Prozentangaben verstehen 03:28 min
Transkript Prozentangaben verstehen
Hallo. Prozentangaben verstehen, das ist unser Thema. Und dabei geht es zum einen darum, wie du die Prozentangaben in Brüche umwandeln kannst. Und zum anderen geht es darum, wie du an einer Prozentangabe ablesen kannst, wie groß die Grundmenge, die dahinter ist, mindestens sein muss. Ja, auch das kann man bei solchen Angaben ablesen. Und hier kommt eine Aufgabe dazu: Stellen wir uns dazu eine Studie zu einem neuen Medikament vor. Und da steht zum Beispiel, dass das Medikament 37% der Probanden geholfen hat. Die Menge der Probanden ist hier die Grundmenge. Nur eben zur Einordnung der Sache: In Deutschland, Österreich und der Schweiz, zum Beispiel, müssen Medikamente an Menschen getestet werden, bevor sie in Apotheken verkauft werden dürfen. Und das hat den Sinn, dass, wenn du ein Medikament nimmst, du sicher sein kannst, dass dessen Wirksamkeit nachgewiesen ist. Aber zurück zu unseren 37%. Prozente sind Hundertstel. Und 37 Prozent sind 37 100stel. Was bedeutet das jetzt für die Grundmenge. Also wie viele Probanden waren mindestens an der Studie beteiligt? Mindestens 100. Denn sonst könnte das Medikament Rüttelin nicht bei 37 von 100 Probanden gewirkt haben. Möglich wären aber auch 200 Probanden oder andere vielfache von 100. Bei 200 Probanden hätte es dann bei 74 Probanden gewirkt, weil gilt: 74/200 sind gekürzt mit zwei 37/100 und das sind 37%. Wie sieht es aus, wenn Rüttelin bei 40 Prozent der Probanden den Rappel verhindert. Dann haben wir 40 Prozent und das sind 40/100. Und das sind 4/10. Die Grundmenge kann dann aus zehn Probanden bestehen, es sind aber auch Vielfache von Zehn denkbar, zum Beispiel 20 Probanden. Wenn Rüttelin dann bei acht Probanden wirkt, sind das 40 Prozent. Man kann das Ganze noch auf die Spitze treiben, nämlich wenn das Medikament bei 50 Prozent der Probanden den Rappel verhindert. 50 Prozent sind 50/100. Und gekürzt ist das ein halb. Es reichen also zwei Probanden, um auf einen Anteil von 50 Prozent zu kommen. Also dann: Wir haben gesehen, dass Prozente Hundertstel sind und wie man die als Brüche schreiben kann und wir haben auch gesehen, wie wir an den gekürzten Brüchen erkennen können, wie viel Elemente eine Grundmenge mindestens haben muss. Und das Beispiel mit den Medikamenten habe ich gewählt, weil du ja durchaus mal auf die Idee kommen könntest, wenn du jetzt ein Medikament nimmst, dich zu fragen: Woher weiß ich, dass das wirksam ist? Naja, jetzt weißt du es. Weil das vorher in einer klinischen Studie bestätigt worden ist. Das war es dazu, viel Spaß damit. Tschüss.
Videobeschreibung
In Aufgaben zur Stochastik sind die Wahrscheinlichkeiten oft in Form von Prozenten gegeben. Diese Prozente kannst du in Brüche umwandeln, um z.B. etwas über die Grundmenge zu erfahren. Prozente sind Hundertstel. So sind z.B. 75 % gleich 75/100. Wenn du diesen Bruch kürzt, erhältst du 3/4. Wenn du erfährst, dass z.B. ein Medikament in 75% der untersuchten Patienten geholfen hat, verbindest du damit vielleicht die Aussage, dass das Medikament an 100 oder vielleicht noch viel mehr Personen getestet wurde. Weil 75% aber gleich 3/4 ist, könnte es auch sein, dass das Medikament an nur 4 Personen getestet wurde. Wenn sich ein solcher Test auf eine Grundmenge von nur 4 Patienten bezieht, ist er weniger aussagekräftig als wenn mehr Testpersonen beteiligt waren.
Der Tutor:
Mathematik / mathematische Logik
Prozentangaben verstehen
Prozentangaben verstehen Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentangaben verstehen kannst du es wiederholen und üben.
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Berechne die Mindestgröße der Grundmenge für die gegebene Studie.
Tipps
Prozent bedeutet „von Hundert“.
Schau dir folgendes Beispiel an:
$27\%=\frac{27}{100}=\frac{54}{200}$.
