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Quadratische Funktionen – y=a·x² mit a < 0

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Martin Wabnik
Quadratische Funktionen – y=a·x² mit a < 0
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Funktionen – y=a·x² mit a < 0

Hallo. In diesem Video werden ein paar Ergebnisse aus den letzten Filmen zusammengefasst. Wir haben Funktionsgleichungen des Typs y = ax² ( a < 0) betrachtet. Hierbei haben wir uns in den letzten Filmen die Funktionsgraphen zu den quadratischen Funktionen f ( x ) = -0.5x², f ( x ) = -2x² und f ( x ) = -1x² angeschaut. Was haben wir festgestellt? Wir haben erkannt, dass die Parabeln nach unten geöffnet sind und manchmal gestaucht oder gestreckt sind. Wir zeigen dir in diesem Video für welche Parameter, der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion, nach unten geöffnet und schmaler ist. Was passiert, wenn -1 < a < 0 ist? Wie sieht der Funktionsgraph aus?

Transkript Quadratische Funktionen – y=a·x² mit a < 0

Hallo. Ich möchte hier einmal ein paar Ergebnisse aus ein paar Filmen zusammenfassen. Wir haben Folgendes gemacht: Wir haben Funktionen betrachtet mit den Funktionsgleichungen y = ax2, also das x wird quadriert, das a nicht, und dabei war a < 0. Das war unsere Situation und dazu haben wir Funktionsgraphen gezeichnet, z. B. den Funktionsgraphen der Funktion mit der Gleichung y = -0,5×x2. Der sieht so aus. Dann haben wir noch einen anderen Funktionsgraphen gezeichnet, nämlich den hier. Der gehört zu der Funktion mit der Funktionsgleichung y = -2×x2. So jetzt kommt das Beste wieder, das Glattstreichen. Ohne das Glattstreichen würde es nur die Hälfte an Spaß machen. Egal. Dann hatten wir einen Funktionsgraphen der Funktion mit der Funktionsgleichung y = -1×x2 und der sieht so aus. Auch den kann man glatt streichen. So, schöner wird es nicht. Wir haben festgestellt, dass der Funktionsgraph mit der Funktionsgleichung y = -0,5×x2 breiter ist als die Normalparabel. Das ist diese Normalparabel, die jetzt nach unten geöffnet ist. Und wir haben auch festgestellt, dass der Funktionsgraph mit der Funktionsgleichung y = -2×x2 schmaler ist. Diese Ergebnisse möchte ich hier einmal zusammenfassen und das auch gleich verallgemeinern. Das mit dem Verallgemeinern ist jetzt ein bisschen schnell, das gebe ich zu, aber es ist auch kein weiterer Beweis erforderlich, um diese Ergebnisse nutzen zu können. Du wirst das feststellen, wenn du das ausrechnest, du könntest ja z. B. statt -0,5×x2 auch -0,1 nehmen oder noch kleinere Zahlen, also Zahlen die näher an 0 sind meine ich natürlich. Dann würde dieser Funktionsgraph immer breiter werden. Je weiter die Zahl zur 0 kommt, desto breiter wird der Funktionsgraph. Und du kannst auch andere Zahlen nehmen, die also kleiner als -1 sind, z. B. -2, -3, -4, die also immer kleiner werden, immer weiter nach links gehen. Kleiner werden bedeutet ja, immer weiter nach links gehen. Und dann würde dieser Funktionsgraph auch immer schmaler werden oder die Funktionsgraphen, die du dann erhältst, natürlich. Ich würde das so stehen lassen als eine Verallgemeinerung einer Rechentatsache. Da kann man sich darüber streiten, was der eigentliche Beweis dafür ist. Ich würde sagen, für die Schulmathematik reicht das auch so. Das möchte ich also hier einmal zusammenfassen: Wenn a < -1 ist, d.h. z. B. -1,1 oder -1,2 oder -15 oder -1128, dann folgt, dass der Funktionsgraph nach unten geöffnet ist. Das möchte ich mal so aufschreiben: ?; und er ist schmal, also schmaler als die Normalparabel. Falls a = -1 ist, dann ist der Funktionsgraph auch nach unten geöffnet und er ist eine Normalparabel, obwohl man da streiten kann, ist eine Normalparabel nicht nur die Parabel, die nach oben geöffnet ist, oder ist eine Normalparabel auch ein nach unten geöffneter Funktionsgraph, der ansonsten aber die gleiche Form hat, wie die Normalparabel. Ich möchte mich jetzt nicht darauf einlassen. Ich schreibe es jetzt so hin. Ich glaube, du weißt, was gemeint ist. Es könnte außerdem a zwischen 0 und -1 liegen, das schreibt man so auf: 0 > a > -1. Null ist größer als a und a ist größer als -1, auch das ist möglich. Wenn a > -1 ist, dann ist a nicht -2, dann ist a z. B. -0,5, denn -0,5 liegt rechts von -1, so ist es definiert, dann bedeutet es a > -1. Der Graph, der herauskommt, ist auch nach unten geöffnet und er ist breit. Das sind also die Ergebnisse, die wir hier zusammentragen können. Ich möchte dann noch zeigen, was passiert, wenn a > 0 ist. Bis dahin. Viel Spaß. Tschüss!  

