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Quadratische Funktionen – y=-1·x² (1)

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Martin Wabnik
Quadratische Funktionen – y=-1·x² (1)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Funktionen – y=-1·x² (1)

Wir kennen bereits die quadratische Funktion mit dem Funktionsterm f ( x ) = x². Der Funktionsgraph hierzu ist die Normalparabel. Wie sieht nun der Funktionsgraph zu der quadratischen Funktionsgleichung y = -1x² aus? In den vorherigen Videos haben wir bereits den Einfluss des Parameter a auf die quadratischen Funktionsgleichung y = ax² geklärt, wenn a > 0 ist. Wir zeigen dir in diesem Video, wie du zu y = -1x² eine Wertetabelle aufstellst. Die Punkte liegen auf dem Graphen der Funktion f ( x ) = -1x². Nutze die Gelegenheit und versuche die Wertetabelle zunächst selbständig zu erstellen. Viel Erfolg! Im zweiten Teil des Videos zeichnen wir den Graphen der Funktion.

Transkript Quadratische Funktionen – y=-1·x² (1)

Hallo, wir haben Funktionen, die Funktionsgleichungen der folgenden Form haben, nämlich y=a×x2. Und ich möchte jetzt mal darauf eingehen, was passiert, wenn man für a eine negative Zahl einsetzt. Du kennst das wahrscheinlich schon mit positiven Zahlen, ich möchte jetzt negative Zahlen einsetzen. Ich gebe zu, das ist nicht besonders aufregend, aber das ist hier wie mit den Chernyetüden oder wie wenn man übt, in verschiedenen Tonlagen zu spielen. Das muss gemacht werden, es ist die Grundlage deiner zukünftigen Karriere. Und deshalb werde ich das hier einfach mal vorrechnen. Ich möchte für a, -1 einsetzen: a=-1. Und erhalte dann also eine Funktionsgleichung, die dann lautet: y=-1×x2. Übrigens oft wird die 1 auch weggelassen. Man schreibt dann schlicht und ergreifend y=-x2. Obwohl ich dabei eben noch einmal darauf hinweisen möchte. Ja, -x2=(-x)2, das ist jeweils was anderes. Hier wird erst x quadriert und dann kommt das - Zeichen davor, wenn hier die Klammer noch steht, dann muss ich erst was für x einsetzen, dann das Vorzeichen ändern, wegen hier des Minuseichens und dann das ganze quadrieren. Also das ist was anderes, deshalb schreibe ich hier also -1×x2, dann können keine Missverständnisse auftauchen. Jetzt brauche ich dazu noch eine Wertetabelle. Die ist auch wieder schnell gemacht, wie bei allen anderen Funktionen auch. Ich setze hier die 0 ein. 02=0, wenn ich das mit -1 multipliziere, erhalte ich wieder 0. Ich kann für x 1 einsetzen, dann steht hier x2 entspricht 12×-1=-1. Wenn ich für x -1 einsetze, dann steht hier -1×-1=1, wenn ich das mit -1 noch multipliziere, dann erhalte ich -1. Ich kann auch für x 2 einsetzen. Und dann steht hier, x2, x×x=2×2, wenn ich also für x 2 eingesetzt habe. 2×2=4×-1=-4. Du siehst auch, das ich hier immer erst das Quadrat ausrechne und dann mit 1 multipliziere, anders geht das nicht. Das ist wichtig, das du erst immer das Quadrat ausrechnest, ja ich kenne das auch, das Leute rechnen -1×. Ach ich wills gar nicht sagen, es ist falsch. Erst das Quadrat ausrechnen und dann mit -1 multiplizieren. Wenn ich für x -2 einsetze, dann rechne ich hier -22=4×-1=-4. (Und nicht -2. Ha, noch gemerkt, immerhin, so -4, wie da auch, ja man kann auch mal Fehler machen. Man muss es nur hinterher merken. Und wenn man mit etwas Überblick vorgeht, ich sagte es schon mal, in irgendeinem anderen Film, dann kriegt man das meistens auch mit. Wenn man die Ergebnisse ein bisschen überprüft. Das passt schon.) So ich möchte noch einsetzen 3 und -3, wenn ich für x 3 einsetze, steht da 32×-1=-9 und -3×-3, das rechne ich hier, wenn ich für x -3 einsetze, -3×-3=9×-1=-9. So und damit ist jetzt die Wertetabelle erledigt. Und im zweiten Teil des Films möchte ich mal eine Funktionsgrafen/Skizze anlegen und dann einen richtigen, schönen Funktionsgraphen zeigen. Bis dahin, viel Spaß. Tschüs.

