Prozentangaben verstehen

Prozentangaben verstehen Übung

• Berechne die Mindestgröße der Grundmenge für die gegebene Studie.

  Tipps

  Prozent bedeutet „von Hundert“.

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  $27\%=\frac{27}{100}=\frac{54}{200}$.

  Wenn du einen Bruch erweitern willst, musst du den Zähler und den Nenner mit derselben Zahl multiplizieren.

  Lösung

  Wir betrachten hier eine Studie zu einem Medikament, welches bei $37\%$ der Probanden gewirkt haben soll.

  Doch wie sind solche Prozentangaben zu verstehen? Woher weiß man, wie viele Probanden das Medikament tatsächlich getestet haben?

  Mindestanzahl aller Probanden

  Bei Prozentangaben können wir die Mindestanzahl aller Probanden bestimmen. Hierzu schreiben wir die Prozentangabe als einen Bruch und kürzen diesen so weit wie möglich. Prozent bedeutet „von Hundert“, sodass $37\%$ wie folgt als Bruch geschrieben werden kann:

  • $37\%=\frac{37}{100}$.

  Diesen Bruch können wir nicht weiter kürzen, sodass mindestens $100$ Probanden an der Studie teilgenommen haben müssen.

  Mögliche Anzahl aller Probanden

  Wir können den Bruch aber erweitern, indem wir den Zähler und den Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Erweitern wir ihn mit $2$, so folgt:

  • $\frac{37\cdot 2}{100\cdot 2}=\frac{74}{200}$.

  Sollten also $200$ Probanden an dieser Studie teilgenommen haben, so hat das Medikament bei $74$ Probanden gewirkt.

• Gib an, wie viele Probanden mindestens an der Studie teilgenommen haben müssen.

  Tipps

  Du kürzt einen Bruch, indem du den Zähler und den Nenner durch dieselbe Zahl teilst.

  Der Nenner des gekürzten Bruches gibt dir die Anzahl aller Elemente der Grundmenge, also die Mindestanzahl der Probanden, für die jeweilige Prozentangabe an.

  Lösung

  Wir betrachten hier eine Studie zu einem Medikament, welches bei $50\%$ aller Probanden gewirkt haben soll.

  Mindestanzahl aller Probanden

  Wir möchten die Mindestgröße der Grundmenge zu dieser Prozentangabe bestimmen. Diese ist die Mindestanzahl aller Probanden, die an der Studie teilgenommen haben müssen. Hierzu schreiben wir die Prozentangabe als einen Bruch und kürzen diesen so weit wie möglich. Prozent bedeutet „von Hundert“, sodass $50\%$ wie folgt als Bruch geschrieben werden kann:

  • $50\%=\frac{50}{100}$.

  Diesen Bruch können wir nun kürzen, indem wir den Zähler und den Nenner durch $50$ teilen. Es folgt:

  • $\frac{50~:~50}{100~:~50}=\frac 12$.

  An dieser Studie müssen also mindestens $2$ Probanden teilgenommen haben. Wenn es wirklich nur zwei Probanden gewesen sind, hat das Medikament bei einem von ihnen gewirkt.

• Ermittle, wie viele Mitglieder der Verein mindestens haben muss.

  Tipps

  Prozent heißt „von Hundert“. Wandle also zunächst die Prozentangabe in einen Bruch mit dem Nenner $100$ um.

  Möchtest du einen Bruch so weit wie möglich kürzen, so suchst du zunächst den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. Dann teilst du Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler.

  Lösung

  Um die Mindestanzahl der Mitglieder eines Vereins, bei dem sich $70\%$ der Mitglieder für die Organisation eines Sommerfestes bereit erklären, zu bestimmen, müssen wir wie folgt vorgehen:

  • Wir wandeln die Prozentangabe $70\%$ in den Bruch $\frac {70}{100}$ um.
  • Nun bestimmen wir den größten gemeinsamen Teiler von $70$ und $100$. Dieser ist $10$. Mit diesem können wir den Bruch so weit wie möglich kürzen.
  • So erhalten wir den Bruch $\frac 7{10}$.
  • Demnach muss der Verein mindestens $10$ Mitglieder haben.

• Ermittle die Anzahl der Probanden einer Studie, bei denen das Medikament gewirkt hat.

  Tipps

  Wandle die Prozentangabe zunächst in einen Bruch mit dem Nenner $100$ um. Diesen kannst du dann entsprechend kürzen oder erweitern.

  Du musst den Bruch so kürzen oder erweitern, dass der Nenner der jeweiligen Gesamtzahl der Probanden entspricht. Der Zähler verrät dir dann die Anzahl der Probanden, bei denen die Salbe gewirkt hat.

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  In einer Studie haben Probanden eine neue Kekssorte getestet. $26\%$ von ihnen hat die neue Kekssorte geschmeckt. Als Bruch lautet diese Prozentangabe:

  • $\frac {26}{100}$.

  Bei $100$ Probanden hat die Kekssorte also $26$ Probanden geschmeckt. Falls $200$ Probanden die Kekssorte getestet haben, so erweitern wir diesen Bruch zu:

  • $\frac {26\cdot 2}{100\cdot 2}=\frac{52}{200}$.

  Bei $200$ Probanden hat die Kekssorte also $52$ Probanden geschmeckt.

