Mittelwert und mittlere Abweichung – Einführung

Mittelwert und mittlere Abweichung – Einführung Übung

• Beschreibe den Mittelwert sowie die mittlere Abweichung.

  Tipps

  Hier siehst du ein Beispiel für den Median und den Mittelwert des Datensatzes $4~5~5~6~7$.

  • Der Median liegt genau in der Mitte. Hier ist das die $5$.
  • Der Mittelwert ist hier $\overline{x}=5,4$.

  Der Mittelwert ist das arithmetische Mittel.

  Die mittlere Abweichung ist ein Maß dafür, wie stark die tatsächlichen Werte eines Datensatzes von dem Mittelwert abweichen.

  Schau dir als Beispiel für die mittlere Abweichung den Datensatz $4~5~5~6~7$ an.

  Die mittlere Abweichung zu dem Mittelwert $\overline{x}=5,4$ ist dann gegeben durch $\Delta x=\frac{1,4+0,4+0,4+0,6+1,6}{5}=0,88$.

  Lösung

  In der Statistik werden Lageparameter wie der Median oder der Mittelwert sowie Streuungsparameter wie die mittlere Abweichung unterschieden.

  Wir schauen uns diese nun etwas genauer an.

  Lageparameter

  Lageparameter geben an, in welchem Bereich sich die Daten bewegen.

  Du kennst bereits den Median, auch Zentralwert genannt. Dieser ist der mittlere Wert eines geordneten Datensatzes.

  Darüber hinaus gibt es auch noch den Mittelwert, oder auch das arithmetische Mittel $\overline{x}$. Diesen erhältst du, indem du zunächst alle Werte des Datensatzes addierst. Dann dividierst du die Summe durch die Anzahl der Werte.

  Streuungsparameter

  Streuungsparameter geben an, wie stark ein Datensatz um einen Wert streut.

  Die mittlere Abweichung vom Mittelwert gibt an, wie stark die Daten vom Mittelwert abweichen. Diese mittlere Abweichung berechnest du so:

  • Du bildest für jeden Wert die Differenz dieses Wertes und des Mittelwertes. Dann nimmst du den Betrag dieser Differenz.
  • Nun addierst du alle diese Beträge.
  • Schließlich dividierst du die Summe durch die Anzahl der Werte des Datensatzes.

  Im Folgenden siehst du ein einführendes Beispiel. Gegeben ist der Datensatz $4~5~5~6~7$. Die mittlere Abweichung vom Mittelwert erhältst du dann wie folgt:

  • Der Mittelwert ist $\overline{x}=\frac{4+5+5+6+7}5=5,4$.
  • Die mittlere Abweichung ist dann $\Delta x=\frac{|4-5,4|+|5-5,4|+|5-5,4|+|6-5,4|+|7-5,4|}{5}=\frac{4,4}{5}=0,88$.

  Übrigens, der Median wäre in diesem Beispiel $5$.

• Berechne den Mittelwert sowie die mittlere Abweichung für die Noten von Fidibus.

  Tipps

  Sei der Datensatz $x_1~~x_2~~...~~x_n$ gegeben. Dann ist der Mittelwert $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$.

  Sei der Datensatz $x_1~~x_2~~...~~x_n$ mit dem Mittelwert $\overline{x}$ gegeben. Dann ist die mittlere Abweichung $\Delta x=\frac{\left|x_1-\overline{x}\right|+\left|x_2-\overline{x}\right|+...+\left|x_n-\overline{x}\right|}{n}$.

  Für die Berechnung der mittleren Abweichung benötigst du den Mittelwert.

  Lösung

  Hier siehst du die Zensuren von Fidibus im Fach Chemie: $1~2~2~3~4~5~5$.

  Wir wollen nun zunächst den Mittelwert $\overline{x}$ berechnen. Ohne diesen können wir die mittlere Abweichung vom Mittelwert gar nicht berechnen.

  1. Addiere zunächst alle Zensuren. So erhältst du $1+2+2+3+4+5+5=22$.
  2. Nun dividierst du diese Summe durch die Anzahl der Zensuren. Diese ist $7$.
  3. So erhältst du den Mittelwert $\overline{x}=\frac{22}7\approx3,14$.

  Ist das nun ein Zufall? Das sind gerade die ersten drei Stellen der Kreiszahl $\pi$. Aber das gehört jetzt nicht hierhin.