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Quadratische Funktionen – y=a·x² mit a < 0 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen – y=a·x² mit a < 0 kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Sätze zu Funktionen mit der Funktionsgleichung $y = a \cdot x^2$ mit negativem Parameter $a$.

    Tipps

    Funktionen werden als schmal bezeichnet, wenn die $y$-Werte im Vergleich zu der nach unten geöffneten Normalparabel schneller kleiner werden.

    Ist der Parameter dagegen echt zwischen $-1$ und $0$, so werden die Funktionswerte langsamer kleiner als die $y$-Werte der Normalparabel. Was hat das für Auswirkungen für die Breite?

    Parabeln mit $a > 0$ sind nach oben geöffnet.

    Lösung

    Quadratische Funktionen der Form $y=a \cdot x^2$ können entweder einen positiven oder einen negativen Parameter besitzen. Ist der Parameter $a$ negativ, also kleiner als $0$, so ist der Funktionsgraph nach unten geöffnet.

    Die Funktion mit der Funktionsgleichung $y = - 1 \cdot x^2$ besitzt einen Funktionsgraphen, welcher als (nach unten geöffnete) Normalparabel bezeichnet wird. An ihm musst du dich orientieren, wenn du beurteilen möchtest, ob ein nach unten geöffneter Funktionsgraph breit oder schmal ist.

    • Funktionsgraphen werden schmal genannt, wenn für den Parameter der Funktionsgleichung $a < - 1$ gilt. So besitzt die Funktion mit der Funktionsgleichung $y = - 2 \cdot x^2$ einen schmalen Funktionsgraphen. Wenn ein nach unten geöffneter Funktionsgraph als schmal bezeichnet wird, so werden die $y$-Werte schneller kleiner als bei der Normalparabel.
    • Funktionsgraphen, deren Parameter dagegen bei $0 > a > - 1$ liegt, werden als breit bezeichnet. Die Funktion $y = - 0,5 \cdot x^2$ hat einen breiten Funktionsgraphen. Diese wird - wie alle breiten nach unten geöffneten Funktionsgraphen - langsamer kleiner als die nach unten geöffnete Normalparabel.
  • Beschreibe die Funktionsgraphen, welche eine Funktionsgleichung $y = a \cdot x^2$ mit negativem Parameter $a$ besitzen.

    Tipps

    Erstelle eine kleine Wertetabelle, um die Funktionsgleichungen zu bestimmen.

    Untersuche, mit welchem Parameter $a$ ein $x^2$-Wert multipliziert wurde, sodass sich der jeweilige Funktionswert ergibt. Setze dazu einen Punkt $(x~|~y)$ in die allgemeine Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2$ ein.

    Ein nach unten geöffneter Graph wird breit genannt, wenn seine Funktionswerte langsamer kleiner werden als die der nach unten geöffneten Normalparabel, und schmal, wenn die Funktionswerte schneller kleiner werden als die der Normalparabel.

    Lösung

    Auch Funktionen der Form $y = a \cdot x^2$ mit negativem Parameter $a$ lassen sich hinsichtlich ihrer Breite unterscheiden. Wir erinnern uns dazu kurz, dass ein Graph breit genannt wird, wenn $0 > a > - 1$ gilt, und schmal, wenn $a<-1$ gilt.

