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Prozentangaben bestimmen

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Martin Wabnik
Prozentangaben bestimmen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Prozentangaben bestimmen

In vielen Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung geht es darum, fehlende Prozentangaben zu finden. Zum Beispiel: Alle Elemente einer Menge sind blau, gelb oder rot. 50% sind rot oder gelb. 10% sind gelb. Wieviel Prozent der Elemente sind blau? Wieviel Prozent sind rot? Um eine solche Aufgabe zu lösen, kannst du mit den Angaben anfangen, aus denen du eindeutig etwas schließen kannst. Z.B. kannst du aus den Angabe, dass 50% rot oder gelb sind, schließen, dass die anderen 50% weder rot noch gelb sind. In der obigen Aufgabe bedeutet das, dass 50% blau sind, denn das ist die einzige Farbe, die weder rot noch gelb ist. Manchmal haben solche Aufgaben mehrere richtige Lösungen. Das wird im Aufgabentext normalerweise auch angedeutet.

21 Kommentare

21 Kommentare
  1. Gut erklärt 👍

    Von Janne H., vor 10 Tagen
  2. Danke hab jetzt alles verstanden

    Von Rn Albrecht, vor 5 Monaten
  3. Hab es gut verstanden. Auf welcher Schule unterrichtet der man im Video?

    Von Stephanieherzinger, vor 5 Monaten
  4. es war sehr gut erklärt bist ein ehrenmann

    Von Newk9, vor 8 Monaten
  5. hallo

    Von Pia E., vor 9 Monaten
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Prozentangaben bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentangaben bestimmen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man auf den jeweiligen Anteil der Farben kommen kann.

    Tipps

    Prozent steht für geteilt durch $100$. Also entspricht ein Ganzes $100~\%$.

    Wenn du zum Beispiel weißt, dass $40~\%$ einer Hundefamilie Beagle sind, dann sind die verbleibenden $100~\%-40~\%=60~\%$ der Hundefamilie keine Beagle.

    Lösung

    Alle Steine sind blau, gelb oder rot. $50~\%$ sind rot oder gelb. $10~\%$ sind gelb.

    Wie viel Prozent der Steine sind blau? Wie viel Prozent sind rot?

    Wir wissen, dass $50~\%$ der Steine rot oder gelb sind. Daher müssen die übrigen $50~\%$ der Steine blau sein.

    Da $10~\%$ der Steine gelb sind, verbleiben für die roten Steine die restlichen $40~\%$.

  • Bestimme jeweils den Anteil der verschiedenfarbigen Steine.

    Tipps

    Überlege dir, welchen Anteil du direkt berechnen kannst.

    Mit dem so berechneten Anteil (dem der grünen Steine) kann ein weiterer Anteil berechnet werden.

    In den obigen Prozentangaben kommen die blauen Steine nicht vor. Es müssen zuvor also die Prozentangaben aller übrigen Steine berechnet werden, bevor der Anteil der blauen Steine bestimmt werden kann.

    Lösung

    Alle Steine sind rot, gelb, grün oder blau: $90~\%$ sind nicht grün, $55~\%$ sind rot oder gelb und $25~\%$ sind gelb oder grün.

    In den beiden letzten Angaben sind immer zwei Farben gegeben. Es müsste jedoch der Anteil von einer der beiden bekannt sein, um den anderen zu berechnen.

    Nun ist allerdings bekannt, dass $90~\%$ der Steine nicht grün sind. Daraus kann man sofort folgern, dass $100~\%-90~\%=10~\%$ der Steine grün sind. Mit diesem Wissen geht es nun weiter:

    • $25~\%$ sind gelb oder grün: Da bereits $10~\%$ grün sind, müssen $25~\%-10~\%=15~\%$ gelb sein.
    • $55~\%$ sind rot oder gelb: Der Anteil der gelben Steine ist $15~\%$. Somit ist $55~\%-15~\%=40~\%$ der Anteil der roten Steine.
    Fehlen nur noch die blauen Steine. Deren Anteil lässt sich wie folgt berechnen: Von $100~\%$ wird die Summe der bisherigen Anteile subtrahiert.