Quadratische Funktionen – y=-1·x² (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen – y=-1·x² (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Sätze zur Funktion mit der Funktionsgleichung $y = a \cdot x^2$.

    Tipps

    Das Produkt einer positiven Zahl und einer negativen Zahl ist immer negativ.

    Setze $x = 2$ in die Funktionsgleichung ein.

    Lösung

    Bisher haben wir für den Parameter der Funktion mit der Funktionsgleichung $y = a \cdot x^2$ positive Zahlen eingesetzt. Auf diese Weise sind die Funktionswerte für alle $x$-Werte, ausgenommen $0$, positiv. Für den Parameter können auch negative Zahlen eingesetzt werden. Das hat zur Folge, dass die Funktionswerte, wenn wir vom $x$-Wert $0$ absehen, immer negativ sind.

    Anhand der Funktion $y = (- 1) \cdot x^2$ können wir das näher untersuchen. Wie wir bereits wissen, ist das Quadrat zweier Zahlen immer positiv. Das bedeutet also, dass wir eine positive Zahl mit $-1$ multiplizieren. Und das ergibt eine negative Zahl.

    Wenn wir uns die Wertetabelle zu $y = - x^2$ ansehen, fällt uns auf, dass diese Funktionswerte den Funktionswerten der Normalparabel, also der Funktion mit der Funktionsgleichung $y = x^2$, stark ähneln. Es steht jeweils nur ein Minuszeichen vor den $y$-Werten.

  • Bestimme die fehlenden Funktionswerte der Funktion mit der Funktionsgleichung $y = - x^2$.

    Tipps

    Die Funktionswerte ähneln denen der Funktion mit der Funktionsgleichung $y = x^2$.

    Inwiefern unterscheiden sich die jeweiligen Funktionswerte?

    $\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 1 & - 1 & 2 & - 2 & 3 & - 3\\ \hline y = x^2 & 0& 1 & 1 & 4 & 4 & 9 & 9\\ \end{array}$

    Lösung

    Die unten stehenden y-Werte sind die Funktionswerte der Funktion mit der Funktionsgleichung $y = x^2$.

    $\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 1 & - 1 & 2 & - 2 & 3 & - 3\\ \hline y = x^2 & 0& 1 & 1 & 4 & 4 & 9 & 9\\ \end{array}$

    Wollen wir nun die Funktionswerte der Funktion $y = - x^2$ bestimmen, müssen wir lediglich die jeweiligen Funktionswerte der oberen Tabelle mit einem Minuszeichen versehen. Dies gilt, da die Quadrate mit $- 1$ multipliziert werden. So werden die stets positiven Ergebnisse wieder negativ.

    Es ergibt sich also die folgende Wertetabelle für die Funktion mit der Funktionsgleichung $y = - x^2$.

    $\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 1 & - 1 & 2 & - 2 & 3 & - 3\\ \hline y=-x^2 & 0& -1 & -1 & -4 & -4 & -9 & -9\\ \end{array}$

  • Arbeite die Wertetabelle zur Funktion mit der Funktionsgleichung y = - 2 $\cdot$ x$^2$ heraus.

    Tipps

    Du erhältst den entsprechenden Funktionswert, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.

