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Quadratische Funktionen – y=a·x² (2)

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Martin Wabnik
Quadratische Funktionen – y=a·x² (2)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Funktionen – y=a·x² (2)

In dem folgenden Film untersuchen wir gemeinsam die Funktionsgleichung y = ax². Wenn der Parameter a = 1 ist, dann handelt es sich um die Funktionsgleichung der Normalparabel. Was passiert, wenn a > 1 ist? Die Normalparabel verändert sich. Der Faktor a > 1 bewirkt, dass die Normalparabel schmaler wird. In der Mathematik sagt man auch, dass die Normalparabel um den Faktor a gestaucht wird. Wie sieht der Funktionsgraph der quadratischen Funktion aus, wenn der Parameter a zwischen 0 und 1 liegt ( 0 < a < 1 )? Die Normalparabel wird breiter. Nutze die Gelegenheit und schau dir das Video an. Unserer Tutor wird dir den Einfluss des Parameters noch einmal Schritt für Schritt erklären!

Transkript Quadratische Funktionen – y=a·x² (2)

Hallo! Hier ist also der zweite Teil unserer Betrachtung der Funktionen beziehungsweise der Graphen der Funktionen, die Funktionsgleichungen haben, der Form y=a×x2. Ja, ich benutze solche komplizierten Sätze bewusst, damit Du Dich an diese Sprechweise gewöhnst. Die Sache ist nun mal so, wir haben Funktionen, diese Funktionen haben Funktionsgleichungen und diese Funktionen haben Graphen - das sind nun mal 3 verschiedene Dinge und deshalb benutze ich diese Wörter, wie sie dann auch richtig verwendet werden. Wir haben folgende Situation: Wir haben gesehen, dass, wenn wir für a 1 einsetzen, dass wir dann eine Normalparabel bekommen, ja, das muss ich auch richtig schreiben, am besten in 2 Zeilen: Normalparabel. Das haben wir schon gezeichnet und dieser Graph, der dann rauskommt, der heißt nun mal Normalparabel. Dann haben wir gesehen, wenn wir für a etwas einsetzen oder, ich kann das vielleicht so schreiben: Wenn 1 kleiner als a ist, das heißt, wir setzen etwas für a ein, was größer ist als 1 - dann haben wir hier am Beispiel 2 gesehen, also das Beispiel, wenn man für a 2 einsetzt, dass dann so ein Graph rauskommt und wie Du Dir durch elementares Rechnen - eben nicht durch den Taschenrechner - sondern durch das Rechnen Dir vorstellen kannst, je größer a ist, desto schmaler wird die Parabel. Du kannst das gerne nachprüfen und es ist, sage ich mal, eine reine Verallgemeinerung des Rechnens der Prozesse, die man da ausführt, dass man sich also vorstellen kann: Je größer a ist, desto schmaler ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel und deshalb schreibe ich hier einfach schmal hin. Die Parabel ist schmal und, was glaubst Du was passiert, wenn jetzt a größer als 0 ist, aber kleiner als 1 ist. Das ist ein a, das ist eine 0 und das ist eine 1. Wir haben hier das Beispiel, also dieser äußere Graph gehört zur Funktionsgleichung y=½×x2 und wir sehen, dass dieser Graph breiter ist als die Normalparabel, die hier in der Mitte liegt und das können wir verallgemeinern. Du kannst das auch gerne wieder nachprüfen an vielen weiteren Funktionen, indem du Zahlen zwischen 0 und 1 für a einsetzt. Je weiter die Zahl bei 0 ist, desto breiter wird der Graph. Je näher die Zahl a bei 1 ist, desto näher kommt dieser Graph der Normalparabel. Insgesamt ist aber der Funktionsgraph im Vergleich zur Normalparabel breit. Schmal und breit sind nicht unbedingt Ausdrücke, die sich sehr mathematisch anhören. Es gab mal eine Zeit, da hieß das gestreckt und gestaucht, und nachdem ich dann festgestellt habe, dass das in verschiedenen Büchern verschieden benutzt wird, also mal ist das Breite als gestreckt bezeichnet worden und mal ist das Schmale als gestreckt bezeichnet worden. Deshalb mache ich das hier, wie das viele andere mittlerweile auch tun, man sagt einfach der Graph ist schmaler als die Normalparabel oder breiter als die Normalparabel und damit, glaube ich, können wir alle zufrieden sein. Das zu dieser Funktionsform. Allerdings darf ich erwähnen, wir haben hier bisher nur geguckt, was mit positiven a's passiert, das heißt die negativen a's stehen noch aus. Bis dahin. Viel Spaß, tschüs.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. das schmale heißt gestreckt und das andere gestaucht

    Von Claudie7, vor mehr als einem Jahr
  2. An der videoqualität könnte man noch arbeiten ansonsten ganz gut

    Von Claudie7, vor mehr als einem Jahr
  3. Sehr gut :-)

    Von Cmsa, vor mehr als 9 Jahren

Quadratische Funktionen – y=a·x² (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen – y=a·x² (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Sätze zur Funktionsgleichung y = a $\cdot$ x$^2$.

