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Quadratische Funktionen – y=-0,5·x² (2)

Bewertung

Ø 3.5 / 6 Bewertungen

Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Quadratische Funktionen – y=-0,5·x² (2)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Funktionen – y=-0,5·x² (2)

Herzlich Willkommen zum zweiten Teil des Videos „ Quadratische Funktionen y = -0.5*x² “. Im ersten Teil haben wir bereits mit dir zusammen die Wertetabelle zur quadratischen Funktion f ( x ) = -0.5x² erstellt. Nun wollen wir die Gelegenheit nutzen und die errechneten Punkte in das Koordinatensystem übertragen. Du erhältst eine Parabel. Was fällt dir an dem entstandenen Graphen auf? Die Parabel erinnert an die Normalparabel. Was hat sich jedoch verändert? Der Funktionsgraph zur quadratischen Funktion f ( x ) = -0.5x² entsteht nicht direkt aus der Achsenspiegelung der Normalparabel an der x- Achse. Die Normalparabel wurde gespiegelt und gestreckt.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Ganz amüsant, aber nicht fehlerfrei produziert. Für Versprecher, Gehüstel, zu viel überflüssige Kommentare und einer schlecht demonstrierten Vorgehensweise beim Zeichnen von Parabeln kann ich hier nicht die Note eins vergeben. Selbst als Schüler dürfte man im Referat hierfür mit keiner vollen Punktzahl rechnen.

    Von Itslearning Nutzer 2535 1139687, vor fast 2 Jahren
  2. gut erklärt :) Auch nochmal auf den "Grundstoff" hingewiesen und erklärt

    Von Jlp123 K, vor mehr als 5 Jahren
  3. Danke für die Mühe mit dem "verkehrtherumschreiben" die schönen Farben bringen mal wat anderes als die ganzen weissen tafeln in den andern videos. gruß Toni

    Von Maurerante, vor fast 6 Jahren

Quadratische Funktionen – y=-0,5·x² (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen – y=-0,5·x² (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Sätze zur quadratischen Funktion $y = - 0,5 \cdot x^2$.

    Tipps

    Der Betrag von $- 3$ und $3$ ist identisch, da $|- 3| = 3 = |3|$.

    Erstelle eine Wertetabelle und zeichne eine Skizze des Graphen.

    Lösung

    Die quadratische Funktion $y = - 0,5 \cdot x^2$ besitzt einen nach unten geöffneten Graphen, da der Parameter $- 0,5 < 0$ ist. Zudem ist auch $|- 0,5| < 1$, wodurch der Graph breiter ist als die Normalparabel.

    Der höchste Punkt ist $(0|0)$. Aufgrund der Öffnung nach unten gibt es keine Punkte auf dem Graphen, die oberhalb dieses Punktes liegen.

    Alle Punkte des Graphen sind achsensymmetrisch um die $y$-Achse, welche dann als Symmetrieachse bezeichnet wird, angeordnet. Das lässt sich dadurch erklären, dass für alle x-Werte, die den gleichen Betrag besitzen, der $y$-Wert identisch ist. $x$-Werte mit einem gleichen Betrag sind beispielsweise $x = \pm 3$ oder $x = \pm \sqrt{2}$.

  • Bestimme, welcher Graph zur Funktionsgleichung y = - 0,5 $\cdot$ x$^2$ gehört.

    Tipps

    Erstelle eine Wertetabelle.

    Überprüfe, ob sich die Punkte aus der Wertetabelle auf dem jeweiligen Graphen wiederfinden lassen.

    Lösung

    Um einen Graphen einer Funktionsgleichung zuzuordnen, reicht schon folgende Wertetabelle.

    $\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 1 & -1 & 2 & -2\\ \hline y & 0 & -0,5 & -0,5 & -2 & -2\\ \end{array}$

    Wenn du zwei Funktionen und deren Graphen miteinander vergleichen möchtest, solltest du die Wertetabellen vergleichen. Zwei verschiedene quadratische Funktionen können nicht mehr als zwei gemeinsame Punkte besitzen. Also kannst du dir sicher sein, den richtigen Graphen gefunden zu haben, wenn er drei Punkte aus der von dir angefertigten Wertetabelle besitzt.

  • Ordne den Graphen ihre Funktionsgleichung zu.

    Tipps

    Wenn du von der Funktionsgleichung ausgehst, erstelle eine kurze Wertetabelle.

    Wenn du vom Graphen ausgehst, wähle einen Punkt auf dem Graphen und untersuche, von welcher Funktion er erzeugt wird.

    Lösung

    Wenn du dem Graphen einer quadratischen Funktion eine Funktionsgleichung zuordnen möchtest, gibt es hier zwei Möglichkeiten.

    Entweder du nimmst dir eine Funktionsgleichung vor und erstellst eine Wertetabelle, um dann zu untersuchen, welcher Funktionsgraph diese Punkte besitzt. Oder du nimmst dir einen Graphen vor, liest einen Punkt ab und prüfst dann durch Einsetzen, welche Funktion diesen Punkt erzeugt.

    Anhand der Funktion y = - 0,25 $\cdot$ x$^2$ und des hier zu sehenden Graphen wollen wir uns das klarmachen.

    Die erste Möglichkeit besteht darin, sich einen Punkt, beispielsweise $($2$|$- 1$)$, zu nehmen und dann nacheinander x = 2 in die Funktionen einzusetzen, bis der Funktionswert y = - 1 herauskommt.

