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Quadratische Funktionen – y=2·x² (2)

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Martin Wabnik
Quadratische Funktionen – y=2·x² (2)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Funktionen – y=2·x² (2)

Herzlich Willkommen zum zweiten Teil des Videos „ Quadratische Funktionen y = 2x² “. Im ersten Teil haben wir bereits mit dir zusammen die Wertetabelle zur quadratischen Funktion f ( x ) = 2x² erstellt. Nun wollen wir die Gelegenheit nutzen und die errechneten Punkte in das Koordinatensystem übertragen. Du erhältst eine Parabel. Was fällt dir an dem entstandenen Graphen auf? Die Parabel erinnert nicht mehr so deutlich an die Normalparabel. Der Funktionsgraph zur quadratischen Funktion f ( x ) = 2x² wirkt gestaucht. Wie sieht eine gestauchte Normalparabel aus? Schau dir das Video an und finde es heraus!

Transkript Quadratische Funktionen – y=2·x² (2)

Hallo! An dieser Wertetabelle kannst du sehen oder gleich erkennen, gleich, wenn ich das hier gezeichnet habe, dass es hier ganz schlau ist, sich vorher eine Funktionsskizze zu machen. Warum? Viele Schüler zeichnen ihre Koordinatensysteme immer gleich, egal, um welche Funktion es sich handelt, und dann kommt es ganz oft vor, dass sie dann irgendwas korrigieren müssen, in dem Koordinatensystem, oder ein neues zeichnen müssen, weil die Funktion, die sie jetzt hier abbilden möchten, den Graphen, den sie zeichnen möchten, der eben nicht in dieses Koordinatensystem hineinpasst und man keine vernünftige Zeichnung erhält. Das ist einfach viel Arbeit, da geht viel Zeit verloren, es ist langweilig, es macht überhaupt keinen Spaß, Funktionsgraphen zweimal zu zeichnen. Deshalb kann man vorher gleich überlegen: Was brauche ich eigentlich, wie muss mein Koordinatensystem aufgebaut sein? Ich bemerke hier: Ich habe keine y-Werte, die < 0 sind. Das bedeutet, ich kann also zum Beispiel hier ganz unten meine x-Achse hinbasteln, denn ich brauche nach unten hin keine Funktionswerte mehr. Dann überlege ich mir: Was brauche ich denn für y-Werte, für positive y-Werte? Und dann sehe ich hier eine +18. Hallo, hallo, die +18! Da muss ich mir überlegen, ich möchte das jetzt zum Beispiel hier in meiner Skizze darstellen und dann brauche ich hier also eine 18. Das heißt, das müsste hier sein. Und jetzt teile ich danach diesen Funktionsgraphen ein, also danach, dass ich behaupte, hier ist eine 18, ja? Dann weiß ich, auf der Hälfte ist die 9 - ich mache das jetzt nicht ganz exakt, wie gesagt eine Skizze, nur damit ich einen Überblick habe, wie muss ich das machen. Und wenn ich die 9 durch 3 teile, dann erhalte ich hier die 6 und die 3, und hier die 12 und die 15, okay, zwischen 12 und 18 liegt die 15. Nachdem ich das jetzt auch verstanden habe, muss ich jetzt hier unten mir überlegen, wie die Einheiten hier zu wählen sind. Und da schlage ich vor, dazu ich ja die Graphen von mehreren Funktionen miteinander vergleichen möchte, kann ich hier nicht einfach die x-Achse so ein bisschen auseinanderziehen oder so was, dann verfälscht das den Graphen und ich kann nicht erkennen, wie der Graph aussieht. Deshalb sage ich hier: Ich möchte, dass die Abstände auf der x-Achse, also die Einheit auf der x-Achse genauso groß ist wie die Einheit auf der y-Achse. Dann erhalte ich Graphen, die ich vergleichen kann. Und deshalb muss also hier die -3 hin und da +3, entsprechend ist hier -1 und -2, da ist 1 und 2, zumindest so ungefähr. Das ist nur eine Skizze, das kann man also wirklich schnell machen und das muss auch nicht ganz so hundertprozentig genau sein. Dann möchte ich jetzt hier die Funktionswerte eintragen. Ich habe einmal die 0, bei der 1 gibt es hier die 2, bei der -1 auch die 2, hier bei der 2 habe ich eine 8, das ist hier ungefähr, und bei der 3 gibt es eine 18, das ist hier oben. So, und dann sehe ich gleich, wie die Funktion hier entlangläuft, nämlich so. Ja, die ist, oh, ziemlich steil. Und wenn ich das jetzt so zeichnen wollte, dann würde ich mal sagen, mir fehlen hier Zwischenwerte, ja, wenn ich das jetzt richtig und exakt einzeichnen wollte. Da muss ich also noch ein paar Werte ausrechnen, sonst kann ich das nicht zeichnen. Okay? Hier geht das, ich mache ja die Zeichnung hier, um zu bemerken, hallo, ich brauche noch mehr Zwischenwerte, ich muss noch ausrechnen, den Funktionswert bei 2,5 beispielsweise usw. Nachdem das erledigt ist, habe ich, wie immer rein zufällig, hier mal einen Graphen vorbereitet, und zwar den Graphen der Funktion mit der Funktionsgleichung y=2×x2. Wie du erkennst, die Ähnlichkeit, nicht wahr, verblüffend! So sieht das aus, wenn es dann richtig liegt. Schön glatt streichen, damit du es sehen kannst. Wunderbar. Es ist nicht ganz auf 0 - und ich komme da jetzt nicht ran. Ich glaube, jetzt ist hier wirklich der Nullpunkt erreicht. Du weißt, was ich meine, die Funktion geht da unten durch die 0, durch den Ursprung des Koordinatensystems. Das ist die Lage der Dinge und so haben wir den Funktionsgraphen dieser Funktion, y=2x2, erhalten. Viel Spaß damit. Bis bald. Tschüss!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. IDIOT