    Tipps

    Die Normalparabel ist der erste Graph einer quadratischen Funktion, den du in der Schule kennenlernst.

    An der Normalparabel orientiert man sich, wenn man die Breite eines Funktionsgraphen untersuchen möchte. Man sagt, dass eine quadratische Funktion schmaler bzw. breiter als die Normalparabel ist.

    Lösung

    Die Breite einer nach oben geöffneten, quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung $y = a \cdot x^2$ lässt sich durch die Wahl des positiven Parameters a verändern. Es wird zwischen drei Fällen unterschieden.

    Zuerst lernst du gewöhnlicherweise die Normalparabel kennen, deren Funktionsgleichung $y = x^2$ ist. Für sie gilt $a = 1$. Sie ist weder breit noch schmal und an ihr orientierst du dich, wenn du die Breite von Funktionsgraphen beurteilen möchtest. Die Normalparabel ist im Koordinatensystem der rote Graph.

    Wenn $a > 1$ gilt, so ist der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion schmaler als die Normalparabel. Als Beispiel für einen schmalen Funktionsgraphen steht der grüne Funktionsgraph mit der Funktionsgleichung $y = 2 \cdot x^2$.

    Für nach oben geöffnete, quadratische Funktionen bleibt noch der Fall, wenn $0 < a < 1$. Wie beim blauen Funktionsgraph, der die Funktionsgleichung $y = 0,5 \cdot x^2$ besitzt, wird die Form dann als breit bezeichnet.

  • Nenne die Funktionsgleichungen der Funktiongraphen.

    Tipps

    Setze einen x-Wert zwischen -3 und 3 in eine Funktionsgleichung ein und untersuche, welcher der Graphen den erzeugten y-Wert besitzt.

    Ein Graph, der aus einer Geraden besteht, kann nicht eine quadratische Funktionsgleichung besitzen.

    Lösung

    Funktionen lassen sich eindeutig Graphen zuordnen, so wie sich auch Graphen eindeutig Funktionen zuordnen lassen. Aus diesem Grund können wir vom Graphen auf die Funktionsgleichung schließen und andersherum.

    Wollen wir von der Funktionsgleichung auf den Graphen der Funktion $y=2\cdot x$, $y=0,5\cdot x^2$, $y=x^2$ bzw. $y=2\cdot x^2$ schließen, so setzen wir einige x-Werte in die Funktion ein. Manchmal reicht es, einen x-Wert einzusetzen, manchmal benötigen wir zwei oder sogar drei Punkte, um eine Funktion einem Graphen eindeutig zuzuordnen.

    Eine gute Idee ist es, zunächst die lineare Funktion $y = 2 \cdot x$ ihrem Funktionsgraphen zuzuordnen. Dieser ist der einzige Graph, der eine Gerade und keine Parabel darstellt.

    Bei den übrigen drei Funktionen setzen wir nun beispielsweise $x = 1$ in die Funktionsgleichung $y = 2 \cdot x^2$ und erhalten somit den Funktionswert $y=2$. Nur eine der Parabeln enthält tatsächlich diesen Punkt, bestehend aus dem x-Wert $x=1$ und dem Funktionswert $y=2$. Genauso lässt sich auch mit den beiden übrigen Funktionen verfahren. Achte dabei aber darauf, nicht $x=0$ in die Funktionsgleichung einzusetzen, da für diesen x-Wert stets der Funktionswert $y=0$ angenommen wird. Das bringt uns aber auf der Suche nach dem richtigen Funktionsgraphen nicht weiter.

    Entscheiden wir uns dagegen, vom Funktionsgraphen auf die Funktionsgleichung zu schließen, so suchen wir uns auf einem Funktionsgraphen einen Punkt, bestehend aus einem x- und einem y-Wert. Fällt die Wahl beispielsweise auf $(1~|~0,5)$, so müssen wir nur noch untersuchen, welche Funktionen durch Einsetzen von $x=1$ den Funktionswert $y=0,5$ annimmt. Das ist offensichtlich bei $y = 0,5 \cdot x^2$ der Fall.

