Mittelwert und mittlere Abweichung – Übung

Mittelwert und mittlere Abweichung – Übung Übung

• Bestimme den Mittelwert und die mittlere Abweichung von Fidibus Noten.

  Tipps

  Der Mittelwert ist das, was du vielleicht als Durchschnitt oder durchschnittlicher Wert bezeichnen würdest.

  Beiden Maßen ist gemeinsam, dass eine Summe ins Verhältnis zur Gesamtzahl gebracht wird.

  Lösung

  Der Mittelwert und die mittlere Streuung sind zwei wichtige Maße, die dir viel über die Verteilung von Zahlen verraten können.

  Der Mittelwert ist das, was du umgangssprachlich als Durchschnitt bezeichnet würdest. Dafür rechnest du alle Werte zusammen und dividierst durch deren Gesamtzahl. Anhand von Fidibus Noten sieht das so aus:

  $\overline{x} = \frac{1+2+2+3}{4} = \frac84=2$. Fidibus Durchschnittsnote beträgt daher $\overline{x} =2$.

  Nun wollen wir auch noch die mittlere Abweichung bestimmen. Wenn wir die mittlere Abweichung $\triangle x$ seiner Noten berechnen wollen, müssen wir die Beträge der Differenzen der jeweiligen Noten mit dem Mittelwert addieren und dies dann durch die Gesamtzahl dividieren. Das hört sich komplizierter an, als es in Wahrheit ist:

  $\triangle x = \frac{|1-2|+|2-2|+|2-2|+|3-2|}{4}=\frac{1+0+0+1}{4}=\frac24=\frac12$. Die mittlere Abweichung von Fidibus Noten beträgt $\triangle x =\frac12$.

  Die mittlere Abweichung ist eine Maß für die Streuung.

  Wir können sagen, dass Fidibus Noten so verteilt sind: $x = \overline{x} \pm \triangle x = 2\pm0,5$.

• Schildere, wie sich der Mittelwert und die mittlere Abweichung der geschossenen Tore berechnen lassen.

  Tipps

  Bei der mittleren Abweichung bewirken die Betragsstriche, dass positive Werte addiert werden.

  Häufig kannst du intuitiv den Mittelwert ungefähr bestimmen. Besonders bei vielen Werten ist dies von Vorteil, weil du dann nicht so viel zu rechnen brauchst.

  Ohne den Mittelwert kann keine mittlere Abweichung berechnet werden.

  Lösung

  Wir wollen den Mittelwert $\overline{x}$ und die mittlere Abweichung $\triangle x$ der geschossenen Tore berechnen. Insgesamt haben $18$ Mannschaften um die Meisterschaft mitgespielt.

  Um den Mittelwert der geschossenen Tore zu berechnen, addieren wir Werte und dividieren das Ergebnis durch die Anzahl der Werte. Das entspricht natürlich der Anzahl der Vereine.

  Es ist also $\overline{x}=\frac{80+77+74+...+38+39+24}{18}=\frac{875}{18} \approx 49$. Es wurden also durchschnittlich $49$ Tore geschossen. Mit diesem Wert können wir nun auch die mittlere Abweichung berechnen.

  Dazu addieren wir die Beträge der Differenzen aus den jeweils geschossenen Toren eines Vereins und des Mittelwerts und dividieren dann durch die Gesamtzahl der Vereine.

  Das sieht dann so aus: $\triangle x = \frac{|80-49|+|77-49|+...+|39-49|+|24-49|}{18}= \frac{31 + 28 + ... +10 + 25}{18} =\frac{219}{18} \approx 12$. Dabei bewirken die Betragsstriche $|...|$, dass ein positiver Wert herauskommt.

  Die Anzahl der geschossenen Tore ist somit im Mittel $x = \overline{x} \pm \triangle x \approx 49 \pm 12$. Die mittlere Abweichung hat im Vergleich mit dem Mittelwert eine mittlere Größe.

• Untersuche, wo sich Johanns Fehler eingeschlichen hat.

  Tipps

  Der Mittelwert $\overline{x}$ wird berechnet, indem die Summe aller Werte durch die Anzahl der addierten Werte dividiert wird.

  Lösung

  Johann möchte seine Durchschnittsnote ausrechnen. Dabei hat er schon richtig angefangen. Zuerst muss er nämlich alle Werte addieren.

  Das ist dann $2+3+3+3+2+4+2+2+1=22$. Soweit hat er alles richtig gemacht. Um den Mittelwert $\overline{x}$ zu berechnen, muss er durch die Anzahl der Werte, also die Anzahl der Noten, dividieren.

  Wie viele Noten hat er denn addiert? Das sind ja wohl insgesamt $9$ Noten. Sein Mittelwert liegt also bei $\overline{x}=22 \div 9 = 2,\overline{4}$.

  Johann hat versehentlich durch $10$ dividiert, obwohl er ja nur für $9$ Fächer eine Note bekommen hat.

• Bestimme den Mittelwert und die mittlere Abweichung für die Anzahl der gepflückten Äpfel.

  Tipps

  Manchmal kann der ungefähre Mittelwerte gut geraten werden.

  Intuitiv könnte man sagen, dass der Mittelwert irgendwo zwischen $20$ und $30$ liegen sollte.