    Die zweite Möglichkeit besteht darin, eine kleine Wertetabelle für y = - 0,25 $\cdot$ x$^2$ zu erstellen und dann die sich ergebenden Punkte mit den Graphen zu vergleichen.

  • Bilde sinnvolle Sätze zu Funktionen der Form y = a $\cdot$ x$^2$.

    Tipps

    Der Parameter a entscheidet darüber, ob ein Funktionsgraph nach oben oder unten geöffnet ist.

    Außerdem wird die Breite durch den Parameter a geregelt.

    Wenn du für den Parameter a eine negative Zahl einsetzt, so ist das Ergebnis mit Ausnahme von $x=0$ auch negativ.

    Je größer eine positive Zahl, desto schneller steigt der Graph. Je kleiner eine negative Zahl, desto schneller sinkt der Graph.

    Lösung

    Quadratische Funktionen der Form y = a $\cdot$ x$^2$ besitzen einen Parameter a, welcher die Breite des Graphen beeinflusst und entscheidet, ob ein Graph nach unten oder oben geöffnet ist.

    Einerseits gilt, dass ein Funktionsgraph nach oben geöffnet ist, wenn der Parameter a > 0 ist. Dann gibt es zwei mögliche Fälle. Entweder der Parameter ist größer als 1 und der Funktionsgraph ist somit schmal oder der Parameter liegt zwischen 0 und 1 und der Graph der Funktion ist in der Folge breit.

    Andererseits ist ein Funktionsgraph nach unten geöffnet, wenn der Parameter a negativ ist. Auch hier gibt es zwei Unterscheidungen. Entweder der Parameter a ist kleiner als - 1 und der Funktionsgraph schmal oder der Parameter a liegt zwischen - 1 und 0 und der Graph der Funktion ist dann breit.

    Allgemein lässt sich Folgendes festhalten:

    • Je größer eine positive Zahl, desto schneller steigt der Graph.
    • Je kleiner eine negative Zahl, desto schneller sinkt der Graph.
  • Gib an, welche Aussagen über das Zeichnen des Funktionsgraphen zu $y = - 0,5 \cdot x^2$ stimmen.

    Tipps

    Erstelle eine Wertetabelle für $y = - 0,5 \cdot x^2$ und zeichne den Funktionsgraphen.

    Zahlen, die sich auf dem Zahlenstrahl weiter links als andere befinden, sind kleiner.

    Eine Symmetrieachse spiegelt Punkte.

    Lösung

    Wenn du einen Graphen skizzieren möchtest, benutzt du eine Wertetabelle, in welcher du die Punkte des Graphen übersichtlich auflisten kannst. Du wählst wohl in der Regel eine Wertetabelle mit $x$-Werten $0$, $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$ ..., jedoch gibt es beliebig viele andere Wertetabellen, die du anfertigen könntest. Manchmal sind beispielsweise etwas feinere Wertetabellen sinnvoll, die dir mehr Funktionswerte liefern.

    Möchtest du ein Koordinatensystem sinnvoll anlegen, dann solltest du dir vorher überlegen, wie der Graph etwa verlaufen wird. Der Graph der Funktion $y = - 0,5 \cdot x^2$ verläuft hier zum Beispiel nicht oberhalb der $x$-Achse. Dieser Teil kann also weggelassen werden.

    Für negative Zahlen gilt dasselbe Prinzip wie für positive Zahlen. So ist eine Zahl kleiner als eine andere, wenn sie auf dem Zahlenstrahl weiter links liegt. Es gilt also $- 4,5 < - 2 < 0$. Auf diese Weise lässt sich auch erkennen, dass $(0|0)$ der höchste Punkte unseres Graphen ist.

    Wenn du dir den Funktionsgraphen noch einmal vor Augen führst, kannst du beobachten, dass die Funktionswerte sich so anordnen, dass die $y$-Achse, nicht die $x$-Achse, eine Symmetrieachse darstellt. So sind $(1|- 0,5)$ und $(- 1|- 0,5)$ ebenso wie $(2|- 2)$ und $(- 2|- 2)$ Spiegelungspunkte.

  • Bestimme die Funktionsgleichung des abgebildeten Graphen.

    Tipps

    Ermittle einen Punkt, der auf dem Graphen liegt.

    Setze die abgelesenen Koordinaten des Punktes in die allgemeine Form y = a $\cdot$ x$^2$ ein und bestimme a.

    Lösung

    Der Graph der quadratischen Funktion ist nicht verschoben und besitzt somit eine Funktionsgleichung der Form y = a $\cdot$ x$^2$. Wie wir wissen, beeinflusst die Wahl des Parameters a die Breite und somit natürlich auch die Funktionswerte der Funktion.

    Aus dem Koordinatensystem können wir deutlich ablesen, dass die Punkte $($2$|$- 5$)$ und $($- 2$|$- 5$)$ auf dem Graphen liegen. Daher können wir z.B. x = 2 und y = - 5 in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen und nach a auflösen:

    $\begin{align} -5 &= a \cdot 2^2 &|& :4 \\ \Leftrightarrow a &= - \frac{5}{4} = - 1,25 \end{align}$

    Die Funktionsgleichung lautet somit y = - 1,25 $\cdot$ x$^2$.

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