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Quadratische Funktionen – y=2·x² (1)

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Martin Wabnik
Quadratische Funktionen – y=2·x² (1)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Funktionen – y=2·x² (1)

Herzlich Willkommen zu einem weiteren Video zum Themenbereich „ Quadratische Funktionen “. Wir kennen bereits die quadratische Funktion mit dem Funktionsterm f ( x ) = x². Der Funktionsgraph hierzu ist die Normalparabel. Wie sieht nun der Funktionsgraph zu der quadratischen Funktionsgleichung y = 2x² aus? Wir zeigen dir in diesem Video, wie du zu diesem Funktionsterm eine Wertetabelle aufstellst. Die Punkte liegen auf dem Graphen der Funktion f ( x ) = 2x². Nutze die Gelegenheit und versuche die Wertetabelle zunächst selbständig zu erstellen. Viel Erfolg! Im zweiten Teil des Videos zeichnen wir den Graphen der Funktion.

Transkript Quadratische Funktionen – y=2·x² (1)

Hallo! Da quadratische Funktionen wie zum Beispiel y=x2 an sich ziemlich simpel sind und ziemlich einfach sind. Und du dich schnell langweilen könntest. Deshalb habe ich mir gedacht, machen wir jetzt mal etwas anderes. Wir machen was Wildes, was Aufregendes. Wir wollen die Funktion y=x2 mit 2 multiplizieren. Warum nicht? Dann erhalten wir als Funktionsgleichung folgendes y=2×x2. Na, wenn das kein Brüller ist! Also um diese Funktion zeichnen zu können, wir möchten ja uns den Graphen angucken und den vielleicht mit der Normalparabel vergleichen. Die Normalparabel ist ja der Graph, der entsteht, Funktionsgleichung y=x2 zugrunde legt. Da wir hier aber y=2×x2 haben wird dieser Funktionsgraph wohl anders aussehen. Das dürfen wir vermuten. Und ich möchte hier mal kurz eine Wertetabelle aufschreiben. Damit wir uns vorstellen können, wie dieser Funktionsgraph aussieht. Übrigens du kannst natürlich, wenn du einen Computer hast oder einen grafikfähigen Taschenrechner das Ganze auch einfach anzeigen lassen. Dann kannst du aber nicht lernen, wie diese Funktion zustande kommt. Dann kannst du aber nicht lernen, wie diese Funktion zustande kommt. Deshalb mache ich das hier ganz elementar ohne Taschenrechner. Es ist auch nicht so viel zu rechnen. Also bitte. Wir setzen für x 0 ein. Dann steht da 0×0. Ist ja da x2, ×2, das ist wieder 0. Kein Problem. Dann haben wir die 1 hier. Wenn wir für x 1 einsetzen, steht da statt x2 12, 1×1=1, dafür brauche ich keinen Taschenrechner, ×2, das ist 2. Wenn ich -1 einsetze, darf ich mir noch mal überlegen -×-=+. Also wenn hier statt des xes -1 steht, dann rechne ich -1×-1, das ist +1 und rechne dann noch ×2. Also ist der Funktionswert =2. Wenn da die 2 steht, statt des xes steht da 2×2. Und dann noch mal ×2. Das ist 8. Ja 2×2=4×2=8 und dann haben wir -2 muss ich hier für x einsetzen. -×- ergibt +, also -2×-2 bzw. hier -22. Bedeutet dann, also ist dann =4×2. Das ist 8. Ja 8 muss ich da auch hinschreiben, wenn es ne 8 ist. So etwas, ja ja, ich glaube, ach erkennt man. Wir setzen ein die 3. Ich kann auch andere Zahlen einsetzen, ich machs mir aber hier einfach und setze schöne glatte Zahlen ein. x2 ist 9 falls x=3 ist, 9×2=18 und wenn ich -3 einsetze dann erwartet mich das gleiche. -×-=+. -3×-3=9×2 das ist 18 und dann haben wir hier wieder die gleichen Funktionswerte und das soll mir erst mal reichen, hier als Wertetabelle. Ich möchte das dann noch in einer Funktionsskizze darstellen, um mir einen groben Überblick zu verschaffen. Das mache ich im 2ten Teil. Bis dahin, viel Spaß. Tschüs!

Quadratische Funktionen – y=2·x² (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen – y=2·x² (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Wertetabelle zur Funktion y = 2 $\cdot$ x$^2$.

    Tipps

    Setze x = 0 in y = 2 $\cdot$ x$^2$ ein.

    Was ergibt „Minus“ mal „Minus“?

    Lösung

    Wir wollen Graphen zeichnen von quadratischen Funktionen. Zunächst machen wir uns einen groben Überblick über den Verlauf der Funktion. Dazu ist es hilfreich, eine Wertetabelle aufzustellen.

    Oben schreibst du die x-Werte und unten die y-Werte, auch Funktionswerte genannt, hin. Dazu ein kleines Beispiel: Wir wollen für die quadratische Funktion y = 2 $\cdot$ x$^2$ für x = - 2 den dazugehörigen y-Wert bestimmen. Dazu rechnen wir

    $y = 2 \cdot (-2)^2 =2 \cdot ((-2) \cdot (-2)) = 2 \cdot 4 = 8$

    Beachte dabei, dass „Minus“ mal „Minus“ immer „Plus“ ergibt.

  • Gib Wertetabellen für $y = 2 \cdot x^2$ an.

    Tipps

    Erstelle zunächst eine etwas umfangreichere Wertetabelle.

    Bei der Erstellung einer Wertetabelle kommt es nicht auf die Reihenfolge der x-Werte an.

    Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv.