Wenn du einen Bruch erweitern willst, musst du den Zähler und den Nenner mit derselben Zahl multiplizieren.
Lösung
Wir betrachten hier eine Studie zu einem Medikament, welches bei $37\%$ der Probanden gewirkt haben soll.
Doch wie sind solche Prozentangaben zu verstehen? Woher weiß man, wie viele Probanden das Medikament tatsächlich getestet haben?
Mindestanzahl aller Probanden
Bei Prozentangaben können wir die Mindestanzahl aller Probanden bestimmen. Hierzu schreiben wir die Prozentangabe als einen Bruch und kürzen diesen so weit wie möglich. Prozent bedeutet „von Hundert“, sodass $37\%$ wie folgt als Bruch geschrieben werden kann:
- $37\%=\frac{37}{100}$.
Mögliche Anzahl aller Probanden
Wir können den Bruch aber erweitern, indem wir den Zähler und den Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Erweitern wir ihn mit $2$, so folgt:
- $\frac{37\cdot 2}{100\cdot 2}=\frac{74}{200}$.
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Gib an, wie viele Probanden mindestens an der Studie teilgenommen haben müssen.
Tipps
Du kürzt einen Bruch, indem du den Zähler und den Nenner durch dieselbe Zahl teilst.
Der Nenner des gekürzten Bruches gibt dir die Anzahl aller Elemente der Grundmenge, also die Mindestanzahl der Probanden, für die jeweilige Prozentangabe an.
Lösung
Wir betrachten hier eine Studie zu einem Medikament, welches bei $50\%$ aller Probanden gewirkt haben soll.
Mindestanzahl aller Probanden
Wir möchten die Mindestgröße der Grundmenge zu dieser Prozentangabe bestimmen. Diese ist die Mindestanzahl aller Probanden, die an der Studie teilgenommen haben müssen. Hierzu schreiben wir die Prozentangabe als einen Bruch und kürzen diesen so weit wie möglich. Prozent bedeutet „von Hundert“, sodass $50\%$ wie folgt als Bruch geschrieben werden kann:
- $50\%=\frac{50}{100}$.
- $\frac{50~:~50}{100~:~50}=\frac 12$.
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Ermittle, wie viele Mitglieder der Verein mindestens haben muss.
Tipps
Prozent heißt „von Hundert“. Wandle also zunächst die Prozentangabe in einen Bruch mit dem Nenner $100$ um.
Möchtest du einen Bruch so weit wie möglich kürzen, so suchst du zunächst den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. Dann teilst du Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler.
Lösung
Um die Mindestanzahl der Mitglieder eines Vereins, bei dem sich $70\%$ der Mitglieder für die Organisation eines Sommerfestes bereit erklären, zu bestimmen, müssen wir wie folgt vorgehen:
- Wir wandeln die Prozentangabe $70\%$ in den Bruch $\frac {70}{100}$ um.
- Nun bestimmen wir den größten gemeinsamen Teiler von $70$ und $100$. Dieser ist $10$. Mit diesem können wir den Bruch so weit wie möglich kürzen.
- So erhalten wir den Bruch $\frac 7{10}$.
- Demnach muss der Verein mindestens $10$ Mitglieder haben.
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Ermittle die Anzahl der Probanden einer Studie, bei denen das Medikament gewirkt hat.
Tipps
Wandle die Prozentangabe zunächst in einen Bruch mit dem Nenner $100$ um. Diesen kannst du dann entsprechend kürzen oder erweitern.
Du musst den Bruch so kürzen oder erweitern, dass der Nenner der jeweiligen Gesamtzahl der Probanden entspricht. Der Zähler verrät dir dann die Anzahl der Probanden, bei denen die Salbe gewirkt hat.
Schau dir folgendes Beispiel an:
In einer Studie haben Probanden eine neue Kekssorte getestet. $26\%$ von ihnen hat die neue Kekssorte geschmeckt. Als Bruch lautet diese Prozentangabe:
- $\frac {26}{100}$.
- $\frac {26\cdot 2}{100\cdot 2}=\frac{52}{200}$.
Lösung
Wir wissen, dass bei $64\%$ aller Probanden die Salbe gewirkt hat. Als Bruch lautet diese Prozentangabe:
- $\frac {64}{100}$.
- $\frac {64:2}{100:2}=\frac{32}{50}$
- $\frac {64\cdot 3}{100\cdot 3}=\frac{192}{300}$
- $\frac {64:4}{100:4}=\frac{16}{25}$
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Bestimme den vollständig gekürzten Bruch.