    Von Weberstev, vor mehr als 2 Jahren
  2. i love u

    Von Furkan K., vor etwa 8 Jahren

Quadratische Funktionen – y=2·x² (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen – y=2·x² (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme den Graphen zu der Funktion $y = 2 \cdot x^2$.

    Tipps

    Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion $y = 2 \cdot x^2$ und skizziere dir den dazugehörigen Graphen.

    Überlege dir, welche Punkte auf dem Graphen der Funktion $y = 2 \cdot x^2$ liegen. Setze dazu geeignete x-Werte in die Funktionsgleichung ein und bestimme die dazugehörigen y-Werte.

    Setzt du beispielsweise $x =1$ in die Funktion $y=x^2$ ein, so erhältst du $y=1$. Der Punkt $(1~|~1)$ liegt also auf dem Graphen der Funktion $y = x^2$.

    Lösung

    Wir wollen den richtigen Graphen zu der Funktion $y = 2 \cdot x^2$ bestimmen. Es ist hilfreich, dafür eine Wertetabelle zu erstellen, um den ungefähren Verlauf der Funktion festzustellen:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -1 & -0,5 & 0 & 0,5 & 1 \\ \hline y & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \end{array}$

    Alle Punkte der Wertetabelle liegen also auf dem Graphen der Funktion $y = 2 \cdot x^2$. Der blaue Graph ist somit der richtige.

  • Gib an, in welche Koordinatensysteme die Funktion $y=2\cdot x^2$ mit der angegebenen Wertetabelle sinnvoll passt.

    Tipps

    In welchem Bereich liegen die x-Werte bzw. die y-Werte aus der Wertetabelle?

    Achte auch darauf, dass die Skalierung der Achsen stimmt: Was einer Einheit auf der x-Achse entspricht, muss auch einer Einheit auf der y-Achse entsprechen.

    Passt der Graph in ein Koordinatensystem mit x-Bereich von $-2$ bis $2$ und y-Bereich von $0$ bis $4$, dann passt die Funktion auch in ein Koordinatensystem mit x-Bereich von $-2$ bis $2$ und y-Bereich von $-4$ bis $6$. Du kannst also die y-Achse auch verlängern, wenn du die x-Achse unverändert lässt.

