Quadratische Funktionen – y=2·x² (1)

Quadratische Funktionen – y=2·x² (1) Übung

• Ergänze die Wertetabelle zur Funktion y = 2 $\cdot$ x$^2$.

  Tipps

  Setze x = 0 in y = 2 $\cdot$ x$^2$ ein.

  Was ergibt „Minus“ mal „Minus“?

  Lösung

  Wir wollen Graphen zeichnen von quadratischen Funktionen. Zunächst machen wir uns einen groben Überblick über den Verlauf der Funktion. Dazu ist es hilfreich, eine Wertetabelle aufzustellen.

  Oben schreibst du die x-Werte und unten die y-Werte, auch Funktionswerte genannt, hin. Dazu ein kleines Beispiel: Wir wollen für die quadratische Funktion y = 2 $\cdot$ x$^2$ für x = - 2 den dazugehörigen y-Wert bestimmen. Dazu rechnen wir

  $y = 2 \cdot (-2)^2 =2 \cdot ((-2) \cdot (-2)) = 2 \cdot 4 = 8$

  Beachte dabei, dass „Minus“ mal „Minus“ immer „Plus“ ergibt.

• Gib Wertetabellen für $y = 2 \cdot x^2$ an.

  Tipps

  Erstelle zunächst eine etwas umfangreichere Wertetabelle.

  Bei der Erstellung einer Wertetabelle kommt es nicht auf die Reihenfolge der x-Werte an.

  Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv.

  Lösung

  Wir wollen Wertetabellen für die Funktionsgleichung $y = 2 \cdot x^2$ aufstellen. Für einen x-Wert suchen wir immer den dazugehörigen y-Wert. Beispielsweise erhalten wir so für $x = - 2$ den Funktionswert $y = 2 \cdot (-2)^2 = 2 \cdot ((-2) \cdot (-2)) = 2 \cdot 4 = 8$. Machen wir das auch für die anderen x-Werte, könnte eine Wertetabelle wie folgt aussehen:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3\\ \hline y & 0 & 2 & 2 & 8 & 8 & 18 & 18 \end{array}$

  Dabei ist nur wichtig, dass unter den x-Werten die richtigen y-Werte stehen. Die Reihenfolge und die Anzahl der betrachteten x-Werte spielt dabei keine Rolle. Somit sind auch die Wertetabellen

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -3 & -1 & 0 & 1 & 3 \\ \hline y & 18 & 2 & 0 & 2 & 18 \end{array}$

  und

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 3 & -1 & 2 & 0 & 1 \\ \hline y & 18 & 2 & 8 & 0 & 2 \end{array}$

  richtig.

• Bestimme die x-Werte, die zu den y-Werten der Funktionsgleichung $y = 3 \cdot x^2$ gehören.

  Tipps

  Setze einige x-Werte in die Funktionsgleichung $y = 3 \cdot x^2$ ein.

  Erstelle eine Wertetabelle

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3 & 4 & -4\\ \hline y & & & & & & & & \end{array}$

  Lösung

  Wir setzen einige x-Werte in die Funktionsgleichung $y = 3 \cdot x^2$ ein und tragen die Zahlen in eine Wertetabelle ein:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3 & 4 & -4\\ \hline y & 3 & 3 & 12 & 12 & 27 & 27 & 48 & 48 \end{array}$

  Wir können daraus direkt ablesen, dass die jeweiligen Werte $x = \pm 1$ zu $y = 3$, $x = \pm 2$ zu $y = 12$, $x = \pm 3$ zu $y = 27$ und $x = \pm 4$ zu $y = 48$ gehören.

• Entscheide, welche Funktionsvorschrift zu welcher Wertetabelle passt.

  Tipps

  Setze bei der Funktionsgleichung $y = 2 \cdot x$ verschiedene x-Werte ein.

  Wenn der Parameter a einer Funktion $y = a \cdot x^2$ positiv ist, so sind auch sämtliche Funktionswerte positiv.

  Lösung

  Unterschiedliche Funktionsgleichungen geben uns unterschiedliche Wertetabellen. Du hast ja bereits die Wertetabelle für $y = 2 \cdot x^2$ kennengelernt. Sicherlich kennst du auch lineare Funktionen schon. Doch wie schaut die Wertetabelle zu $y = 3 \cdot x^2$ aus?

  Ein guter Ausgangspunkt ist die Quadratfunktion mit der Funktionsgleichung $y = x^2$. Die dazugehörige Wertetabelle sieht folgendermaßen aus:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3 \\ \hline y & 0 & 1 & 1 & 4 & 4 & 9 & 9 \end{array}$

  Willst du eine Wertetabelle für $y = 3 \cdot x^2$ aufstellen, musst du jeden Eintrag in der für die y-Werte vorgesehenen Zeile der Quadratfunktion mit $3$ multiplizieren. So ergibt sich die gesuchte Wertetabelle.

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3 \\ \hline y & 0 & 3 & 3 & 12 & 12 & 27 & 27 \end{array}$

• Schildere, wie du die quadratische Funktion $y = 2 \cdot x^2$ an der Stelle $x = - 3$ auswerten kannst.

  Tipps

  Beachte die Rechengesetze.

  Potenzen müssen vor Produkten berechnet werden.

  Lösung

  Das Auswerten einer Funktionsgleichung erfordert zwei Dinge. Wir benötigen die Stelle x, an der wir auswerten wollen, und die dazugehörige Funktionsgleichung.

  Wollen wir beispielsweise die Funktionsgleichung $y = 2 \cdot x^2$ an der Stelle $x = - 3$ auswerten, so rechnen wir zunächst $x^2$ aus, was an der zu untersuchenden Stelle $(-3) \cdot (-3) = 9$ ergibt. Beachte hierbei, dass „Minus“ mal „Minus“ uns ein positives Vorzeichen bringt. Schließlich multiplizieren wir noch mit $2$ und erhalten $y = 18$.

  Das kann man für verschiedene x-Werte machen, sodass man letztlich die x- mit den dazugehörigen y-Werten in eine Wertetabelle eintragen kann.

• Ermittle die Zeit, in der ein Auto von $0$ auf $100~km/h$ beschleunigt.

  Tipps

  Du kannst erst die Wertetabelle aufstellen, nachdem du den Zusammenhang zwischen x und y aufgestellt hast.

  Die negativen x-Werte können vernachlässigt werden.

  Lösung

  Wir nehmen an, dass das Auto gemäß der Gleichung $y = 4 \cdot x^2$ beschleunigt. Das heißt zum Beispiel, dass es nach zwei Sekunden bereits eine Geschwindigkeit von $y = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$ Kilometern pro Stunde erreicht hat.

  Nun fragen wir uns, für welche Zeit x in Sekunden der dazugehörige y-Wert gleich $100$ ist?

  Um zu wissen, wie sich eine Funktion verhält, ist es oftmals sinnvoll eine Wertetabelle zu erstellen:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & 0 & 4 & 16 & 36 & 64 & 100 & 144 \end{array}$

  Wir lesen dabei ab, dass für $x = 5$ der Funktionswert $y = 100$ angenommen wird. Also beschleunigt das Auto von $0$ auf $100~km/h$ in $5$ Sekunden.