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Quadratische Funktionen – y=a·x² mit a > 0

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Martin Wabnik
Quadratische Funktionen – y=a·x² mit a > 0
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Funktionen – y=a·x² mit a > 0

Hallo. In diesem Video werden ein paar Ergebnisse aus den letzten Filmen zusammengefasst. Wir haben Funktionsgleichungen des Typs y = ax² ( a > 0) betrachtet. Hierbei haben wir uns in den letzten Filmen die Funktionsgraphen zu den quadratischen Funktionen f ( x ) = 0.5x², f ( x ) = 2x² und f ( x ) = x² angeschaut. Was haben wir festgestellt? Wir haben erkannt, dass die Parabeln nach oben geöffnet sind und manchmal gestaucht oder gestreckt sind. Wir zeigen dir in diesem Video für welche Parameter, der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion, nach unten oben geöffnet und schmaler ist. Was passiert, wenn a = 1, oder 0 < a < 1 ist? Wie sehen die Funktionsgraphen aus?

Transkript Quadratische Funktionen – y=a·x² mit a > 0

Hallo, wir haben schon zusammengefasst, was passiert, wenn wir eine Funktion haben mit der Funktionsgleichung y = a × x2 und das a kleiner als 0 ist, wir erhalten jeweils eine Parabel, die also nach unten geöffnet ist, wenn a = -1 ist, ist es die Normalparabel, wenn a < -1 ist, also -2, -3, -4, das bedeutet ja kleiner als 1, dann ist, zwar ist -2 betragsmäßig größer als -1, aber wir reden nicht über die Beträge, sondern über die tatsächlichen Zahlen. Weil -2 links von -1 liegt, deshalb ist -2 kleiner als -1, dann ist also, wenn a < -1, ist die Parabel hier nach unten geöffnet und schmal. Wenn a zwischen 0 und -1 liegt, also 0 > a und -1 < a, dann ist die Parabel auch nach unten geöffnet und sie ist breit. Das ist hier ungefähr die Situation, die wir da auch sehen können. Und die brauchen wir jetzt nicht mehr, denn ich möchte zeigen, was passiert, wenn a > 0 ist. Wir sind immer noch bei der Funktion y=ax2 und a soll jetzt größer als 0 sein. Und da möcht ich auch noch mal die Ergebnisse zusammenfassen, damit du das hier alles mal auf einen Blick hast. Also, es könnte passieren, dass 0 < a und 1 > a, das heißt, a liegt zwischen 0 und 1. Daraus folgt, dass wir eine Parabel bekommen, die nach oben geöffnet ist und sie ist breit oder breiter als die Normalparabel, im Allgemeinen schreibt man "breit". Ich erspar mir jetzt den Witz mit dem breit sein, wenn man zu viel getrunken hat, das gehört nicht hier hin, ja, a könnte auch gleich 1 sein, dann ist die Parabel, der Funktionsgraph nach oben geöffnet und es ist die Normalparabel. So, das ist ein bisschen klein, da krieg' ich's jetzt aber ganz hin. Da steht "Normalparabel". Was passiert, wenn a > 1 ist? a könnte also größer als 1 sein. Es ist auch dieser Graph nach oben geöffnet und er ist schmal, schmaler als die Normalparabel. Ich notier' das einfach hier mit "schmal". Und dann haben wir noch die Situation, die möcht' ich ein bisschen mal abtragen hier, was passiert, wenn a = 0 ist? Ja, was kann das wohl sein? Haben wir noch nich' ausprobiert, aber wenn wir hier in eine dieser beiden Gleichungen, die ja gleich sind, da können wir also für a 0 einsetzen, dann wird sowieso alles 0, das heißt, die Funktion hat quasi die Funktionsgleichung y = 0. Dann haben wir keine Parabel mehr und sei das auch wohl in anderen Zusammenhängen vernünftig, davon auszugehen, zum Beispiel bei Ableitungen und so was, sind das durchaus vernünftige Funktionen. In unserem Zusammenhang hier brauchen wir das nicht und deshalb ist es hier, darf ich dann also hinschreiben, in unserem Zusammenhang ist das Quatsch. Da ist der Quatsch, in anderen Zusammenhängen, wie gesagt, ist das durchaus vernünftig mit solchen Funktionen umzugehen, hier nicht und so darf ich auch einmal "Quatsch" schreiben. So, das sind die Ergebnisse für, allgemein die Funktions, also für Graphen der Funktion mit der Funktionsgleichung y=ax2, das sind alle Fälle. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss.      

