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Mittelwert – Eigenschaften

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Martin Wabnik
Mittelwert – Eigenschaften
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Mittelwert – Eigenschaften

Ich werde dir im Video ein paar gebräuchliche Eigenschaften des Mittelwertes vorgestellen. (1) Der Mittelwert hängt von allen Messwerten ab. (2) Der Mittelwert muss kein Messwert sein. (3) Verändert man jeden Messwert um denselben Betrag, so verändert sich auch der Mittelwert um diesen Betrag. (4) Multipliziert man jeden Messwert mit einem Faktor, ändert sich der Mittelwert auch um diesen Faktor. (5) Die Summe aller Differenzen von Messwerten und Mittelwert ist gleich 0. (6) Und dann folgt noch die Minimalitätseigenschaft des Mittelwertes.

Transkript Mittelwert – Eigenschaften

Hallo! Du kennst das arithmetische Mittel, den Mittelwert und jetzt geht es um Eigenschaften des Mittelwertes. Erste Eigenschaft: Der Mittelwert hängt von allen Messwerten ab. Da denkt sich mancher, wovon denn sonst? Vom Wetter wird der ja wohl nicht abhängen. Das ist richtig, aber die Betonung liegt hier auf allen. Von allen Messwerten hängt er ab und das führt dazu, dass es Messreihen gibt, die durch den Mittelwert nicht sinnvoll beschrieben werden. Zum Beispiel könnten wir in einem korrupten Staat Leute fragen, wie viel sie verdienen. Dann werden wir viele Leute finden, die fast überhaupt nichts verdienen und wir werden sehr wenige sehr reiche Leute finden. Wenn wir jetzt den Mittelwert bilden, also das Durchschnittseinkommen, dann liegt das vielleicht in einer Höhe, mit der man dann ganz gut leben kann. Real aber ist die Situation aber so, dass fast alle fast nichts zum Leben haben und von daher ist der Mittelwert hier vielleicht nicht geeignet, um die Gesamtsituation adäquat zu beschreiben. Nächste Eigenschaft: Der Mittelwert muss kein Messwert sein. Ich bleibe bei der Einkommenssituation. Nehmen wir einen Bettler. Der hat gar kein Einkommen und nehmen wir einen Manager auf der mittleren Managementebene. Mittlerweile verdient man dann ja auch eine Millionen pro Jahr oder so habe ich glaube ich gehört. Dann sagt der Volksmund im Schnitt haben beide 500000 Euro im Jahr, was natürlich nicht stimmt. Keiner von denen verdient 500000 Euro im Jahr. Nächste Eigenschaft ist: Wir können zu den Messwerten jeweils eine Zahl addieren, eine Konstante addieren und uns dann fragen: Was passiert mit dem Mittelwert? Wie sieht der dann aus? Ich habe hier noch mal hingeschrieben, wie man den Mittelwert bildet. Man hat also die Messwerte x1 bis xn. Die addiert man alle und teilt dann durch n. Ich habe also ×1/n geschrieben, damit das hier besser hinpasst. Wenn wir jetzt zu jedem Messwert eine bestimmt Konstante, die ich hier a genannt habe, addieren, dann hat man diese Messwerte hier und muss wieder durch n teilen. Dann habe ich hier die as alle zusammengefasst. Wir haben ja n-Mal a addiert. Das steht hier hinten. Wir müssen noch durch n teilen. Und hier habe ich noch die ganzen x zusammengefasst. Die stehen dann hier.  Dann müssen wir natürlich auch noch durch n teilen. Das, was hier steht, ist das arithmetische Mittel, als x quer. Hier kann man n kürzen. Wir haben also x quer + a und das ist das, was hier steht. Das bedeutet, wenn man zu jedem Messwert eine bestimmte Konstante addiert, dann kann man den Mittelwert bilden, indem man den Mittelwert der Messwerte bildet, zu denen nichts addiert wurde und dann die Konstante zum Mittelwert einfach hinzuaddiert. Eine weitere Eigenschaft sieht ähnlich aus. Ich habe hier wieder den Mittelwert hingeschrieben, wie du ihn kennst. Wir können jeden Messwert mit einer Zahl b multiplizieren und uns dann fragen, wie sieht der Mittelwert aus? Hier habe ich es ein bisschen