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Quadratische Funktionen – y=-1·x² (2)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Quadratische Funktionen – y=-1·x² (2)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Funktionen – y=-1·x² (2)

Herzlich Willkommen zum zweiten Teil des Videos „ Quadratische Funktionen y = -1*x² “. Im ersten Teil haben wir bereits mit dir zusammen die Wertetabelle zur quadratischen Funktion f ( x ) = -1x² erstellt. Nun wollen wir die Gelegenheit nutzen und die errechneten Punkte in das Koordinatensystem übertragen. Du erhältst eine Parabel. Was fällt dir an dem entstandenen Graphen auf? Die Parabel erinnert an die Normalparabel. Was hat sich jedoch verändert? Der Funktionsgraph zur quadratischen Funktion f ( x ) = -1x² wirkt symmetrisch zur Normalparabel. Welche Symmetrie liegt vor?

Transkript Quadratische Funktionen – y=-1·x² (2)

Hallo! Hier ist die Funktionsgleichung y=-1×x2 und hier ist die Wertetabelle dazu und jetzt möchte ich eine Funktionsskizze anlegen. Jetzt mache ich mal das, was oft vorkommt, wenn man solche Funktionsskizzen macht. Man macht das wie üblich, man macht sich ein Koordinatensystem und sagt sich: das was bisher gut war, das muss jetzt auch noch gut sein. Das ist also das Koordinatensystem. Da muss ich das erst noch bezeichnen, wo welche Einheiten sind. Ja, und dann stellt man fest: Oh Gott! Ich habe ja fast nur negative Funktionswerte, was mache ich denn jetzt? Jetzt muss ich das Koordinatensystem neu machen. Ich mache das jetzt so blöd vor, weil ich damit sagen möchte, Du kannst Dir das auch vorher überlegen. Guck bitte die Wertetabelle an und überleg Dir, wie das Koordinatensystem aussehen muss, damit Du diese Werte eintragen kannst. Guck bitte die Wertetabelle an und überleg Dir, wie das Koordinatensystem aussehen muss, damit Du diese Werte eintragen kannst. Das ist nicht kompliziert, da musst du nicht viel denken, du musst nur dran denken, dass du das machst. Das ist wie mit dem Aufräumen, das ist auch nicht kompliziert, man muss es einfach nur machen. Und dann habe ich hier zum Beispiel 1 und 2 und 3 auf der x-Achse. Hier ist jetzt die positive Richtung der x-Achse, hier ist die positive Richtung der y-Achse und ich brauche eigentlich nur negative Werte, bis auf die 0. Die 0 ist ja ein nicht-negativer Wert. Und das werde ich jetzt hier nicht alles bezeichnen. -4, -5, -6, -7, -8, -9. Ich habe ja schon bemerkt, dass hier -9 der tiefste Funktionswert ist, also werde ich das jetzt auch mal so hier hinmalen. -1 und -2 und -3, mehr brauche ich nicht, zumindest für meine hier Skizze nicht. Dann haben wir hier jetzt den Punkt (0|0), der ist hier. Wenn ich für x 1 einsetze, komme ich hier zu -1 und da auch zu -2. Wenn ich für x 2 einsetze, habe ich hier -4, das ist dort und hier kann ich auch -2 einsetzen, dann komme ich ebenfalls zu -4. Das ist hier. Und dann -9, wenn ich -3 einsetze beziehungsweise wenn ich +3 einsetze, ist es beides mal das Gleiche und jetzt kann ich hier schön eine Parabel zeichnen. Ich habe es schon vorweggenommen, das ist eine ganz normale Parabel, die allerdings jetzt nach unten geöffnet ist. Ich glaube, da habe ich auch nicht zu viel verraten und das möchte ich jetzt auch noch mal an meinem Koordinatensystem einmal in schön zeigen. So eine Funktionsskizze dauert wirklich nur ein paar Sekunden. Du musst Dich nicht anstrengen dafür, es reicht, dass du den Überblick bekommst. Und wie Du siehst, habe ich jetzt hier mein Koordinatensystem so hingelegt, dass es also nicht passt, aber das ist eben auch schnell gemacht. Jetzt muss ich das Koordinatensystem ändern, das tue ich jetzt und jetzt habe ich hier also fast nur die negativen Werte und ich habe mal eine Normalparabel vorbereitet. Diesmal eine, wenn ich sie also anders hinlege, als sonst, habe ich eine nach unten geöffnete Normalparabel. Ich glaube, so ist es besonders schön. Noch glatt streichen, damit Du das gut sehen kannst. So sieht also eine nach unten geöffnete Normalparabel aus. Ich glaube, damit ist alles gesagt. Ich begründe das jetzt nicht noch mal extra, warum das tatsächlich nach unten geöffnet ist und eine Normalparabel ist. Ich denke, das ergibt sich aus der Rechnung selber, aus den Werten, die Du erhältst. Das muss ich nicht weiter begründen, das kannst Du auch so sehen. Viel Spaß damit, bis bald. Tschüss.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Hallo, bitte beschreibt genauer, was ihr nicht verstanden habt. Gebt beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne könnt ihr euch auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für euch da ist.
    Ich hoffe, dass wir euch weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Diem Thanh Hoang, vor 10 Monaten
  2. nicht hilfreich von marie klasse 6B