Tipps
Möchtest du den Bruch $\frac ab$ so weit wie möglich kürzen, so musst du den Zähler $a$ und den Nenner $b$ durch den größten gemeinsamen Teiler von $a$ und $b$ teilen.
Schau dir die Teilermengen der Zahlen $25$ und $100$ an:
- $T_{25}=\{1;5;25\}$
- $T_{100}=\{1;2;4;5;10;20;25;50;100\}$
Falls du den größten gemeinsamen Teiler nicht kennst, kannst du einen Bruch auch in mehreren Schritten kürzen. Schau dir hierzu das folgende Beispiel zu $\frac{24}{120}$ an:
- $\frac{24:2}{120:2}=\frac{12}{60}$
- $\frac{12:2}{60:2}=\frac{6}{30}$
- $\frac{6:6}{30:6}=\frac{1}{5}$
Lösung
Möchtest du einen Bruch $\frac ab$ so weit wie möglich kürzen, so musst du den Zähler $a$ und den Nenner $b$ durch den größten gemeinsamen Teiler von $a$ und $b$ teilen. Oder du kürzt den Bruch in mehreren Schritten, bis er sich nicht weiter kürzen lässt.
Schauen wir uns doch mal die gegebenen Beispiele an:
Beispiel 1: $~\frac{25}{100}$
Der größte gemeinsame Teiler von $25$ und $100$ ist die $25$. Wenn man das nicht weiß, so kann man zunächst mit $5$ kürzen. Wir kürzen hier mal in mehreren Schritten:
- $\frac{25:5}{100:5}= \frac{5}{20}$.
- $\frac{5:5}{20:5}=\frac 14$.
Beispiel 2: $~\frac{44}{100}$
Der größte gemeinsame Teiler von $44$ und $100$ ist die $4$. Es folgt:
- $\frac{44:4}{100:4}= \frac{11}{25}$.
Beispiel 3: $~\frac{35}{100}$
Der größte gemeinsame Teiler von $35$ und $100$ ist die $5$. Es folgt:
- $\frac{35:5}{100:5}= \frac{7}{20}$.
Beispiel 4: $~\frac{60}{100}$
Der größte gemeinsame Teiler von $60$ und $100$ ist die $20$. Es folgt:
- $\frac{60:20}{100:20}= \frac{3}{5}$.
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Bestimme die Mindestanzahl der Elemente in der Grundmenge der gegebenen Prozentangaben.
Tipps
Wandle zunächst die Prozentangabe in einen Bruch mit dem Nenner $100$ um. Überprüfe dann, ob sich dieser Bruch noch kürzen lässt. Kürze so weit wie möglich.
Ist der Bruch so weit wie möglich gekürzt, so entspricht der Nenner der gesuchten Mindestanzahl der Elemente in der Grundmenge.
Schau dir folgendes Beispiel an:
- $95\%=\frac{95}{100}=\frac{19}{20}$.
Lösung
Wir wandeln die Prozentangaben zunächst in Brüche mit dem Nenner $100$ um. Wir überprüfen dann, ob sich die Brüche noch kürzen lassen. Wir kürzen so weit wie möglich. Der Nenner des vollständig gekürzten Bruches entspricht der Mindestanzahl der Elemente in der Grundmenge der zugehörigen Prozentangabe. Es folgt:
Mindestanzahl der Elemente in der Grundmenge ist $100$
- $81\%=\frac{81}{100}$
- $43\%=\frac{43}{100}$
- $65\%=\frac{65}{100}=\frac{13}{20}$
- $55\%=\frac{55}{100}=\frac{11}{20}$
- $15\%=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}$
- $20\%=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$
- $60\%=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$
- $40\%=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}$
- $25\%=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
- $75\%=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$
Hallo Ronja 15,
das ist korrekt. Du kannst statt 4 von 10 Personen auch 2 von 5 Personen betrachten und hast wieder 40%.
Liebe Grüße aus der Redaktion
Beim zweiten beispiel kommt 4/10 raus. Aber es könnten doch auch 2/5 sein, oder? :)
Ich habe es ein bisschen mehr verstanden.
Cooles Video
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Es hat mir nicht wirklich geholfen , ich hatte die Aufgabe dann falsch ich weiß nicht.... vielleicht besser und leichter erklären damit es auch andere verstehen die nicht so gut in Mathe sind.. also ich muss jetzt leider wo anders schauen hat nichts gebracht. Schade!😐