    Achte darauf, zunächst das Quadrat zu berechnen und dann mit dem Parameter zu multiplizieren.

    Für x = - 5 ergäbe sich der Funktionswert y = - 2 $\cdot$ $($- 5$)$$^2$ = - 2 $\cdot$ 25 = - 50

    Lösung

    Für die Funktion y = - 2 $\cdot$ x$^2$ lässt sich ebenfalls eine Wertetabelle anfertigen. Diese unterscheidet sich in ihren Funktionswerten von y = 2 $\cdot$ x$^2$ nur in Hinsicht auf das Vorzeichen. Die entsprechende Wertetabelle kann nun folgendermaßen aussehen.

    $\begin{array}{c|c|c} x & - 3 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline y & - 18 & - 8 & - 2 & 0 & -2 & -8 & -18\\ \end{array}$

  • Ordne den Wertetabellen die dazugehörigen Funktionen zu.

    Tipps

    Die Wertetabellen lassen sich eindeutig einer Funktion mit der Funktionsgleichung der Form $y = a \cdot x^2$ mit negativem Parameter $a$ zuordnen.

    Untersuche, mit welchem Parameter der Wert $x = 1$ multipliziert wurde, sodass sich in der jeweiligen Wertetabelle der dazugehörige Funktionswert ergibt.

    Ergibt der $x$-Wert $1$ in einer Wertetabelle den Funktionswert $-5$, so ist die Funktionsgleichung hier $y = - 5 \cdot x^2$.

    Lösung

    Funktionsgleichungen der Form $y = a \cdot x^2$ mit einem negativen Parameter a besitzen lediglich Funktionswerte, welche kleiner oder gleich $0$ sind. Das ist dadurch begründet, dass eine positive Zahl, das Ergebnis des Quadrats $x^2$ nämlich, mit dem negativen Parameter multipliziert wird. Das Produkt einer positiven Zahl mit einer negativen Zahl ist negativ. Wenn $x= 0$ ist, dann ist auch der Funktionswert $0$.

    Haben wir nun verstanden, wie ein solcher Funktionswert berechnet wird, können wir die Funktionsgleichungen den Wertetabellen zuordnen. Dafür reicht es aus, sich einen einzelnen x-Wert und den dazugehörigen Funktionswert näher anzuschauen. Wir wollen untersuchen, mit welcher Zahl das Quadrat des $x$-Wertes multipliziert wird, sodass sich der $y$-Wert ergibt. Schauen wir uns folgende Wertetabelle an.

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline y & - 6 & - 1,5 & 0 & - 1,5 & -6\\ \end{array}$

    Wählen wir einen beliebigen $x$-Wert ungleich $0$. Nehmen wir also beispielsweise $x = 1$ und $y = - 1,5$. Mathematisch können wir das so aufschreiben. Wir setzen beide Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein: $- 1,5 = a \cdot 1^2$. Nun können wir $a$ bestimmen. Offensichtlich liegt der Parameter $a = - 1,5$ vor.

    Wie du vielleicht bemerkt hast, kannst du dir unnötigen Rechenaufwand ersparen, wenn du einen günstigen $x$-Wert wie $x = 1$ wählst. Es hätte sich die Gleichung $- 6 = a \cdot (- 2)^2$ ergeben. Um hier den Parameter zu bestimmen, bedarf es etwas mehr Rechenarbeit. Es ergibt sich aber auch an dieser Stelle der Parameter $a = - 1,5$.

  • Gib an, welche Aussagen über die Funktion mit der Funktionsgleichung $y = a \cdot x^2$ stimmen.

    Tipps

    Für einen einzigen Parameter ist die Funktion $y = a \cdot x^2$ keine quadratische Funktion.

    Es gilt $(-x)^2=(-x)\cdot (-x)=x^2$

    Die Normalparabel ist achsensymmetrisch (zur y-Achse). Zu allen Funktionswerten außer $y=0$ gibt es immer zwei $x$-Werte.