in einer anderen Reihenfolge aufgeschrieben. Also erst einmal die ganzen Messwerte, die werden alle mit b multipliziert und am Ende wird dann noch durch n geteilt, also mit 1/n multipliziert. Dann kann ich das b ausklammern und dann besteht ab hier, von da bis da, besteht dann einfach nur noch der Mittelwert, also x quer und da habe ich mich verschrieben. Hier steht der Mittelwert x quer und der wird einfach mit b multipliziert. Also b mal x quer ist dann der Mittelwert der neuen Messreihe. Noch eine Eigenschaft gibt es, und zwar die Folgende. Wenn wir den Mittelwert bilden und dann den Mittelwert von jedem Messwert abziehen und dann alle diese Differenzen addieren, also wir addieren von i=1 bis n, das heißt die Differenzen aller Messwerte, dann erhalten wir 0. Wie kann man das verstehen? Wenn man das einmal nach der Reihe hinschreibt, was hier eigentlich addiert wird, dann hat man hier den Messwert x1 und von dem ziehen wir den Mittelwert x quer ab. Dann addieren wir x2 und ziehen den Mittelwert x quer ab und so weiter. Das machen wir bis n. Dann kann ich diese ganze Summe hier auch anders schreiben. Ich kann nämlich erst alle x zusammenfassen, x1 bis xn, die alle addieren und dann n- mal den Mittelwert abziehen. Hier steht ja n-Mal der Mittelwert. Der wird n-Mal abgezogen. Und wenn ich n-Mal den Mittelwert abziehe, dann sieht das also so aus, ich kann den Mittelwert ja schreiben als 1/n × Summe aller Messwerte. Wenn ich das jetzt zusammenfasse zu 1. n×1/n ist ja 1. Das heißt mit 1 brauche ich nicht weiter zu multiplizieren, dann steht hier schlicht und ergreifend alle Messwerte - alle Messwerte und das ist gleich 0. So damit ist das auch abgehakt. Die letzte Eigenschaft, die ich dir zeigen möchte, sieht so aus. Wir nehmen einen Messwert und ziehen den Mittelwert x quer davon ab. Diese Differenz können wir quadrieren und alle diese Differenzen, die sich so ergeben, addieren. Dann kommt eine minimale Zahl heraus. Jetzt möchte ich ein bisschen erklären, was das bedeutet. Wir können uns folgende Situation vorstellen. Wir haben hier irgendeine Skala. Interessiert mich jetzt überhaupt nicht, was die genau bedeutet. Wir nehmen irgendwelche Messwerte. Hier einen, hier einen und da und da zum Beispiel einen noch einen. Dann schlage ich vor, dass der Mittelwert x quer hier ist, vielleicht. So da ist der Mittelwert als schwarzes Quadrat. Nun können wir die Differenzen bilden zum Mittelwert. Also Messwert minus Mittelwert, Messwert hier minus Mittelwert. Das ist noch eine Differenz hier. Messwert minus Mittelwert. Das wird jetzt negativ sein hier, wenn man mal sich vorstellt, dass hier die kleineren Zahlen sind und da die größeren. 4 Differenzen haben wir. Die können wir jetzt alle quadrieren. Die Quadrate der Differenzen sind dann positiv. Wenn die Differenz 0 ist, dann ist das Quadrat auch 0. So diese Quadrate können wir jetzt alle addieren und dann kommt eine Zahl raus. Die müssen wir jetzt vergleichen mit einer anderen Zahl, die herauskommen könnte, wenn wir nämlich einen anderen Punkt nehmen. Wir können zum Beispiel hier einen Punkt nehmen. Das ist ein anderer Punkt. Das ist nicht der Mittelwert. Und wir bilden die Differenzen. Messwert minus dieser Wert, Messwert minus dieser Wert, dann haben wir diese Differenz hier und da noch eine und da noch eine Differenz. Wir erhalten wieder 4 Differenzen. Die 4 Differenzen können wir alle quadrieren und die Quadrate alle addieren. Dann wird Folgendes passieren, wenn das hier ein anderer Punkt ist, als der, dann wird die Summe der Quadrate der Differenzen hier größer sein als hier. Insofern ist also die Summe der Quadrate der Differenzen der Messwerte zum Mittelwert minimal. Das ist diese Eigenschaft. Den Beweis gibt es noch im nächsten Film. Da steht er schon. Viel Spaß! Tschüs!