  Mit dem Mittelwert kannst du nun die mittlere Abweichung $\Delta x$ berechnen:

  $\begin{array}{rcl} \Delta x&=&\frac{|1-3,14|+|2-3,14|+|2-3,14|+|3-3,14|+|4-3,14|+|5-3,14|+|5-3,14|}{7}\\ &=&\frac{2,14+1,14+1,14+0,14+0,86+1,86+1,86}{7}\\ &=&\frac{9,14}{7}\\ &\approx&1,31 \end{array}$

• Ermittle zu Lukes Noten den Mittelwert und die mittlere Abweichung von diesem Mittelwert.

  Tipps

  Beachte:

  • $\overline{x}$ ist der Mittelwert.
  • $\Delta x$ ist die mittlere Abweichung.

  Verwende für den Mittelwert $\overline{x}$ die Formel $\overline{x}=\frac{x_1+...+x_n}{n}$.

  Dabei sind $x_1$ ... $x_n$ die zugehörigen Daten.

  Verwende für die mittlere Abweichung vom Mittelwert $\overline{x}$ die Formel $\Delta x=\frac{\left|x_1-\overline{x}\right|+...+\left|x_n-\overline{x}\right|}{n}$.

  Du kannst alle Werte exakt, mit maximal zwei Nachkommastellen, angeben.

  Lösung

  Hier siehst du noch einmal Lukes Zensuren im Fach Chemie: $1~1~4~5~6$.

  Zur Berechnung des Mittelwertes dividierst du die Summe der Zensuren durch deren Anzahl $5$:

  $\overline{x}=\frac{1+1+4+5+6}{5}=\frac{17}{5}=3,4$.

  Nun kannst du mit diesem Mittelwert die mittlere Abweichung berechnen:

  $\begin{array}{rcl} \Delta x&=&\frac{|1-3,4|+|1-3,4|+|4-3,4|+|5-3,4|+|6-3,4|}{5}\\ &=&\frac{2,4+2,4+0,6+1,6+2,6}{5}\\ &=&\frac{9,6}{5}\\ &=&1,92 \end{array}$

  Das bedeutet, dass die Noten von Luke um fast $2$ um den Mittelwert $3,4$ streuen. Das bestätigt den ersten Eindruck, dass Luke wohl eher ein sich stark änderndes Lernverhalten an den Tag gelegt hat. Mathematisch sagt man, dass die Zensuren sehr stark streuen.

• Untersuche, wie sich der Mittelwert und die mittlere Abweichung ändern, wenn Daten gestrichen werden.

  Tipps

  Durch das Streichen der schlechtesten Note wird sowohl der Mittelwert als auch die mittlere Abweichung kleiner.

  Für den Mittelwert addierst du jeweils alle Zensuren. Beachte, dass sich die Anzahl der Zensuren sich ändert. Einmal betrachtest du $5$ und einmal nur $4$ Zensuren.

  Hier siehst du einen Schritt der Berechnung der mittleren Abweichung bei allen Noten: $\Delta x^{\text{alt}}=\frac{1,4+1,4+...+3,6}{5}$.

  Achte darauf, dass du bei der Berechnung von $\Delta x^{\text{alt}}$ den Mittelwert $\overline{x^{\text{alt}}}$ verwendest. Dies gilt ebenso für die mittlere Abweichung nach der Streichung der $6$.

  Lösung

  Wenn einzelne Daten von den übrigen Daten eines Datensatzes sehr stark abweichen, dann spricht man von „Ausreißern“. Dies ist bei Annas Noten der Fall. Die $6$ entspricht nicht den übrigen Noten. Dadurch kommt es zu dem Mittelwert $\overline{x^{\text{alt}}}=\frac{1+1+2+2+6}{5}=\frac{12}{5}=2,4$.

  Du kannst erkennen, dass vier der fünf Zensuren unterhalb dieses Mittelwertes liegen. Dies widerspricht dem, was man eigentlich von einem Mittelwert erwarten würde.

  Wenn die $6$ gestrichen wird, erhältst du den Mittelwert $\overline{x^{\text{alt}}}=\frac{1+1+2+2}{4}=\frac{6}{4}=1,5$.