    Lösung

    Bei Funktionsgleichungen der Form $y = a \cdot x^2$ können auch negative Zahlen für $a$ eingesetzt werden. Um die Wertetabelle zu erhalten, stellst du die gleichen Berechnungen an, wie bei einem positiven Parameter.

    Bei Funktionsgleichungen müssen ein paar Regeln beachtet werden. So sind $y = - x^2$ und $y = (- x)^2$ nicht gleich, was du leicht erkennst, wenn du $y = (- x)^2$ ausmultiplizierst. Das Ergebnis von $(- x) \cdot (- x)$ ist nämlich $x^2$ und nicht $- x^2$.

    Des Weiteren ist die Funktion $y = a \cdot x^2$ keine quadratische Funktion, wenn du $a = 0$ als Parameter einsetzt. Dann ergibt sich nämlich $y = 0 \cdot x^2 = 0$. Unabhängig davon, was für $x$-Werte du einsetzt, erhältst du automatisch immer den $y$-Wert $0$.

    Letztlich muss noch geklärt sein, dass die Funktionswerte einer solchen Funktion mit negativem Parameter $a$ immer kleiner oder gleich $0$ sind sowie auch die Funktionswerte bei positivem Parameter immer größer oder gleich $0$ sind. Auf den $x$-Wert $0$ haben die Parameter nämlich keinen Einfluss. Es ergibt sich immer $y = 0$.

    Führen wir uns die Wertetabelle vor Augen.

    $\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 1 & - 1 & 2 & - 2 & 3 & - 3\\ \hline y=-x^2 & 0& -1 & -1 & -4 & -4 & -9 & -9\\ \end{array}$

    Du kannst erkennen, dass der Funktionswert zu $x = 3 $ nicht $y = 9$, sondern $y = - 9$ beträgt. Außerdem gibt es zwei Punkte, welche den Funktionswert $y = - 4$ besitzen. Das sind $(2|-4)$ und $(-2|-4)$.

  • Ermittle eine Wertetabelle der Funktionsgleichung mit der Form $y = a \cdot x^2$, welche einen negativen Parameter $a$ und den Punkt $(3|- 63)$ besitzt.

    Tipps

    Bestimme zunächst den Parameter der Funktionsgleichung, indem du den Punkt in die allgemeine Form $y = a \cdot x^2$ einsetzt.

    Mit dem richtigen Parameter $a$ kannst du die Funktionsgleichung aufstellen.

    Nun lässt sich die Wertetabelle erstellen.

    Lösung

    Es sind die allgemeine Form der Funktionsgleichung und ein Punkt gegeben, welcher sich auf dem Funktionsgraphen und somit auch in der Wertetabelle wiederfindet.

    Die Funktion, welche gesucht wird, hat die Funktionsgleichung der Form $y = a \cdot x^2$. $a$ ist negativ und die Funktions besitzt den Punkt $(3|- 63)$. Der erste Schritt besteht nun darin, diesen Punkt, bestehend aus einem $x$- und einem $y$-Wert, in die allgemeine Form einzusetzen. Es ergibt sich somit die Gleichung $- 63 = a \cdot 3^2 = a \cdot 9$. Wir lösen nach $a$ auf und erhalten somit den Parameter $a = - 7$, indem wir beide Seiten durch $9$ dividieren.

    Mit der nun ermittelten Funktionsgleichung $y = - 7 \cdot x^2$ lässt sich eine Wertetabelle erstellen. Dazu setzen wir nacheinander einige $x$-Werte in die Funktion ein. Eine mögliche Wertetabelle könnte folgendermaßen aussehen.

    $\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3\\ \hline y & 0 & -7 & -7 & -28 & -28 & -63 & -63\\ \end{array}$

    Sie enthält, wie du siehst, auch den Punkt $(3|- 63)$.

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