    Lösung

    Wir suchen geeignete Koordinatensysteme, in welche die Funktion $y=2\cdot x^2$ mit der angegebenen Wertetabelle passt. Als ersten Schritt schauen wir uns an, welche x-Werte bzw. y-Werte angenommen werden: Wir sehen, dass x zwischen $-3$ und $3$ und y zwischen $0$ und $18$ liegt. Daher entfallen schon einmal die beiden grünen Koordinatensysteme, deren y-Bereiche nur von $-3$ bis $3$ bzw. von $-12$ bis $12$ gehen.

    Als nächsten musst du auch die Skalierung beachten: Die Einheiten müssen für die beiden Achsen übereinstimmen, sonst kann die Funktion nicht richtig dargestellt werden. Bei dem orangenen Graph ist dies nicht der Fall.

    Übrig bleiben nur das violette und das lila Koordinatensystem, die auch richtig sind. Das violette Koordinatensystem ist richtig, da es richtig skaliert ist und die x-Achse von $-3$ bis $3$ und die y-Achse von $0$ bis $18$ geht. Du fragst dich vielleicht: Auch das lila Koordinatensystem geht? Ja! Wenn du die y-Achse verlängerst, dann passt die Funktion nach wie vor in das Koordinatensystem.

  • Untersuche, welcher Graph zu welcher Funktionsgleichung gehört.

    Tipps

    Erstelle dir Wertetabellen für die einzelnen Funktionen und finde im Anschluss die passenden Graphen.

    Ist der Graph von $y = 3 \cdot x^2$ schmaler oder breiter als der Graph von $y = 4 \cdot x^2$?

    Der Punkt $(1~|~2)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $y = 2 \cdot x^2$, denn $2 = 2\cdot 1^2$.

    Lösung

    Es gibt zwei schnelle Methoden, um die passenden Kombinationen für Funktionsgleichung und Graph zu finden.

    Methode 1: Festellen, ob gewisse Punkte auf dem Graphen liegen

    Wir schauen, was der y-Wert zu einem gegebenen x-Wert ist. Werten wir die Funktion für $x=1$ aus, sehen wir, dass der Punkt $(1~|~1)$ auf dem Graphen der Funktion $y=x^2$, $(1~|~2)$ auf dem Graphen der Funktion $y=2\cdot x^2$, $(1~|~3)$ auf dem Graphen der Funktion $y=3\cdot x^2$ und $(1~|~4)$ auf dem Graphen der Funktion $y=4\cdot x^2$ liegt.

    Methode 2: Graphen untereinander vergleichen.

    Der Graph der Funktion $y=2\cdot x^2$ ist immer schmaler als die Normalparabel mit der Funktion $y=x^2$, denn alle y-Werte von $y=2\cdot x^2$ sind immer doppelt so groß. Analog gilt: Der Graph der Funktion $y=3\cdot x^2$ ist schmaler als für $y=2\cdot x^2$ und der Graph der Funktion $y=4\cdot x^2$ ist schmaler als der Graph von $y=3\cdot x^2$. Umso größer der Faktor $a > 1$ vor dem $x^2$ also ist, desto schmaler ist der zugehörige Funktionsgraph.

  • Untersuche, wie die Funktionsgleichungen der angegebenen Graphen heißen.

    Tipps

    Die Funktionen haben alle die Form $y = a\cdot x^2$. Wie lautet jeweils $a$?

    Wähle einen Punkt auf dem Graphen und bestimme im Anschluss den Parameter $a$.

    Liegt der Punkt $(2~|~8)$ auf dem Graphen, dann machst du den Ansatz $8 = a \cdot 2^2$ und erhältst $a = 2$.

    Lösung

    Die Funktionen haben alle die Form $y = a\cdot x^2$. Doch wie lautet der Parameter $a$?