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Toll erklärt, weiter so!!!!

    Von Hskelwa, vor etwa einem Monat
  2. Ich manchmal

    Von Yasminarakji, vor mehr als 3 Jahren
  3. ich mag deine Videos ;)

    Von Parc63500, vor mehr als 4 Jahren

Mittelwert – Eigenschaften Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mittelwert – Eigenschaften kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie sich das arithmetische Mittel verändert, wenn man zu jedem Messwert die gleiche Zahl addiert.

    Tipps

    Das arithmetische Mittel, den Mittelwert, erhält man, indem man alle Messwerte addiert und die resultierende Summe durch die Anzahl der Messwerte dividiert.

    Wenn du diese Berechnung für den Mittelwert für die Messdaten $x_1+a$, ..., $x_n+a$ verwendest, dann kannst du den resultierenden Bruch umformen.

    Schließlich erhältst du einen Summanden $\frac{na}n=a$.

    Lösung

    Das arithmetische Mittel einer Messreihe lässt sich berechnen, indem man alle Messdaten addiert und die resultierende Summe durch die Anzahl der Messdaten dividiert.

    Somit ist

    $\bar x=\frac{x_1+...+x_n}n$.

    Wenn man nun zu jedem der Messdaten eine konstante Zahl $a$ addiert, kann man auch dazu den Mittelwert berechnen. Dieser lautet

    $\overline{x_{neu}}=\frac{x_1+a+...+x_n+a}n$.

    Nun können im Zähler die Summanden vertauscht werden zu

    $\overline{x_{neu}}=\frac{x_1+...+x_n+a+...+a}n$,

    dabei wird $a$ $n$-mal addiert. Weiter kann der Bruch umgeformt werden zu

    $\overline{x_{neu}}=\frac{x_1+...+x_n}n+\frac{a+...+a}n=\bar x+\frac{na}n=\bar x+a$.

    Das heißt, dass man den neuen Mittelwert dadurch erhält, dass man zu dem ursprünglichen ebenfalls die Zahl $a$ addiert.

    Ebenso kann gezeigt werden, dass das Multiplizieren jedes Messwertes mit der gleichen Zahl dazu führt, dass auch der Mittelwert mit dieser Zahl multipliziert wird, um den neuen Mittelwert zu erhalten.

  • Vervollständige die Begründung für $\sum \limits_{i=1}^n(x_i-\bar x)=0$.

    Tipps

    Das arithmetische Mittel wird berechnet, indem man alle Messwerte addiert und die resultierende Summe durch die Anzahl der Messwerte dividiert.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Verwendung des $\sum$-Symbols.

    Man kann auch Konstanten summieren.

    Lösung

    Wenn man den Mittelwert von jedem Messwert abzieht und diese Differenzen jeweils addiert, erhält man als Ergebnis $0$.

    Wieso ist das so?

    $\sum \limits_{i=1}^n(x_i-\bar x)=x_1-\bar x+x_2-\bar x+...+x_n-\bar x$.

    Nun kann die Reihenfolge vertauscht werden:

    $...=x_1+...+x_n-n\cdot \bar x=x_1+...+x_n-n\cdot \frac{x_1+...+x_n}n$.

    Hierbei wird die Definition des arithmetischen Mittels verwendet: Das arithmetische Mittel erhält man, wenn man alle Messwerte addiert und die resultierende Summe durch die Anzahl der Messwerte dividiert.