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. sehr gut

    Von Tomphilip H, vor mehr als 5 Jahren
  2. Sehr gut

    Von Tomphilip H, vor mehr als 5 Jahren
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    Von Link170299, vor mehr als 8 Jahren

Quadratische Funktionen – y=a·x² mit a > 0 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen – y=a·x² mit a > 0 kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Sätze über die Funktionsgleichung $y = a \cdot x^2$.

    Tipps

    Es ist hilfreich, dir für die verschiedenen Intervalle, in denen der Parameter $a$ liegen kann, ein Beispiel zu merken.

    Für den schwarzen Graphen liegt $a=1$ vor. Der violette Graph besitzt den Parameter $a=\frac{1}{4}$, der orange Graph den Parameter $a=3$.

    Lösung

    Funktionsgraphen der Form $y=a \cdot x^2$ sind entweder nach oben oder nach unten geöffnet. Ebenso wie die Breite der Parabel hängt dies von dem Parameter $a$ ab. Dieses $a$ kann verschiedene Werte annehmen, die man in sechs Fälle unterteilen kann.

    Für negative Parameter, bei denen also $a < 0$ gilt, gibt es folgende drei Fälle:

    • $- 1 < a < 0$: In diesem Fall ist der Graph breit und nach unten geöffnet.
    • $a = - 1$: Hier liegt die nach unten geöffnete Normalparabel vor, die weder breit noch schmal ist.
    • $a < - 1$: Graphen, für welche dies gilt, sind schmal und nach unten geöffnet.
    Ist der Parameter dagegen positiv, also $a > 0$, so gibt es folgende drei Fälle:

    • $0 < a < 1$: Hier ist der Graph breit, aber nach oben geöffnet.
    • $a = 1$: Für diesen Parameter liegt die nach oben geöffnete Normalparabel vor.
    • $a > 1$: Graphen, für die das gilt, sind schmal und nach oben geöffnet.
    Eine letzte Möglichkeit bleibt noch übrig. Da für $a=0$ aber keine Parabel vorliegt, da $y=0 \cdot x^2 = 0$ ist, spielt das für uns erst einmal keine Rolle.

  • Beschreibe, wie sich die Wahl des Parameters auf das Aussehen des Graphen auswirkt.

    Tipps

    Stelle dir einen Zahlenstrahl vor, auf welchem der Parameter a liegen kann.

    Wie sieht die Funktionsvorschrift der Normalparabel aus?

    Ein negativer Faktor vor dem $x^2$ hat zur Folge, dass die Parabel nach unten geöffnet ist.

    Lösung

    Um die Teilsätze einander sinnvoll zuzuordnen, ist die nachfolgende Erklärung hilfreich. Zudem bietet das Koordinatensystem ein Beispiel für jede dieser Gruppen.

    Denn für negative Parameter, bei denen also $a < 0$ gilt, gibt es folgende drei Gruppen:

    • 0 > a > - 1: In diesem Fall ist der Graph breit und nach unten geöffnet.
    • a = - 1: Hier liegt die nach unten geöffnete Normalparabel vor, die weder breit noch schmal ist.
    • a < - 1: Graphen, für welche dies gilt, sind schmal und nach unten geöffnet.
    Ist der Parameter dagegen positiv, so gilt $a > 0$. Es gibt folgende drei Gruppen:

    • 0 < a < 1: Hier ist der Graph breit, aber nach oben geöffnet.
    • a = 1: Für diesen Parameter liegt die nach oben geöffnete Normalparabel vor.
    • a > 1: Graphen, für die das gilt, sind schmal und nach oben geöffnet.
  • Bestimme die Funktionsgleichung der Funktionsgraphen.

