diese sind nämlich bei y = x$^2$ + 1 um eine Einheit größer.

    So erhältst du für x = 0 nicht $($0$)$$^2$ = 0 als Funktionswert, sondern $($0$)$$^2$ + 1 = 1. Ebenso verhält es sich mit den anderen y-Werten. In der Folge besteht zwischen den jeweiligen y-Werten der Funktionen y = x$^2$ und y = x$^2$ + 1 der Abstand 1.

  • Bestimme den Funktionsgraphen zu y = x$^2$ + 1.

    Tipps

    Erstelle eine Wertetabelle.

    Setze nacheinander geeignete Zahlen in die Funktion y = x$^2$ + 1 ein.

    Für x = - 1 ergibt sich $($- 1$)$$^2$ + 1 = 1 + 1 = 2.

    Lösung

    Um einer Funktion den dazugehörigen Graphen zuzuordnen, ist es stets hilfreich, eine Wertetabelle anzufertigen. Für y = x$^2$ + 1 ergibt sich die folgende:

    $\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 1 & -1 & 2 & -2\\ \hline y & 1 & 2 & 2 & 5 & 5\\ \end{array}$

    Den Funktionswert zu x = - 1 erhältst du, indem $($- 1$)$$^2$ + 1 = 1 + 1 = 2 gerechnet wird. Dabei wurde ausgenutzt, dass das Produkt zweier negativer Zahlen positiv ist.

    Wenn du nun einige Funktionswerte zur Verfügung hast, können diese in das Koordinatensystem eingetragen werden. Letztlich werden sie noch miteinander verbunden, sodass der Graph entsteht.

  • Entscheide, welche Punkte im Koordinatensystem nicht zur Funktion y = x$^2$ - 2 gehören.

    Tipps

    Erstelle eine Wertetabelle und vergleiche die Punkte mit den im Koordinatensystem eingetragenen Punkten.

    Lösung

    Den Funktionsgraphen von y = x$^2$ - 2 zeichnest du nach demselben Schema wie beispielsweise y = x$^2$ + 1. Du erstellst also zunächst eine Wertetabelle. Die könnte folgendermaßen aussehen:

    $\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3\\ \hline y & -2 & -1 & -1 & 2 & 2 & 7 & 7\\ \end{array}$

    Damit liegen die Punkte $($1$|$1$)$ und $($-2$|$3$)$ nicht auf dem Funktionsgraphen. Richtigerweise hätten die Punkte $($- 1$|$-1$)$ und $($-2$|$2$)$ geheißen.

  • Untersuche, welche Funktion zu welchem Funktionsgraphen gehört.

    Tipps

    Erstelle eine Wertetabelle zur jeweiligen Funktion

    Untersuche, welchem y-Wert der jeweilige x-Wert zugeordnet ist.

    Vergleiche die sich ergebenden Koordinaten mit den Punkten auf dem Funktionsgraphen.

    Lösung

    Die Werte, welche sich in einer Wertetabelle befinden, die du anhand einer Funktion erstellst, müssen auch auf dem entsprechenden Funktionsgraphen liegen. Wenn man beispielsweise die folgende Wertetabelle für die Funktion y = x$^2$ + 1 erstellt, müssen die eingetragenen Werte auch im Koordinatensystem wiederzufinden sein.

    $\begin{array}{c|c|c|c} x & 0 & 1 & -1\\ \hline y & 1 & 2 & 2\\ \end{array}$

    Das ist offenbar nur bei dem nebenstehenden Graphen der Fall.

    Die weiteren Graphen kannst du ebenfalls mithilfe einer Wertetabelle den Funktionen zuordnen.

  • Schildere, wie sich der Funktionsgraph von y = x$^2$ + 1 erstellen lässt.

    Tipps

    Wähle sinnvolle x-Werte, die du in die Funktionsgleichung einsetzt, bevor du die Wertetabelle erstellst.

    Bringe die x-Werte in eine für dich sinnvolle Reihenfolge, bevor du die y-Werte ermittelst.

    Lösung

    Um eine brauchbare Skizze von einer Funktion zeichnen zu können, ist es sinnvoll, sich ein paar Gedanken zu machen. Eine Wertetabelle ist nie verkehrt, aber selbst diese sollte gut überlegt gestaltet werden.

    Zuerst sollte man sich überlegen, welche x-Werte in die Tabelle eingetragen werden sollen. Da ist ja grundsätzlich alles möglich. Aber gleich $\sqrt{2}$ oder $\pi$ zu wählen, ist nicht immer sinnvoll. Wir entscheiden uns also für die ganzen Zahlen, also die Menge $\{$0, 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, ...$\}$.

    Daraus ergibt sich die Funktionsgleichung:

    $\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 1 & - 1 & 2 & -2 & 3 &-3\\ \hline y & 1 & 2 & 2 & 5 & 5 & 10 & 10\\ \end{array}$

    Diese Koordinaten, bestehend aus einem x- und einem y-Wert, werden nun in das Koordinatensystem eingetragen. Die ersten Koordinaten wären also $($0$|$1$)$, $($1$|$2$)$ und $($- 1$|$2$)$.

    Nachdem dies für einige x-Werte geschehen ist, können diese Koordinaten miteinander verbunden werden. Es entsteht der Graph der Funktionsgleichung.

  • Bestimme die Funktionsgleichung für die verschobene Normalparabel.

    Tipps

    Fertige eine Wertetabelle an.

    Vergleiche die Werte mit den Werten der quadratischen Funktion y = x$^2$.

    Um welchen Wert unterscheiden sich die jeweiligen Werte?

    Lösung

    Um die Funktionsgleichung ermitteln zu können, wollen wir zunächst eine Wertetabelle erstellen. Da wir wissen, dass es sich um eine verschobene Normalparabel handelt, muss unsere Funktion von der Art y = x$^2$ + c sein.

    Wir stellen die Vermutung auf, dass die Funktionswerte, welche durch unsere gesuchte Funktion erzeugt werden, um 0,5 größer sind als die Funktionswerte der quadratischen Funktion y = x$^2$.

    $\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 1 & -1 & 2 & -23\\ \hline y = x^2 & 0 & 1 & 1 & 4 & 4\\ y = x^2 + 0,5 & 0,5 & 1,5 & 1,5 & 4,5 & 4,5\\ \end{array}$

    Wie wir nun sehen können, sind die Funktionswerte tatsächlich jeweils um 0,5 größer als die der quadratischen Funktion y = x$^2$. Somit lautet die Funktionsgleichung y = x$^2$ + 0,5.

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