    Nun ist die Rechnung fast fertig: Man subtrahiert also von der Summe aller Messwerte das $n$-fache der Summe aller Messwerte, dividiert durch $n$ und erhält somit das gewünschte Ergebnis: $0$.

  • Ermittle den Mittelwert für die Umfrage.

    Tipps

    Beachte, dass Messwerte, welche mehrfach vorkommen, auch mehrfach addiert werden müssen.

    Das arithmetische Mittel ist bei verschiedenen Werten größer als der kleinste und kleiner als der größte Messwert.

    Das arithmetische Mittel muss dabei kein Messwert sein.

    Lösung

    Für diese Umfrage kann das arithmetische Mittel mehrerer Messwerte berechnet werden. Hierfür werden die Messwerte addiert und die resultierende Summe durch die Anzahl der Messwerte dividiert.

    Hier kommen die Messwerte mehrfach vor, müssen also auch entsprechend oft addiert werden oder (als Alternative) mit der entsprechenden Häufigkeit multipliziert werden:

    $\frac{4\cdot 3000+10\cdot 5000+8\cdot 7000+3\cdot 10000}{25}=\frac{148000}{25}=5920$.

    Der Durchschnittsverdienst der befragten Personen beträgt also $5920~€$. Diesen Wert hat keiner der Befragten angegeben, es ist also kein Messwert.

  • Prüfe, wie sich der Mittelwert verändert, wenn sich der Lohn verändert.

    Tipps

    Wenn zu jedem Messwert die gleiche Konstante addiert wird, so erhöht sich auch der Mittelwert entsprechend.

    Dies gilt natürlich auch für die Subtraktion.

    Wenn jeder Messwert mit der gleichen Zahl multipliziert wird, wird auch auch der Mittelwert mit dieser Zahl multipliziert.

    Eine Lohnkürzung um $10~\%$ entspricht dem Faktor

    $1-\frac{10}{100}=0,9$.

    Ebenso kann der Faktor im Fall einer Erhöhung um $20~\%$ ermittelt werden.

    Lösung

    Wenn man zu gegebenen Messwerten jeweils die gleiche Zahl addiert, so verändert sich auch der zugehörige Mittelwert um diesen Summanden.

    Ebenso verhält es sich beim Multiplizieren: Wenn man jeden Messwert mit der gleichen Zahl multipliziert, so verändert sich auch der zugehörige Mittelwert um den gleichen Faktor.

    Der Mittelwert der Ausgangsdatenreihe ist bekannt: $5920~€$.

    • Bekommt nun jeder der Befragten $a=500~€$ mehr, so erhöht sich auch der Mittelwert um diese $500~€$ auf $\overline{x}+a=5920+500=6420$€.
    • Eine Lohnkürzung um $10~\%$ entspricht einem Faktor, welcher wie folgt ermittelt werden kann: $b=1-\frac{10}{100}=0,9$. Das bedeutet, dass auch der Mittelwert mit diesem Faktor multipliziert wird: $b \cdot \overline{x}=0,9\cdot 5920=5328$€.
    • Eine Lohnerhöhung um $20~\%$ entspricht einem Faktor $b=1+\frac{20}{100}=1,2$, mit welchem auch der Mittelwert multipliziert werden muss. Es ergibt sich $b \cdot \overline{x}=1,2\cdot 5920=7104$€.
    • Gibt jeder der Befragten $200~€$ für soziale Zwecke ab, so reduziert sich auch der Mittelwert um diese $200~€$ auf $5920-200=5720$€.
  • Gib weitere Eigenschaften des Mittelwertes an.

    Tipps

    Das arithmetische Mittel oder der Mittelwert ist die Summe aller Messwerte dividiert durch die Anzahl aller Messwerte.