    Tipps

    Du kannst die Breite eines Funktionsgraphen bestimmen, indem du ihn mit der nach oben oder nach unten geöffneten Normalparabel vergleichst.

    Du kannst zur Probe einen Punkt, der auf einem Graphen liegt, in die entsprechende Funktion einsetzen.

    Lösung

    In dem hier zu sehenden Koordinatensystem gibt es die vier Graphen aus der Aufgaben sowie die beiden dunkelgrauen Normalparabeln. Anhand dieser lässt sich auch über die Breite eines Graphen entscheiden.

    Der violette Graph ist eine schmale, nach oben geöffnete Parabel, zu der also ein Parameter $a>1$ passt. Tatsächlich ist die Funktionsgleichung auch $y=3 \cdot x^2$.

    Der grüne Funktionsgraph dagegen ist breit sowie nach oben geöffnet und besitzt daher einen Parameter $0 < a < 1$. Er wird durch die Funktionsgleichung $y=\frac{3}{4} \cdot x^2$ erzeugt.

    Die orange Parabel ist breit und nach unten geöffnet und besitzt demnach einen Parameter $-1<a<0$ und wird durch die Funktionsgleichung $y=- \frac{1}{4} \cdot x^2$ dargestellt.

    Der blaue Graph ist letztlich schmal und nach unten offen. Somit liegt sein Parameter bei $a<-1$. Die Funktionsgleichung lautet $y=-2 \cdot x^2$.

  • Ermittle die Funktionsgleichung des Graphen, der hinsichtlich der Breite genau mittig zwischen den beiden abgebildeten Graphen liegt.

    Tipps

    So wie sich eine Mitte in der Höhe finden lässt, kann auch eine Mitte in der Breite ausgemacht werden.

    Hinsichtlich der Breite liegt beispielsweise die Funktion $y=2 \cdot x^2$ zwischen den Funktionen $y=x^2$ und $y=3 \cdot x^2$.

    Lösung

    Zwischen dem orangen und dem grünen Funktionsgraphen liegt genau eine Parabel, die hinsichtlich der Breite genau in der Mitte liegt. Ihre Funktionsgleichung wollen wir ermitteln. Ein sicherer Weg, um dies zu tun, ist, zunächst die Funktionsgleichungen der beiden anderen Parabeln zu ermitteln und dann anhand der vorliegenden Parameter den gesuchten, mittig gelegenen Parameter zu finden.

    Die Funktionsgleichung des orangen Graphen lautet $y=-\frac{1}{4} \cdot x^2$. Das wissen wir, weil wir zunächst den Punkt $(2|-1)$ ausgemacht haben. Eine Funktionsgleichung muss daher $x=2$ den Funktionswert $y=-1$ zuordnen. Es muss also $-1=a \cdot 2^2$ gelten. Wenn wir das nun nach $a$ auflösen, ergibt sich $a=- \frac{1}{4}$.

    Ebenso lässt sich für die grüne Parabel verfahren, deren Funktionsgleichung $y=-\frac{3}{4} \cdot x^2$ lautet.

    Wir haben nun also zwei Funktionsgleichungen mit den Parametern $a=-\frac{1}{4}$ und $a=-\frac{3}{4}$. Der gesuchte Parameter ist also $a=-\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$. Der blaue Funktionsgraph gehört zur Funktionsgleichung $y=-\frac{1}{2} \cdot x^2$.

  • Gib an, welche Aussagen über den Graphen der Funktionsgleichung $y=a \cdot x^2$ wahr sind.

    Tipps

    Der Funktionsgraph einer Funktion kann entweder nach oben oder unten geöffnet sein. Gleichzeitig ist er auch entweder breit, schmal oder die Normalparabel.

    Die Funktionsgleichung $y=2 \cdot x^2$ erzeugt einen schmalen, nach oben geöffneten Funktionsgraphen.

    Lösung

    Quadratische Funktionen, welche die Form $y=a \cdot x^2$ besitzen, unterscheiden sich, je nachdem, wie der Parameter $a$ gewählt ist.