    Von Nina Stuetzel, vor 10 Monaten
  3. schlimmes vidio sehr comich nulll lustiggggggggg unsd niich hilf reich :(

    Von Nina Stuetzel, vor 10 Monaten

Quadratische Funktionen – y=-1·x² (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen – y=-1·x² (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe den Funktionsgraphen der Funktion $y = (- 1) \cdot x^2$.

    Tipps

    Für alle $x$-Werte außer $0$ ergibt sich ein negativer Funktionswert.

    Eine entlang der $y$-Achse verschobene Funktion ist $y = x^2 + 3$.

    Lösung

    Der Funktionsgraph zur Funktion $y = (- 1) \cdot x^2$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Die Öffnung nach unten kommt dabei zustande, weil eine nicht negative Zahl $x^2$ mit einer negativen Zahl multipliziert wird. So ergeben sich Funktionswerte kleiner gleich $0$. Weißt du vorher schon, wie der Graph ungefähr verläuft, so kannst du beim Zeichnen des Koordinatensystems jenen Teil weglassen. Bei $y = (- 1) \cdot x^2$ kannst du also den positiven Teil der $y$-Achse weglassen.

    Ebenfalls ist der Graph weder auf der $x$-Achse noch auf der $y$-Achse verschoben. Er besitzt sogar der Normalparabel ganz ähnliche Funktionswerte. Lediglich das Vorzeichen ist ein anderes. So ergibt $y = (-1) \cdot x^2$ für beispielsweise $x = 2$ nicht den Funktionswert $y = 4$, sondern den negativen Wert $y = - 4$. Da dies für alle Funktionswerte zutrifft, stellt die $x$-Achse für die Funktionen $y = x^2$ und $y = (- 1) \cdot x^2$ eine Symmetrieachse dar.

  • Bestimme den Funktionsgraphen zur Funktion $y = -1 \cdot x^2$.

    Tipps

    Welche Graphen kannst du gleich ausschließen?

    Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion $y = -1 \cdot x^2$.

    Zeichne eine Skizze mit Hilfe deiner Wertetabelle.

    Lösung

    Um einer Funktion einen Graphen eindeutig zuzuordnen, bedarf es im Allgemeinen einer Wertetabelle. Für die Funktion $y = - x^2$ kann eine solche folgendermaßen aussehen:

    $\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3\\ \hline y & 0 & -1 & -1 & -4 & -4 & -9 & -9\\ \end{array}$

    Mithilfe dieser Wertetabelle kann eine Skizze angefertigt werden.