  Dieser Mittelwert spiegelt Annas Noten besser wider. Es liegen ebenso viele Zensuren oberhalb wie unterhalb des Mittelwertes.

  Schauen wir uns noch an, was bei der mittleren Abweichung passiert. Wir können ja vorher noch eine Vermutung aufstellen: Mit der $6$ streuen die Zensuren stärker als ohne die $6$. Das bedeutet, dass $\Delta x^{\text{alt}}$ größer sein sollte als $\Delta x^{\text{neu}}$.

  • $\Delta x^{\text{alt}}=\frac{|1-2,4|+1-2,4|+|2-2,4|+|2-2,4|+|6-2,4|}{5}=\frac{7,2}5=1,44$
  • $\Delta x^{\text{neut}}=\frac{|1-1,5|+1-1,5|+|2-1,5|+|2-1,5|}{4}=\frac{2}4=0,5$

  Du siehst, unsere Annahme ist richtig: Nach Streichung der $6$ streuen die Daten nicht mehr so stark.

• Benenne die Bedeutung von Mittelwert und mittlerer Abweichung.

  Tipps

  Der Median ist übrigens auch ein Lageparameter.

  Die Spannweite, also die Differenz von maximalem und minimalem Datenwert, ist ebenfalls ein Maß für die Streuung der Daten.

  Lösung

  Es gibt Lageparameter und Streuungsparameter.

  Lageparameter zeigen an, in welchem Bereich die Daten sich befinden. Zum Beispiel sind der Median oder auch der Mittelwert solche Lageparameter. Auch das Minimum und das Maximum eines Datensatzes sind Lageparameter. Sie geben insbesondere den kompletten Bereich an, in welchem die Daten sich befinden.

  Streuungsparameter sind ein Maß für die Streuung der Daten um den Lageparameter. Welche Streuungsparameter kennst du bereits? Die Spannweite ist ein Streuungsparameter. Weißt du noch, was die Spannweite ist? Die Spannweite ist die Differenz von maximalem und minimalem Datenwert. Auch die mittlere Abweichung ist ein Streuungsparameter.

• Leite den Median und den Mittelwert her. Bestimme für beide die mittlere Abweichung.

  Tipps

  Der Median, oder auch Zentralwert, ist der mittlere Wert eines geordneten Datensatzes.

  Der Median liegt hier tatsächlich genau in der Mitte, da eine ungerade Zahl an Gästen das Konzert besucht.

  Die Berechnung der mittleren Abweichung ist sowohl für den Median als auch für den Mittelwert gleich. Du musst nur darauf achten, dass du einmal den Median und einmal den Mittelwert subtrahierst.

  Lösung

  Das ist nun wirklich ein sehr kleines Rockkonzert mit insgesamt $15$ Gästen.

  Du kannst in dieser Aufgabe zwei verschiedene Lageparamter sehen sowie die zugehörigen Streuungsparameter.

  Der Median

  Der Median ist der mittlere Wert eines geordneten Datensatzes. Hier ist dieser an der siebten Stelle. Da $5$ Gäste $18$ und die nächsten $7$ Gäste $22$ Jahre alt sind, folgt, dass der $7$. Wert die $22$ ist. Dieser ist der Median.

  Nun kannst du die mittlere Abweichung vom Median berechnen:

  $\frac{5\cdot |18-22|+7\cdot |22-22|+3\cdot |27-22|}{15}=\frac73=2,\bar 3\approx 2,3$.

  Der Mittelwert

  Du könntest nun alle Altersangaben einzeln addieren. Es geht schneller, wenn du wie folgt rechnest: $\overline{x}=\frac{5\cdot 18+7\cdot 22+3\cdot 27}{15}=\frac{325}{15}=21,\bar6\approx 21,7$.

  Schließlich kannst du die mittlere Abweichung berechnen:

  $\Delta x=\frac{5\cdot |18-21,7|+7\cdot |22-21,7|+3\cdot |27-21,7|}{15}=\frac{36,5}{15}=2,4\bar 3\approx 2,4$.

  Du kannst hier erkennen, dass sich die jeweils einander entsprechenden Werte nicht so stark unterscheiden. Woran liegt das? Die Altersangaben liegen recht nah beieinander. Wenn zum Beispiel $3$ Personen im zarten Alter von $66$ auch noch Besucher des Konzertes wären, würden sich die Werte stärker unterscheiden.