    Wir haben gelernt, dass es für den Parameter sechs Unterscheidungen gibt, davon drei für positive und drei für negative Parameter. Diese sind hier zur Übersicht noch einmal aufgelistet.

    Für negative Parameter, bei denen also $a < 0$ gilt, gibt es folgende drei Fälle:

    • $- 1 < a < 0$: In diesem Fall ist der Graph breit und nach unten geöffnet.
    • $a = - 1$: Hier liegt die nach unten geöffnete Normalparabel vor, die weder breit noch schmal ist.
    • $a < - 1$: Graphen, für welche dies gilt, sind schmal und nach unten geöffnet.
    Ist der Parameter dagegen positiv, also $a > 0$, so gibt es folgende drei Fälle:

    • $0 < a < 1$: Hier ist der Graph breit, aber nach oben geöffnet.
    • $a = 1$: Für diesen Parameter liegt die nach oben geöffnete Normalparabel vor.
    • $a > 1$: Graphen, für die das gilt, sind schmal und nach oben geöffnet.
    Wie dir vielleicht aufgefallen ist, haben wir den Parameter $a=0$ in der Übersicht nicht erwähnt. Das liegt daran, dass für $a=0$ keine Parabel erzeugt wird. Und wir wollen hier nur Parabeln untersuchen.

    Aus der Übersicht geht auch hervor, dass ein Funktionsgraph nicht gleichzeitig schmal und breit sein. Er hat nämlich stets nur einen Parameter und dieser lässt sich klar einer der sechs Fällen zuordnen.

  • Untersuche, durch welche quadratische Funktion die Brücke modelliert werden kann.

    Tipps

    Orientiere dich an der Höhe und der Breite der Brücke und untersuche, wo die x-Achse und die y-Achse angesetzt sein sollen. Überprüfe dann, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen müssen.

    Wenn du eine Skizze anfertigst, kannst du ganz leicht drei Punkte ablesen. Der höchste Punkt hat die Koordinaten $(0|3)$, der Anfang und das Ende der Brücke liegen bei $(-2|0)$ und $(2|0)$.

    Überprüfe, welche Funktionsgleichung diese Punkte erzeugen.

    Muss der Streckungsfaktor $a$ positiv oder negativ sein?

    Der Parameter $c$ verschiebt die Parabel um $c$ Einheiten entlang der y-Achse.

    Lösung

    Wir können Lotte helfen, da wir wissen, wie die Parabel, welche die Brücke modellieren soll, im Koordinatensystem liegt. Zum einen soll sich die x-Achse auf Höhe des Flusses befinden, zum anderen liegen die Mitte des Flusses und somit auch der höchste Punkt der Brücke auf der y-Achse. Das bedeutet, dass die Parabel so in der Mitte von der y-Achse geschnitten wird, wie wir es von den quadratischen Funktionen gewohnt sind.

    Nun, da wir die Lage der Parabel im Koordinatensystem kennen, können wir auch ein paar Punkte ausmachen, die mit Gewissheit auf der Parabel liegen. Das ist unter anderem der Punkt $(0|3)$, denn die 3 Meter hohe Brücke soll ja ihren höchsten Punkt möglichst über der Mitte des Flusses haben.

    Andererseits liegen auch die Punkte $(2|0)$ und $(-2|0)$ auf der Parabel, denn die Brücke ist auf Höhe des Flusses 4 Meter breit.

    Somit haben wir drei Punkte ermittelt, die in einer Wertetabelle der richtigen Funktionsgleichung nicht fehlen dürfen. Wir brauchen nun nicht für jede einzelne, möglicherweise in Frage kommende Funktionsgleichung eine Wertetabelle erstellen. Es reicht aus, beispielsweise den Punkte $(2|0)$ zu überprüfen.

    Die einzige Funktionsgleichung, die $(2|0)$ und - wie du selbst überprüfen kannst - auch die beiden anderen Punkte beinhaltet ist $y = - \frac{3}{4} \cdot x^2 +3$.

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