  • Entscheide, ob die Funktionsgraphen schmal oder breit sind.

    Tipps

    Welche Eigenschaft besitzt eine Funktion, deren Parameter a > 1 ist?

    Funktionen mit einem Parameter 0 < a < 1 sind breiter als die Normalparabel.

    Parameter außerhalb dieser Intervalle haben eine andere Eigenschaft.

    y = 0 kann du auch als y = 0 $\cdot$ x$^2$ schreiben.

    Lösung

    Funktionen, deren Parameter $a > 1$ ist, besitzen einen schmalen Funktionsgraphen, wobei du beachten solltest, dass eine Funktion umso schmaler ist, je größer das a gewählt ist. Daher wollen wir die Funktionen der schmalen Graphen hier aufzählen und mit dem schmalsten anfangen:

    • $y = 7 \cdot x^2$
    • $y = 2,5 \cdot x^2$
    • $y = 1,5 \cdot x^2$
    Ebenso verfahren wir mit den breiten Funktionsgraphen, deren Parameter $0<a<1$ erfüllen. Wir beginnen mit dem breitesten:

    • $y = 0,1 \cdot x^2$
    • $y = 0,25 \cdot x^2$
    • $y = 0,99 \cdot x^2$.
    Eine quadratische Funktion mit einem Graphen, der weder breit noch schmal ist, ist hier einerseits natürlich die Funktion zur Normalparabel. Deren Parameter ist ja $a = 1$ und es gilt weder $a > 1$ noch $0 < a < 1$.

    Außerdem ist $y = 0 \cdot x^2 = 0$ weder breit noch schmal. Das hat allerdings den Grund, dass die Funktion $y = 0$ überhaupt keinen Graphen besitzt, den man nach seiner Breite bewerten könnte.

  • Bestimme die Funktionsgleichungen der Form y = a $\cdot$ x$^2$ für die Funktionsgraphen.

    Tipps

    Um den Parameter zu ermitteln, finde einen Punkt auf dem Graphen, der mit Gewissheit auf diesem liegt, und berechne, mit welcher Zahl a das Quadrat x$^2$ multipliziert werden muss, damit sich der Funktionswert y ergibt.

    Auf diesem Funktionsgraphen liegt der Punkt $(2|4)$. Setzen wir diesen in die allgemeine Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2$ ein, so erhalten wir $4=a\cdot 2^2=4\cdot a$ bzw. $a=1$. Die Funktionsgleichung lautet dementsprechend $y=1 \cdot x^2$ oder einfach $y=x^2$.

    Funktionen, die breiter als die Normalparabel sind, besitzen einen Parameter $0 < a < 1$.

    Lösung

    Im Koordinatensystem sind die vier Graphen zu sehen. Anhand der ebenfalls eingezeichneten Normalparabel kannst du erkennen, wo die Grenze zwischen breiten und schmalen Funktionsgraphen liegt. Um eine Funktionsgleichung zu ermitteln, finde einen Punkt auf dem Graphen, der mit Gewissheit auf diesem liegt, und berechne, mit welcher Zahl a das Quadrat x$^2$ multipliziert werden muss, damit sich der Funktionswert y ergibt. Nun da du den Parameter a berechnet hast, kannst du die Funktionsgleichung aufstellen.

    Der violette Graph gehört also zu der Funktion $y = 0,25 \cdot x^2$: Wir erkennen, dass der Punkt $(2|1)$ auf der Parabel liegt. Setzen wir diesen in die allgemeine Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2$ ein, so erhalten wir $1=a\cdot 2^2=4\cdot a$ bzw. $a=0,25$ und somit die Gleichung $y = 0,25 \cdot x^2$. Der Graph ist, wie im Koordinatensystem zu erkennen, deutlich breiter als die Normalparabel. Das bestätigt uns auch der Parameter $a = 0,25$, da $0 < 0,25 < 1$.

    Ähnlich lassen sich auch die anderen Funktionsgleichungen bestimmen.

    Die Funktionsgleichung zum blauen Graphen lautet $y = 0,75 \cdot x^2$ . Wie du sehen kannst, ist auch er breiter als die Normalparabel, da der Parameter der Funktion $a=0,75$ die Beziehung $0 < a < 1$ erfüllt.

