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Lineares Wachstum – Eigenschaften 06:33 min

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Transkript Lineares Wachstum – Eigenschaften

Hallo! Wie kannst du feststellen, ob sich eine mathematische Größe linear ändert oder ob sie sich auf eine andere Art und Weise ändert? Ich möchte nicht besprechen, was lineares Wachstum oder lineare Abnahme ist. Das hatten wir schon. Ich möchte jetzt besprechen: Wie kannst du von einem realen Experiment und realen Messwerten, die du erhalten hast, auf die Art und Weise des Wachstums schließen oder der Abnahme schließen? Wie kannst du also feststellen, ob es lineares Wachstum ist oder nicht? Dazu möchte ich kurz das Experiment durchgehen, nicht in allen Einzelheiten, das würde viel zu lange dauern. Also, grundsätzlich machen wir Folgendes, wir überlegen uns: Welche mathematische Größe möchte ich überhaupt betrachten? Da ich hier eine Dominobahn aufgebaut habe, betrachten wir einmal die Anzahl der umgefallenen Steine einer Dominobahn, natürlich erst, wenn ich sie angetitscht habe, dann fallen die Steine ja alle um. Anzahl der umgefallenen Steine, abhängig von der Zeit, das wollen wir einmal betrachten. Dazu muss ich einfach einmal dieses Experiment machen. Ich darf das einmal vormachen eben. Experiment geglückt. Ich hätte jetzt natürlich alles genau festhalten müssen. Vielleicht mit einer Hochgeschwindigkeitskamera aufnehmen und eine Stoppuhr dazutun oder wie auch immer. Das mache ich jetzt nicht alles im Einzelnen vor. Aber es hätte ja nun sich Folgendes zutragen können, dass wir folgende Messwerte bekommen. Zum Zeitpunkt 0 ist überhaupt kein Stein umgefallen, ja, ganz am Anfang. Dann habe ich den einen hier angestoßen und zum Beispiel nach der ersten Zehntelsekunde sind 3 Steine umgefallen. Du kannst das mit einem entsprechenden Programm hier auch genau nachmessen, es wird nicht ganz stimmen. Also, es hat etwas hier länger gedauert als 9 Zehntelsekunden. Es ist hier egal. Ich wollte nur grundsätzlich zeigen, wie das hier funktioniert. Einmal angenommen, nach der ersten Zehntelsekunde sind also diese 3 blauen Steine umgefallen. Nach der 2. Zehntelsekunde sind weitere 3 Steine umgefallen, hier diese gelben. Also waren es nach 2 Zehntelsekunden 6 Steine, nach 3 Zehntelsekunden waren es 9 Steine, und du ahnst, wie es weitergeht. Nach 4 Zehnteln waren es 12, nach 5 Zehnteln waren es 15, nach 6 Zehnteln 18, nach 7 Zehntelsekunden waren es 21 Steine, die umgefallen sind, und so weiter. Ich mache das jetzt nicht weiter vor. Hier in Zehntelsekunden. Das ist einfach die Anzahl der Steine, die hier stehen, die umgefallen sind. Das ist also so eine Messwertetabelle, wie du sie hier unter realen Bedingungen auch bekommen könntest. Wir haben gesagt, wenn hier also lineares Wachstum vorliegt, dann ändert sich die Größe, also die Anzahl der umgefallenen Steine, in gleichen Abschnitten immer um die gleiche Anzahl. Wir können hier feststellen zum Beispiel von der 1. auf die 2. Zehntelsekunde hat sich die Anzahl der umgefallenen Steine um 3 geändert, dann von der 4. bis zur 5. Zehntelsekunde hat sich die Anzahl der Steine, die umgefallen sind auch um 3 erhöht. Und daraus folgt nun eine einfache Regel, mit der man hier feststellen kann, ob es sich um lineares Wachstum handelt. Man zieht einfach Messwerte voneinander ab, und zwar Messwerte, die zeitlich im gleichen Abstand auseinanderliegen. Hier zum Beispiel jeweils um eine Zehntelsekunde könnten die auseinanderliegen. Ich nehme den Messwert bei 2 Zehntelsekunden, der ist gleich 6, also 6 Steine sind nach 2 Zehntelsekunden umgefallen. Ich nehme den Messwert auch bei einer Zehntelsekunde, das waren 3 Steine, und 6, also der Wert bei 2 Zehntelsekunden minus der Wert bei einer Zehntelsekunde ist gleich 3. Das kann ich für andere Messwerte auch machen. Ich nehme den zum Beispiel nach 5 Zehntelsekunden, das sind 15 Steine, nach 4 Zehntelsekunden, das sind 12 Steine. Wenn ich die beiden voneinander abziehe, dann ergibt sich hier auch eine 3. Ich glaube, ich brauche das nicht weiterzumachen. Du hast das Prinzip verstanden. Immer wenn ich jetzt benachbarte Messwerte voneinander abziehe, immer den großen minus den kleinen, kommt 3 heraus. Und das ist eine wichtige Eigenschaft, sie hat einen besonderen Namen. Sie nennt sich Differenzengleichheit. Das ist die Differenzengleichheit, ich bilde die Differenzen, und alle Differenzen sind gleich. Das ist die Eigenschaft des linearen Wachstums oder der linearen Veränderung. Immer wenn du eine Wertetabelle hast und du stellst Differenzengleichheit fest, dann weißt du auch, es handelt sich um eine lineare Änderung, um lineares Wachstum oder lineare Abnahme, wobei nebenbei erwähnt und der Vollständigkeit halber: Wenn es sich hierbei um eine Abnahme handeln würde, wir können ja auch die Anzahl der noch stehenden Steine pro Sekunde hier aufschreiben, man könnte auch immer diesen Messwert minus diesem rechnen, oder diesen minus diesem, und da die Größe ja immer weiter abnimmt, ist das, was abgezogen wird, größer als das, was vorher da war, und deshalb würden hier negative Zahlen herauskommen. Wenn die Differenzen negativ sind, handelt es sich um eine lineare Abnahme. Wenn diese Differenzen positiv sind, dann handelt es sich um eine lineare Zunahme, vorausgesetzt natürlich, die Differenzen sind alle gleich. Das war's dazu, tschüss.