  Der Mittelwert lässt sich berechnen, indem alle Werte addiert werden und diese Summe dann durch die Gesamtzahl der Werte dividiert wird.

  Für die mittlere Abweichung werden die Bestände der einzelnen Werte zum Mittelwert addiert und dann durch die Gesamtzahl geteilt.

  Lösung

  Die vier Freunde haben fleißig Äpfel geerntet. Da Lotte $27$, Sancho $18$, Grethe $30$ und Felix $25$ Äpfel gepflückt hat, lässt sich der Durchschnittswert berechnen. Dies ist der Mittelwert $\overline{x}$. Dazu rechnen wir alle Werte zusammen und teilen durch die Anzahl der Werte:

  $\overline{x}= \frac {27 + 18 + 30 + 25}{4} = \frac{100}{4}=25$. Im Mittel haben die Vier also $25$ Äpfel ergattert.

  Daraus lässt sich natürlich auch die mittlere Abweichung berechnen. Dazu addieren wir die Beträge aus den jeweiligen Differenzen, welche sich aus den verschiedenen Anzahlen der gepflückten Äpfel und den Mittelwert zusammensetzen. Dann teilen wir noch durch die Anzahl der Pflücker, also $4$. Wir können dann schreiben:

  $\triangle x = \frac{|27-25|+|18-25|+|30-25|+|25-25|}{4} = \frac{2+7+5+0}{4}=\frac{14}{4} = 3,5$.

  Die mittlere Abweichung ist, gemessen am Mittelwert, eher klein.

• Bestimme, welche Aussagen über den Mittelwert und die mittlere Abweichung richtig sind.

  Tipps

  Über die Verteilung von Werten kann die Formel $x = \overline{x} \pm \triangle x$ Auskunft gegen.

  Der Mittelwert wird häufig nach Klassenarbeiten angegeben.

  Lösung

  Der Mittelwert und die mittlere Abweichung sind wichtige Maße, um Verteilungen von Zahlen einschätzen zu können. Dabei ist die mittlere Abweichung eine Maß für die Streuung. Umgangsprachlich sagen wir zum dem Mittelwert $\overline{x}$ auch Durchschnitt oder durchschnittlicher Wert.

  Manchmal ist es sinnvoll, den Mittelwert und die mittlere Abweichung $\triangle x$ zueinander in Beziehung zu setzen. Dann kann beispielsweise sagen, dass eine mittlere Abweichung im Vergleich zum Mittelwert

  • groß
  • mittel oder
  • klein

  ist.

  Gemessen am durchschnittlichen Preis für einen neuen Bildschirm von $\overline{x}=263~€$ ist die mittlere Abweichung von $\triangle x =4~€$ klein. Denn $4$ ist im Verhältnis zu $263$ eine ganz schön kleine Zahl.

  Wenn der Mittelwert der Atommassen der ersten zehn Elemente im Periodensystem $\overline{x}=11,3$ und die mittlere Abweichung $\triangle x = 4,9$ beträgt, dann streuen die Werte stark. Das kann man sagen, weil $4,9$ im Verhältnis zu $11,3$ fast die Hälfte ist und die Zahlen ohnehin sehr niedrig sind.

• Bestimme die Höhe der Ausgaben im Monat Dezember.

  Tipps

  Um die mittlere Abweichung zu berechnen, braucht man alle Einzelwerte.

  Kannst du die Berechnung des Mittelwerts irgendwie umkehren?

  Zur Berechnung des Mittelwertes addierst du alle Monatswerte und dividierst diese Summe durch die Anzahl seiner Summanden, also die Anzahl der Monate.

  Wenn $z$ die Ausgaben für Dezember sind, dann musst du die folgende Gleichung lösen:

  $\frac{57+42+43+50+58+32+63+48+50+42+43+z}{12}=50$.

  Lösung

  Servet hat gut Buch geführt. Weil er am Ende des Jahres den Mittelwert $\overline{x}=50$ berechnet hat, ist es auch nicht so schlimm, dass ihm der Wert für den Monat Dezember verlorengegangen ist. Er kann ihn nämlich erschließen.

  Er erinnert sich, wie er damals den Mittelwert berechnet hat. Dazu addierte er alle Monatswerte und dividierte diese Summe durch die Anzahl seiner Summanden, also die Anzahl der Monate.

  Dies macht er auch nun wieder:

  $\frac{57+42+43+50+58+32+63+48+50+42+43+z}{12}=50$.

  Er überlegt sich, dass ja nur ein Wert fehlt. Dazu rechnet er die restlichen Werte zusammen:

  $\begin{align} && \frac{528+z}{12} & = 50 &|& \cdot 12&\\ &\Leftrightarrow& 528+z &= 600 &|& - 528&\\ &\Leftrightarrow& z &= 72 &~& \end{align}$.

  Er hat im Monat Dezember folglich Ausgaben in Höhe von $72~€$ getätigt.

  Mit diesem Wissen kann er nun auch die mittlere Abweichung berechnen.

  $\triangle x = \frac{7+8+7+0+8+18+13+2+0+8+7+22}{12}=\frac{100}{12}=\frac{25}{3} \approx 8$.

  Die mittlere Abweichung beträgt $\triangle x \approx 8$ und ist somit im mittleren Bereich.