    • Dabei gibt es die Funktion $y=-1 \cdot x^2$, deren Funktionsgraph Normalparabel genannt wird. Er ist weder breit noch schmal und dient daher als Vergleichsgraph, wenn man die Breite beurteilen soll.
    • Der Graph der Funktion mit der Funktionsgleichung $y=-0,5 \cdot x^2$, der hier rot gezeichnet ist, ist breit. Das liegt daran, dass $a=-0,5$ die Bedingung $0 > a > - 1$ erfüllt.
    • Dagegen ist der violette Graph, welcher zur Funktion $y=-2 \cdot x^2$ gehört, schmal. Sein Parameter $a=-2$ erfüllt nämlich $a<-1$.
  • Ordne die Funktionsgraphen ihrer Breite zu.

    Tipps

    Die nach unten geöffnete Normalparabel gehört zu der Funktionsgleichung $y=-1 \cdot x^2$.

    Welche Ungleichung muss für nach unten geöffnete Parabeln für den Parameter a erfüllt sein, damit sie als schmal bezeichnet werden?

    Eine Parabel zur Funktionsgleichung $-1<a<0$ wird als breit bezeichnet.

    $y=0$ kannst du auch als $y=-0\cdot x^2$ schreiben.

    Lösung

    Funktionen der Form $y=a \cdot x^2$ mit negativem a besitzen nach unten geöffnete Funktionsgraphen. Je nach Wahl des Parameters a sind die Graphen entweder breit oder schmal. Für $a=-1$ liegt allerdings die Normalparabel vor, welche weder breit noch schmal ist.

    Unter den Gleichungen, welche zugeordnet werden sollen, fällt die Funktionsgleichung $y=0=-0 \cdot x^2$ heraus. Selbst mit dem Minuszeichen vor der 0 wird aus 0 kein negativer Parameter. Der Funktionsgraph ist weder schmal noch breit, sondern eine Gerade, die mit der x-Achse identisch ist.

    Bei den übrigen Funktionsgleichungen gilt:

    • Ist der Parameter $a < -1$, so ist der Graph schmal. Das gilt demnach für $y=- 1,25 \cdot x^2$, $y=-7 \cdot x^2$ und $y=-1,1 \cdot x^2$.
    • Liegt der Parameter bei $0 > a > - 1$, so ist der Graph breit. Dazu zählen also auch $y = -0,75 \cdot x^2$ und $y = -0,95 \cdot x^2$.
  • Bestimme die Funktionsgleichung der jeweiligen Funktionsgraphen.

    Tipps

    Ermittle einen Punkt, welcher mit Gewissheit auf dem Graphen liegt, also bestenfalls einen Punkt, der auf dem Koordinatengitter liegt.

    In diesem Koordinatensystem sind unter anderem die Punkte $(-1~|~-1)$ und $(2~|~-4)$ mit Gewissheit auf dem Graphen gelegen.

    Setze den Punkt in die Form $y = a \cdot x^2$ ein, ermittle den Parameter und stelle die Funktionsgleichung auf.

    Setzt du beispielsweise den Punkt $(2~|~-4)$ in die Funktionsgleichung $y = a \cdot x^2$, erhältst du $-4=a\cdot 2^2=4\cdot a$, also $a=-1$. Die Funktionsgleichung ist also $y=-x^2$.

    Lösung

    In dieser Aufgabe gilt es, den Funktionsgraphen eine Funktionsgleichung zuzuordnen. Dabei ist es empfehlenswert, dem folgenden Procedere zu folgen.

    1. Zuerst untersuchst du den Graphen auf Punkte, die gewiss auf diesem liegen. Das Koordinatengitter kann dir dabei helfen, da die Graphen meistens einen Punkt besitzen, der auf einem Kreuz des Koordinatengitters liegt.
    2. Hast du einen solchen Punkt ermittelt, kannst du die x- und die y-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen.
    3. Jetzt stellt sich nur noch die Frage, mit welchem Parameter a das x$^2$ multipliziert werden muss, damit der Funktionswert y herauskommt. Dazu löst du die Gleichung nach a auf.
    4. Nun, da du den Parameter a kennst, kannst du die Funktionsgleichung aufstellen.
    Dieses Vorgehen wollen wir uns kurz anhand des violetten Graphen vor Augen führen. Dieser besitzt den Punkt $(3|-4)$, wodurch wir die Gleichung $-4=a \cdot 3^2=9\cdot a$ aufstellen können. Nach dem Parameter aufgelöst, ergibt sich $a = - \frac{4}{9}$ und die Funktionsgleichung $y=- \frac{4}{9} \cdot x^2$.