    Will man dagegen wie in dieser Aufgabe lediglich den richtigen Graphen aus vier möglichen Graphen herausfinden, so kannst du einen $x$-Wert in die Funktionsgleichung $y = - 1 \cdot x^2$ einsetzen und überprüfen, welcher der Graphen diesen Punkt, bestehend aus $x$- und $y$-Wert, besitzt. Angenommen wir wählen $x = 2$, so ergibt unsere Funktion $y = - 4$ und wir erhalten somit den Punkt $(2|- 4)$. Diesen Punkt enthält nur einer der Graphen der hier abgebildeten Funktionen.

  • Ermittle die Funktionsgleichung des abgebildeten Funktionsgraphen mit der Form $y = - a \cdot x^2$.

    Tipps

    Bestimme einen Punkt des Graphen, der sich eindeutig ablesen lässt.

    Mit welchem Parameter muss der quadrierte $x$-Wert multipliziert werden, damit sich der $y$-Wert ergibt?

    Lösung

    Eindeutig auf dem Funktionsgraphen liegende Punkte sind $(-2|-1)$ und $(2|-1)$. Da wir wissen, dass die Funktionsgleichung die Form $y=a \cdot x^2$ hat, können wir einen der beiden Punkte in die Gleichung einsetzen, sodass sich zum Beispiel $-1 = a \cdot 2^2$ ergibt. Der Parameter $a= \frac{1}{4} = 0,25$ löst diese Gleichung richtig.

    Die gesuchte Funktion heißt also $y = 0,25 \cdot x^2$.

  • Bestimme die Funktionsgleichung, welche den Querschnitt des Tunnels beschreibt.

    Tipps

    Bestimmen einen Punkt auf dem Funktionsgraphen.

    Mit welchem Parameter muss der quadrierte $x$-Wert multipliziert werden, damit sich der gefragte $y$-Wert ergibt?

    Lösung

    Der Tunnelquerschnitt lässt sich durch diesen Funktionsgraphen darstellen. Somit liegt unter anderem der Punkt $(2|-3)$ auf dem Graphen und wir suchen einen Parameter $a$, sodass die Gleichung $-3 = a \cdot 2^2$ gilt. Wir lösen nach $a$ auf und erhalten somit $a = -0,75 = -\frac{3}{4}$.

    Der Architekt sollte die Funktion $y=-0,75 \cdot x^2$ verwenden.

  • Bestimme, welche Punkte nicht auf dem Graphen der Funktion $y = - 1 \cdot x^2$ liegen.

    Tipps

    Wie kann man prüfen, ob ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt?

    Lösung

    Eine zur Funktion $y = - 1 \cdot x^2$ gehörige Wertetabelle ist die folgende:

    $\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3\\ \hline y & 0 & -1 & -1 & -4 & -4 & -9 & -9 \end{array}$

    Demnach gehören die Punkte $(- 2|- 3,5)$ und $(1|- 1,5)$ nicht zum Graphen der Funktion. Die richtigen $y$-Werte lauten $y = - 4$ und $y = - 1$.

  • Ordne die Funktionsgleichungen ihren Funktionsgraphen zu.

    Tipps

    Erstelle eine Wertetabelle.

    Vergleiche die Punkte der Wertetabelle mit den Punkten der jeweiligen Graphen.

    Lösung

    Um Funktionen einem Graphen zuzuordnen, ist es hilfreich, eine Wertetabelle zu erstellen. Tun wir dies, können wir nachfolgend die Punkte in ein Koordinatensystem zeichnen und sinnvoll verbinden.

    Eine Wertetabelle für $y = - 0,5 x^2$ sieht folgendermaßen aus: $\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 1 & -1 & 2 & -2\\ \hline y & 0 & -0,5 & -0,5 & -2 & -2\\ \end{array}$

    Gehen wir vom Graphen aus und suchen eine Funktionsgleichung der Form $y = a \cdot x^2$ mit negativem Parameter $a$, so suchen wir uns einen auf dem Funktionsgraphen liegenden Punkt, wie zum Beispiel $(2|-2)$. Nun überlegen wir, mit welcher Zahl $2^2$ multipliziert werden muss, damit das Ergebnis $y = - 2$ lautet. Das ist offenbar für $a = - 0,5$ der Fall. So lautet die Funktionsgleichung auch $y = - 0,5 x^2$.

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