    Die Funktionen zum grünen und orangen Graphen heißen $y = 1,5 \cdot x^2$ und $y = 3 \cdot x^2$. Da deren Parameter größer als 1 sind, werden die Graphen schmal genannt. Da die Funktion des orangen Graphen den größeren Parameter hat, ist der Graph schmaler als der zu $y = 1,5 \cdot x^2$ gehörige.

  • Benenne die richtigen Aussagen über Funktionen der Form y = a $\cdot$ x$^2$.

    Tipps

    Die Funktion y = 5 $\cdot$ x$^2$ besitzt einen schmalen Funktionsgraphen.

    Der Graph der Funktion y = $\frac{1}{4}$ $\cdot$ x$^2$ ist breit.

    Graphen, deren Funktionsgleichungen der Form y = a $\cdot$ x$^2$ einen Parameter a > 1 besitzen, werden schmal genannt.

    Liegt der Parameter bei 0 < a < 1, so ist der Graph breit.

    Lösung

    Die Normalparabel ist der Graph mit der Funktionsgleichung $y = 1\cdot x^2$. Es reicht aber aus, $y = x^2$ zu schreiben, da du den Faktor 1 bedenkenlos weglassen kannst. Die Normalparabel ist wichtig, um zu entscheiden, ob ein Graph schmal oder breit ist. Dabei werden alle Graphen, die schneller als die Normalparabel wachsen, als schmal bezeichnet, diejenigen, welche langsamer wachsen, als breit. Die Normalparabel ist weder schmal noch breit.

    Ob ein Graph schmal oder breit ist, lässt sich auch anhand der Funktionsgleichung ablesen. Hier gilt der Grundsatz: Wenn der Parameter a in der Funktionsgleichung der Form $y = a \cdot x^2$ größer als 1 ist, also $a > 1$, dann ist der Funktionsgraph schmal. Gilt dagegen $0 < a < 1$, so wird der Funktionsgraph als breit bezeichnet.

    Nun wissen wir auch, dass die Funktion $y = 2 \cdot$ x^2$ einen schmalen Graphen besitzt, weil 2 größer als 1 ist.

    Zu der Funktion $y = 0,5 \cdot x^2$ können wir sagen, dass für den Parameter $a=0,5$ die Beziehung $0 < a < 1$ gilt und der Graph somit breit ist.

  • Ermittle die Funktionsgleichung des Graphen.

    Tipps

    Du kannst beurteilen, ob der Funktionsgraph schmal oder breit ist, indem du eine Normalparabel entsprechend nach unten verschiebst.

    Das ist das Bild einer verschobenen Normalparabel.

    Um den Parameter zu ermitteln, finde einen Punkt auf dem Graphen, der mit Gewissheit auf diesem liegt, setze diesen in die Gleichung $y=a\cdot x^2+b$ ein, welche schon die Verschiebung b auf der y-Achse berücksichtigt und löse nach a auf.

    Lösung

    Die von uns gesuchte Funktion besitzt einen nach oben geöffneten Funktionsgraphen und ist um zwei Einheiten entlang der y-Achse nach unten verschoben. Außerdem ist sie breiter als die Normalparabel, was wir nachvollziehen können, wenn wir uns den Verlauf einer ebenfalls nach unten verschobenen Normalparabel vorstellen.

    Wollen wir die Funktionsgleichung aufstellen, so können wir allgemein annehmen, dass die Funktion die Form $y = a \cdot x^2 + b$ besitzt. Wir können schon sagen, dass a auf jeden Fall positiv ist, weil der Graph ja nach oben geöffnet ist, und auch bei $0 < a < 1$ liegt, da er breiter als die Normalparabel ist. Außerdem ist die Verschiebung nach unten geschehen, wodurch b negativ ist.

    Untersuchen wir zunächst b. Hier sehen wir schnell, dass die Verschiebung um $b = - 2$ vollzogen wurde. Analysieren wir a weiter, so erkennen wir mithilfe einer Wertetabelle oder auch ohne, dass $a = 0,5$ sein muss. Denn der grüne Graph wächst nur halb so schnell wie die auf der y-Achse verschobene Normalparabel. Alternativ kannst du auch die Gleichung nach a auflösen, nachdem du einen auf dem Graphen liegenden Punkt sowie $b = -2$ in die Gleichung eingesetzt hast. Tun wir dies für den Punkt $(2|0)$, so ergibt sich die Gleichung $0 = a \cdot 2^2 - 2$. Löst du diese Gleichung nach dem Parameter auf, so kommt ebenfalls $a=0,5$ heraus.

    So ergibt sich letztlich die Funktionsgleichung $y = 0,5 \cdot x^2 - 2$.

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