    Wir wählen einen Punkt auf dem Graphen und bestimmen im Anschluss den Parameter. Wir sehen beispielsweise, dass auf dem grünen Graph der Punkt $(1~|~2)$ liegt. Setzen wir diesen Punkt in die obere Gleichung ein, so erhalten wir $2=a\cdot1^2$, also $a=2$. Der grüne Graph hat daher die Funktionsgleichung $y=2\cdot x^2$.

    Bei den anderen Graphen erkennen wir, dass die Punkte $(1~|~1)$, $(1~|~3)$ bzw. $(\frac{1}{2}~|~1)$ auf dem Graphen liegen, sodass sie die Funktionsgleichungen $y=x^2$, $y=3\cdot x^2$ bzw. $y=4\cdot x^2$ haben.

  • Beschreibe, wie du die Funktion $y = 2 \cdot x^2$ skizzieren kannst.

    Tipps

    Was benötigt man für das Skizzieren einer Funktion?

    Skizziere den Graphen der Funktion $y = 2 \cdot x^2$. Wie gehst du vor?

    Lösung

    Du kannst beim Skizzieren einer Funktion folgendermaßen vorgehen:

    1. Wertetabelle für die Funktion $y = 2 \cdot x^2$ erstellen

    Damit wir eine Vorstellung bekommen, welche x-Werte und y-Werte angenommen werden, ist es sinnvoll, sich eine Wertetabelle für den Überblick zu verschaffen:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & -1 & 1 & -2 & 2 & -3 & 3 \\ \hline y & 0 & 2 & 2 & 8 & 8 & 18 & 18 \end{array}$

    2. Koordinatensystem zeichnen

    Nun überlegst du dir anhand der x- und y-Werte, welche Achseneinteilung am besten ist. In unserem Beispiel liegen die x-Werte zwischen $-3$ und $3$ und die y-Werte zwischen $0$ und $18$. Deine Koordinatenachsen gehen also von $-3$ bis $3$ bzw. von $0$ bis $18$.

    3. Punkte einzeichnen

    Im nächsten Schritt liest du die Punkte aus der Wertetabelle ab und zeichnest sie nacheinander in das Koordinatensystem ein.

    4. Punkte verbinden

    Im letzten Schritt verbindest du die eingezeichneten Punkte und fertig ist deine Skizze. Für die Funktion $y = 2 \cdot x^2$ siehst du den Graphen in der nebenstehenden Graphik.

  • Ermittle die Funktionsgleichungen des Graphen und welche Punkte auf ihnen liegen.

    Tipps

    Bestimme zunächst die Funktionsgleichung des Graphens, indem du einen Punkt in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2$ einsetzt und dadurch den Parameter $a$ bestimmst.

    Manche Punkte sind nicht eingezeichnet. Prüfe, ob diese auf dem Graphen liegen, indem du sie in die jeweiligen Funktionsgleichungen einsetzt.

    Der Punkt $(-2~|~4)$ liegt auf dem Graphen zur Funktion $y=x^2$, denn $(-2)^2=4$.

    Lösung

    Wir bestimmen zunächst die Funktionsgleichungen der angegebenen Graphen. Sie sehen zwar gleich aus, doch haben sie unterschiedliche Funktionsgleichungen. Das liegt daran, dass die Skalierung der Achsen unterschiedlich gewählt ist. Die Punkte $(-1~|~1)$ und $(1~|~2)$ kannst du direkt von den Graphen ablesen. Setzt du diese Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2$ ein, erkennst du, dass es sich um die Funktionsgleichungen $y=x^2$ bzw. $y=2\cdot x^2$ handelt.

    Zu welchem Graphen gehören aber die restlichen Punkte, die du nicht direkt ablesen kannst? Glücklicherweise haben wir ja bereits die Funktionsgleichung den Graphen zugeordnet. Durch Einsetzen sehen wir, dass die Punkte $(\frac{3}{2}~|~\frac{9}{4})$ und $(-\frac{5}{2}~|~\frac{25}{4})$ zur Funktion $y=x^2$ und die Punkte $(-\frac{1}{2}~|~\frac{1}{2})$ und $(2~|~8)$ zur Funktion $y=2\cdot x^2$ gehören.

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