    Lösung

    Wir wollen Wertetabellen für die Funktionsgleichung $y = 2 \cdot x^2$ aufstellen. Für einen x-Wert suchen wir immer den dazugehörigen y-Wert. Beispielsweise erhalten wir so für $x = - 2$ den Funktionswert $y = 2 \cdot (-2)^2 = 2 \cdot ((-2) \cdot (-2)) = 2 \cdot 4 = 8$. Machen wir das auch für die anderen x-Werte, könnte eine Wertetabelle wie folgt aussehen:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3\\ \hline y & 0 & 2 & 2 & 8 & 8 & 18 & 18 \end{array}$

    Dabei ist nur wichtig, dass unter den x-Werten die richtigen y-Werte stehen. Die Reihenfolge und die Anzahl der betrachteten x-Werte spielt dabei keine Rolle. Somit sind auch die Wertetabellen

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -3 & -1 & 0 & 1 & 3 \\ \hline y & 18 & 2 & 0 & 2 & 18 \end{array}$

    und

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 3 & -1 & 2 & 0 & 1 \\ \hline y & 18 & 2 & 8 & 0 & 2 \end{array}$

    richtig.

  • Bestimme die x-Werte, die zu den y-Werten der Funktionsgleichung $y = 3 \cdot x^2$ gehören.

    Tipps

    Setze einige x-Werte in die Funktionsgleichung $y = 3 \cdot x^2$ ein.

    Erstelle eine Wertetabelle

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3 & 4 & -4\\ \hline y & & & & & & & & \end{array}$

    Lösung

    Wir setzen einige x-Werte in die Funktionsgleichung $y = 3 \cdot x^2$ ein und tragen die Zahlen in eine Wertetabelle ein:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3 & 4 & -4\\ \hline y & 3 & 3 & 12 & 12 & 27 & 27 & 48 & 48 \end{array}$

    Wir können daraus direkt ablesen, dass die jeweiligen Werte $x = \pm 1$ zu $y = 3$, $x = \pm 2$ zu $y = 12$, $x = \pm 3$ zu $y = 27$ und $x = \pm 4$ zu $y = 48$ gehören.

  • Entscheide, welche Funktionsvorschrift zu welcher Wertetabelle passt.

    Tipps

    Setze bei der Funktionsgleichung $y = 2 \cdot x$ verschiedene x-Werte ein.

    Wenn der Parameter a einer Funktion $y = a \cdot x^2$ positiv ist, so sind auch sämtliche Funktionswerte positiv.

    Lösung

    Unterschiedliche Funktionsgleichungen geben uns unterschiedliche Wertetabellen. Du hast ja bereits die Wertetabelle für $y = 2 \cdot x^2$ kennengelernt. Sicherlich kennst du auch lineare Funktionen schon. Doch wie schaut die Wertetabelle zu $y = 3 \cdot x^2$ aus?

    Ein guter Ausgangspunkt ist die Quadratfunktion mit der Funktionsgleichung $y = x^2$. Die dazugehörige Wertetabelle sieht folgendermaßen aus:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3 \\ \hline y & 0 & 1 & 1 & 4 & 4 & 9 & 9 \end{array}$

    Willst du eine Wertetabelle für $y = 3 \cdot x^2$ aufstellen, musst du jeden Eintrag in der für die y-Werte vorgesehenen Zeile der Quadratfunktion mit $3$ multiplizieren. So ergibt sich die gesuchte Wertetabelle.

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3 \\ \hline y & 0 & 3 & 3 & 12 & 12 & 27 & 27 \end{array}$

  • Schildere, wie du die quadratische Funktion $y = 2 \cdot x^2$ an der Stelle $x = - 3$ auswerten kannst.

    Tipps

    Beachte die Rechengesetze.

    Potenzen müssen vor Produkten berechnet werden.

    Lösung

    Das Auswerten einer Funktionsgleichung erfordert zwei Dinge. Wir benötigen die Stelle x, an der wir auswerten wollen, und die dazugehörige Funktionsgleichung.

    Wollen wir beispielsweise die Funktionsgleichung $y = 2 \cdot x^2$ an der Stelle $x = - 3$ auswerten, so rechnen wir zunächst $x^2$ aus, was an der zu untersuchenden Stelle $(-3) \cdot (-3) = 9$ ergibt. Beachte hierbei, dass „Minus“ mal „Minus“ uns ein positives Vorzeichen bringt. Schließlich multiplizieren wir noch mit $2$ und erhalten $y = 18$.

    Das kann man für verschiedene x-Werte machen, sodass man letztlich die x- mit den dazugehörigen y-Werten in eine Wertetabelle eintragen kann.

  • Ermittle die Zeit, in der ein Auto von $0$ auf $100~km/h$ beschleunigt.

    Tipps

    Du kannst erst die Wertetabelle aufstellen, nachdem du den Zusammenhang zwischen x und y aufgestellt hast.

    Die negativen x-Werte können vernachlässigt werden.

    Lösung

    Wir nehmen an, dass das Auto gemäß der Gleichung $y = 4 \cdot x^2$ beschleunigt. Das heißt zum Beispiel, dass es nach zwei Sekunden bereits eine Geschwindigkeit von $y = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$ Kilometern pro Stunde erreicht hat.

    Nun fragen wir uns, für welche Zeit x in Sekunden der dazugehörige y-Wert gleich $100$ ist?

    Um zu wissen, wie sich eine Funktion verhält, ist es oftmals sinnvoll eine Wertetabelle zu erstellen:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & 0 & 4 & 16 & 36 & 64 & 100 & 144 \end{array}$

    Wir lesen dabei ab, dass für $x = 5$ der Funktionswert $y = 100$ angenommen wird. Also beschleunigt das Auto von $0$ auf $100~km/h$ in $5$ Sekunden.

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