  • Bestimme die richtigen Aussagen über Funktionen der Form $y = a \cdot x^2$ mit negativem Parameter $a$.

    Tipps

    Beachte auch, in welche Richtung Funktionsgraphen der Form $y=a\cdot x^2$ mit negativem a geöffnet sind.

    Eine Funktion $y=a\cdot x$ mit $a<-1$ wird als schmal bezeichnet.

    Untersuche die Anzahl der gemeinsamen Punkte exemplarisch anhand der Funktionen $y=-1 \cdot x^2$ und $y=-2 \cdot x^2$.

    Lösung

    Funktionen der Form $y=a \cdot x^2$ mit einem negativen Parameter $a$ besitzen nach unten geöffnete Funktionsgraphen, welche in Abhängigkeit vom Parameter a entweder breit oder schmal sind oder die Normalparabel ergeben. Dies sind die drei zu unterscheidenden Fälle für einen negativen Parameter $a$:

    • Es gilt $a = - 1$: Der Graph der Funktion $y=-1 \cdot x^2$ ist die (nach unten geöffnete) Normalparabel. Diese ist weder breit noch schmal.
    • Es gilt $a < - 1$: Als Beispiel nehmen wir die Funktion $y=-2 \cdot x^2$. Diese besitzt - wie alle anderen Funktionen, deren $a$ kleiner als $-1$ ist - einen schmalen, nach unten geöffneten Funktionsgraphen.
    • Es gilt $-1 < a < 0$: Wie beispielsweise $y=-0,5 \cdot x^2$ haben alle Funktionen dieser Art einen breiten, nach unten geöffneten Funktionsgraphen.
    Zwei Funktionen, deren Parameter verschieden sind, haben daher nur einen gemeinsamen Punkt. Dieser liegt bei $(0~|~0)$.

  • Ordne die Funktionsgraphen und Funktionsgleichungen ihrer Breite nach zu.

    Tipps

    Ermittle zunächst die Funktionsgleichungen der Graphen.

    Untersuche dafür einen Punkt, der gewiss auf dem Graphen liegt und setze ihn in die Form $y=a \cdot x^2$ ein. Berechne im Anschluss a und stelle die neue Funktionsgleichung auf.

    Setzen wir den Punkt $(2~|~-4)$ in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2$ ein, so erhalten wir $-4=a\cdot 2^2=4\cdot a$ also $a=-1$. Die Funktionsgleichung lautet $y=-x^2$.

    Eine Parabel zur Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2$ mit negativem a ist umso breiter, je größer der Parameter a ist.

    Lösung

    Es gilt, die Funktionsgleichungen und Funktionsgraphen in eine Reihenfolge zu bringen. Dabei soll mit dem breitesten Graphen begonnen werden. Da wir es uns möglichst leicht machen wollen, beschließen wir, zunächst die Funktionsgleichungen der Funktionsgraphen zu ermitteln.

    Dafür schauen wir uns zuerst den roten Funktionsgraphen an. Dieser besitzt den Punkt $(2|-1)$. Um die Funktionsgleichungen zu bestimmen, setzen wir diesen Punkt in die Form $-1 = a \cdot 2^2$ ein. Wir berechnen $a=-\frac{1}{4}$ und stellen die Funktionsgleichung $y=-\frac{1}{4} \cdot x^2$ auf.

    Genauso gehen wir bei den anderen Funktionsgraphen vor. Zuerst untersuchen wir, welcher Punkt mit Gewissheit auf der Parabel liegt und daraus erschließen wir uns die Funktionsgleichung.

    Für den grünen Graphen ergibt sich die Gleichung $y=-\frac{3}{4} \cdot x^2$. Der dunkelblaue Graph besitzt die Gleichung $y=-2 \cdot x^2$.

    Nun, da wir alle Funktionsgleichungen beisammen haben, können wir die Gleichungen sortieren. Eine Parabel zur Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2$ mit negativem a ist umso breiter, je größer der Parameter a ist. Die Reihenfolge lautet:

    1. $y = - \frac{1}{4} \cdot x^2$
    2. $y = - \frac{1}{3} \cdot x^2$
    3. $y = - \frac{3}{4} \cdot x^2$
    4. $y = - \frac{5}{4} \cdot x^2$
    5. $y = - 2 \cdot x^2$
    6. $y = - 3 \cdot x^2$
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