    • $100~\%-( 10~\%+15~\%+40~\%)=100~\%-65~\%=35~\%$
  • Entscheide, welche Farbkombinationen noch möglich sind.

    Tipps

    Wenn du den Anteil der roten Steine kennst, kannst du damit zunächst den der gelben berechnen.

    Wenn du den Anteil der gelben Steine kennst, kannst du damit den Anteil der blauen berechnen.

    Der Anteil der grünen Steine ergibt sich, indem du von $100~\%$ die Summe der bereits bekannten Prozentangaben subtrahierst.

    Lösung

    Alle Steine sind rot, gelb, grün oder blau.

    $50~\%$ sind rot oder gelb, $50~\%$ sind blau oder gelb.

    Bei dieser Formulierung müssten weitere Angaben gegeben sein, um die übrigen Anteile bestimmen zu können:

    $20~\%$ der Steine sind rot:

    • Dann müssen $50~\%-20~\%=30~\%$ der Steine gelb sein.
    • Damit wiederum sind $50~\%-30~\%=20~\%$ der Steine blau.
    • Zu guter Letzt sind die übrigen $30~\%$ der Steine grün.
    $40–\%$ der Steine sind rot:
    • Dann müssen $50~\%-40~\%=10~\%$ der Steine gelb sein.
    • Damit wiederum sind $50~\%-10~\%=40~\%$ der Steine blau.
    • Dann sind die übrigen $10~\%$ der Steine grün.
    $25–\%$ der Steine sind rot:
    • Dann müssen $50~\%-25~\%=25~\%$ der Steine gelb sein.
    • Damit wiederum sind $50~\%-25~\%=25~\%$ der Steine blau.
    • Zu guter Letzt sind die übrigen $25~\%$ der Steine grün.
    $50–\%$ der Steine sind rot:
    • Dann müssen $50~\%-50~\%=0~\%$ der Steine gelb sein.
    • Damit wiederum sind $50~\%-0~\%=50~\%$ der Steine blau.
    • Daher sind die übrigen $0~\%$ der Steine grün. Es gibt also keine grünen Steine.

  • Leite den jeweiligen prozentualen Anteil der verschiedenfarbigen Kugeln her.

    Tipps

    Insgesamt muss sich eine Summe von $100~\%$ ergeben.

    Wenn du eine Kombination von Kugeln betrachtest, kannst du den Anteil der fehlenden durch Subtraktion berechnen.

    Die Reihenfolge ist in diesem Beispiel nicht fest. Du hättest auch mit

    „$70~\%$ der Kugeln sind blau oder grün.“

    beginnen können. Dann kannst du den Anteil der roten Kugeln berechnen.

    Lösung

    In einer Urne befinden sich verschiedenfarbige Kugeln: $60~\%$ der Kugeln sind rot oder grün und $70~\%$ der Kugeln sind blau oder grün.

    Hier fehlt doch was, kann man sich fragen. Nein! Es sind alle Angaben da, sodass die jeweiligen Anteile eindeutig berechnet werden können.

    Da der Anteil der roten und grünen Kugeln gegeben ist, ist der verbleibende Teil $100~\%-60~\%=40~\%$ der gesuchte Anteil der blauen Kugeln.

    Damit kann dann der Anteil der grünen Kugeln berechnet werden: $70~\%-40~\%=30~\%$.

    Es fehlen nur noch die roten Kugeln. Entweder man zieht die bisherigen Anteile von $100~\%$ ab oder verwendet den Anteil der roten oder grünen Kugeln. Es ist egal, es kommt beide Male das Gleiche heraus:

    $60~\%-30~\%=30~\%$.

  • Gib den jeweiligen Anteil der Farben an.

    Tipps

    Es müssen beide der obigen Bedingungen erfüllt sein.

    Achte darauf, ob eine Farbe in beiden Bedingungen enthalten ist und sich somit "doppelt auswirkt".

    Sei $g$ der prozentuale Anteil von gelben Steinen und $r$ der von roten, dann muss gelten

    $g~\%+r~\%=50~\%$.

    Beispiel:

    $50~\%$ der Steine sind rot und $50~\%$ gelb.