  Lösung

  Wir wissen, dass bei $64\%$ aller Probanden die Salbe gewirkt hat. Als Bruch lautet diese Prozentangabe:

  • $\frac {64}{100}$.

  Bei insgesamt $100$ Probanden wirkt die Salbe also bei $64$ von ihnen. Möchten wir andere Gesamtzahlen für die Probanden betrachten, so müssen wir den Bruch so erweitern oder kürzen, dass die jeweilige Gesamtzahl im Nenner des Bruches steht. Es folgt dann:

  • $\frac {64:2}{100:2}=\frac{32}{50}$

  • $\frac {64\cdot 3}{100\cdot 3}=\frac{192}{300}$

  • $\frac {64:4}{100:4}=\frac{16}{25}$

• Bestimme den vollständig gekürzten Bruch.

  Tipps

  Möchtest du den Bruch $\frac ab$ so weit wie möglich kürzen, so musst du den Zähler $a$ und den Nenner $b$ durch den größten gemeinsamen Teiler von $a$ und $b$ teilen.

  Schau dir die Teilermengen der Zahlen $25$ und $100$ an:

  • $T_{25}=\{1;5;25\}$
  • $T_{100}=\{1;2;4;5;10;20;25;50;100\}$

  Der größte gemeinsame Teiler ist also $25$.

  Falls du den größten gemeinsamen Teiler nicht kennst, kannst du einen Bruch auch in mehreren Schritten kürzen. Schau dir hierzu das folgende Beispiel zu $\frac{24}{120}$ an:

  • $\frac{24:2}{120:2}=\frac{12}{60}$
  • $\frac{12:2}{60:2}=\frac{6}{30}$
  • $\frac{6:6}{30:6}=\frac{1}{5}$

  Lösung

  Möchtest du einen Bruch $\frac ab$ so weit wie möglich kürzen, so musst du den Zähler $a$ und den Nenner $b$ durch den größten gemeinsamen Teiler von $a$ und $b$ teilen. Oder du kürzt den Bruch in mehreren Schritten, bis er sich nicht weiter kürzen lässt.

  Schauen wir uns doch mal die gegebenen Beispiele an:

  Beispiel 1: $~\frac{25}{100}$

  Der größte gemeinsame Teiler von $25$ und $100$ ist die $25$. Wenn man das nicht weiß, so kann man zunächst mit $5$ kürzen. Wir kürzen hier mal in mehreren Schritten:

  • $\frac{25:5}{100:5}= \frac{5}{20}$.

  Diesen Bruch können wir wieder mit $5$ kürzen:

  • $\frac{5:5}{20:5}=\frac 14$.

  Der vollständig gekürzte Bruch lautet somit $\frac 14$.

  Beispiel 2: $~\frac{44}{100}$

  Der größte gemeinsame Teiler von $44$ und $100$ ist die $4$. Es folgt:

  • $\frac{44:4}{100:4}= \frac{11}{25}$.

  Der vollständig gekürzte Bruch lautet somit $\frac {11}{25}$.

  Beispiel 3: $~\frac{35}{100}$

  Der größte gemeinsame Teiler von $35$ und $100$ ist die $5$. Es folgt:

  • $\frac{35:5}{100:5}= \frac{7}{20}$.

  Der vollständig gekürzte Bruch lautet somit $\frac 7{20}$.

  Beispiel 4: $~\frac{60}{100}$

  Der größte gemeinsame Teiler von $60$ und $100$ ist die $20$. Es folgt:

  • $\frac{60:20}{100:20}= \frac{3}{5}$.

  Der vollständig gekürzte Bruch lautet somit $\frac 35$.

• Bestimme die Mindestanzahl der Elemente in der Grundmenge der gegebenen Prozentangaben.

  Tipps

  Wandle zunächst die Prozentangabe in einen Bruch mit dem Nenner $100$ um. Überprüfe dann, ob sich dieser Bruch noch kürzen lässt. Kürze so weit wie möglich.

  Ist der Bruch so weit wie möglich gekürzt, so entspricht der Nenner der gesuchten Mindestanzahl der Elemente in der Grundmenge.

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  • $95\%=\frac{95}{100}=\frac{19}{20}$.

  Lösung

  Wir wandeln die Prozentangaben zunächst in Brüche mit dem Nenner $100$ um. Wir überprüfen dann, ob sich die Brüche noch kürzen lassen. Wir kürzen so weit wie möglich. Der Nenner des vollständig gekürzten Bruches entspricht der Mindestanzahl der Elemente in der Grundmenge der zugehörigen Prozentangabe. Es folgt:

  Mindestanzahl der Elemente in der Grundmenge ist $100$

  • $81\%=\frac{81}{100}$
  • $43\%=\frac{43}{100}$

  Mindestanzahl der Elemente in der Grundmenge ist $20$

  • $65\%=\frac{65}{100}=\frac{13}{20}$
  • $55\%=\frac{55}{100}=\frac{11}{20}$
  • $15\%=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}$

  Mindestanzahl der Elemente in der Grundmenge ist $5$

  • $20\%=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$
  • $60\%=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$
  • $40\%=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}$

  Mindestanzahl der Elemente in der Grundmenge ist $5$

  • $25\%=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
  • $75\%=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$