    Berechne den Mittelwert für das folgende Beispiel:

    Ein $72$ Jahre alter Mann möchte das Abitur an einer Abendschule nachmachen. In seiner Klasse befinden sich fünf weitere Schüler im Alter von $18$, $20$, $22$, $23$ und $25$ Jahren.

    In dem obigen Beispiel ist der Mittelwert $30$. Das bedeutet, dass das Durchschnittsalter in der Klasse $30$ ist.

    Lösung

    Das arithmetische Mittel oder der Mittelwert ist ein Maß der zentralen Tendenz. Dabei ist zu beachten, dass

    der Mittelwert von allen Messwerten abhängt.

    Dies hört sich jetzt vielleicht ein wenig seltsam an, oder? Das ist doch klar! Wichtig dabei ist es jedoch zu beachten, dass bei sehr ausgewogenen Messwerten das arithmetische Mittel aussagekräftig ist. Wenn jedoch ein Messwert sehr stark von den übrigen abweicht, verliert der Mittelwert zuweilen seine Aussagekraft.

    Zum Beispiel möchte ein $72$ Jahre alter Mann das Abitur an einer Abendschule nachmachen. In seiner Klasse befinden sich fünf weitere Schüler im Alter von $18$, $20$, $22$, $23$ und $25$ Jahren.

    Das arithmetische Mittel ist $\frac{18+20+22+23+25+72}6=30$.

    Es fällt auf, dass fast alle Schüler jünger sind als das arithmetische Mittel. Der ältere Herr verändert das Durchschnittsalter sehr. Solche Messdaten werden auch häufig als Ausreißer bezeichnet.

    Dies könnte man zum Beispiel durch die Verwendung des Medians vermeiden. Dieser teilt die Datenmenge in zwei gleich große Mengen. Das heißt links und rechts vom Median liegen gleich viele Elemente. Im Falle einer geraden Anzahl von Messwerten, wie in dem obigen Beispiel, kann der Median berechnet werden als die Summe der beiden Werte direkt links und rechts von der Mitte, dividiert durch $2$, also $\frac{22+23}2=22,5$.

    Nun liegen links und rechts von diesem Wert jeweils drei Werte.

    Wir haben auch erkannt, dass der Mittelwert kein Messwert sein muss. Dies kann man auch an dem obigen Beispiel erkennen. Der Mittelwert ist $30$, allerdings ist keiner der Schüler in der Klasse $30$ Jahre alt.

  • Bestimme die jeweiligen Kennwerte.

    Tipps

    Beachte, dass du beim Sortieren der Daten mehrfach genannte Messwerte auch ebenso oft aufschreiben musst.

    Um den Mittelwert zu berechnen, addierst du alle Messwerte, mehrfach genannte entsprechend oft, und dividierst die so erhaltene Summe durch die Anzahl der Messwerte.

    Beachte, dass ein Messwert deutlich von den übrigen abweicht.

    Bei geraden Anzahlen von Messwerten ist der Median kein Messwert.

    Lösung

    Sowohl das arithmetische Mittel, auch Mittelwert genannt, als auch der Median sind Maße der zentralen Tendenz. Der Nachteil bei arithmetischen Mittel besteht darin, dass Werte, die stark von den übrigen Werten abweichen, den Mittelwert so beeinflussen, dass dieser nicht sehr aussagekräftig ist.

    In diesem Beispiel ist der Mittelwert gegeben durch

    $\frac{0+0+10+10+100}5=\frac{120}5=24$.

    Zum einen ist dies kein Messwert, was allerdings nicht so schlimm ist. Zum anderen allerdings kann man feststellen, dass von vier befragten Personen die Anzahl der gelesenen Bücher kleiner ist als der Mittelwert.

    Wünschenswert wäre es doch, dass ein Mittelwert oder ein anderes Maß der zentralen Tendenz die Messwerte in gleich große Mengen teilt. Dies tut der Median. Um diesen zu bestimmen, ordnet man die Messwerte:

    $0~~0~~10~~10~~100$.

    Bei einer ungeraden Anzahl von Messwerten ist der Median genau der mittlere Messwert, hier also $10$.

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