    Diese Aussage ist nicht korrekt, denn dann wären $100~\%$ der Steine rot oder gelb, was aber nach der Bedingung 1 nicht sein darf.

    Lösung

    Alle Steine sind rot, gelb, grün oder blau.

    $50~\%$ sind rot oder gelb, $50~\%$ sind blau oder gelb.

    Bei dieser Formulierung ist nicht eindeutig, wie die Steine verteilt sind.

    Es könnten zum Beispiel $50~\%$ der Steine gelb sein. Dann sind beide Angaben bereits erfüllt. Da nun keine weiteren Steine rot oder blau sein können, sind die übrigen $50~\%$ grün.

    Es könnten sich aber auch die $50~\%$ der roten oder gelben wie folgt aufteilen:

    • $10~\%$ sind rot,
    • dann müssen $40~\%$ gelb sein.
    Wenn nun $40~\%$ der Steine gelb sind, dann müssen wegen der Aussage, dass $50~\%$ der Steine blau oder gelb sind, $10~\%$ der Steine blau sein.

    Nun sind bereits $40~\%+10~\%+10~\%=60~\%$ der Steine gelb, rot oder blau, also sind die verbleibenden $100~\%-60~\%=40~\%$ grün.

  • Ermittle die jeweiligen Anteile sowie die zugehörige Anzahl der Bücher.

    Tipps

    Berechne zunächst den Anteil der Schulbücher.

    Der Gesamtanteil der Romane, Comics und Rätselbücher beträgt $65~\%$.

    Du weißt zum Beispiel, dass $45~\%$ der Bücher Romane oder Comics sind. Damit kannst du dann den Anteil der Rätselbücher berechnen.

    Du kennst die Zahl der Romane. Diese Zahl dividiert durch die Gesamtzahl ergibt den prozentualen Anteil.

    Wenn du den Grundwert kennst, erhältst du den Prozentwert, indem du diesen Grundwert mit der Prozentangabe multiplizierst.

    Lösung

    Pauls Bücher teilen sich wie folgt auf:

    • Die Rätselbücher machen gemeinsam mit den Romanen $40~\%$ der Bücher aus.
    • Romane und Comics sind $45~\%$ der Bücher.
    • $65~\%$ der Bücher sind keine Schulbücher.
    Da kann man schon ins Grübeln kommen!

    Zunächst kann man den Anteil der Schulbücher berechnen. Dieser ist $100~\%-65~\%=35~\%$.

    Die verbleibenden $65~\%$ verteilen sich auf die übrigen Bücher. Hierfür kann man ein Gleichungssystem aufstellen. Dabei stehe $x$ für den prozentualen Anteil der Romane, $y$ für den der Comics und $z$ für den der Rätselbücher.

    Es müssen die folgenden Gleichungen, jeweils ohne %-Angabe, gelten

    • $x+y+z=65$
    • $x+z=40$ und
    • $x+y=45$
    Wenn man $x+y=45$ in der oberen Gleichung einsetzt, erhält man $z=65-45=20$.

    Mithilfe der mittleren Gleichung kann dann $x$ berechnet werden: $x+20=40$. Durch Subtraktion von $20$ erhält man $x=20$.

    Zuletzt kann $y$ berechnet werden: $20+y=45$. Wenn man $20$ subtrahiert, erhält man $y=25$.

    Man erhält somit die folgenden Anteile:

    • Romane: $20~\%$
    • Comics: $25~\%$
    • Schulbücher: $35~\%$
    • Rätselbücher: $20~\%$

    Wenn man nun zusätzlich weiß, dass Paul $80$ Romane besitzt, kann man auch die Gesamtzahl der Bücher berechnen:

    $\begin{array}{rclll} \frac{80}{x}&=&\frac{20}{100}&|&\cdot x\\ 80&=&\frac{20}{100}\cdot x&|&:\frac{20}{100}\\ 400&=&x \end{array}$

    Damit kann auch die jeweilige Anzahl der übrigen Bücher berechnet werden:

    • Comics: $25~\%\cdot 400=100$
    • Schulbücher: $35~\%\cdot 400=140$
    • Rätselbücher: $20~\%\cdot 400=80$

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