Lineares Wachstum – Eigenschaften Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineares Wachstum – Eigenschaften kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Tabelle, welche die umgefallenen Steine in Abhängigkeit von der Zeit anzeigt.

    Tipps

    Beachte: In jeder Zehntelsekunde fallen weitere drei Dominosteine um.

    Wenn in jeder Zehntelsekunde drei Dominosteine umfallen, dann fallen in $6$ Zehntelsekunden $6\cdot 3=18$ Dominosteine um.

    Lösung

    Da in jeder Zehntelsekunde gleich viele Steine umfallen, muss man immer zu den bereits umgefallenen drei Steine hinzuaddieren.

    Am Anfang ist noch kein Stein umgefallen. Wenn also $0$ Zehntelsekunden vergangen sind, ist noch nichts passiert. Nach einer Zehntelsekunde sind allerdings bereits drei Steine umgefallen. Dies entspricht der $3$ in der folgenden Zeile.

    • In der zweiten Zehntelsekunde kommen zu den drei bereits umgefallenen Steinen weitere drei hinzu, also $6$.
    • In der dritten Zehntelsekunde kommen zu den sechs bereits umgefallenen Steinen weitere drei hinzu, also $9$.
    • In der vierten Zehntelsekunde kommen zu den neun bereits umgefallenen Steinen weitere drei hinzu, also $12$.

  • Definiere lineares Wachstum.

    Tipps

    Hier ist ein Beispiel für lineares Wachstum:

    Paul spart für ein neues Fahrrad. Er hat bereits $200~ €$ gespart und spart nun jeden Monat weitere $5 ~€$.

    Mache dir diesen Zusammenhang zum Beispiel in einem Koordinatensystem klar.

    Wenn die Differenz zweier aufeinanderfolgender Werte bei gleichen Abständen immer gleich ist, bezeichnet man dies als Differenzengleichheit.

    Diese Tabelle stellt lineares Wachstum dar.

    Lösung

    Was bedeutet lineares Wachstum?

    Eine Größe wächst linear, wenn sie immer in gleichen Abständen um den gleichen Wert zunimmt.

    Ähnlich kann auch lineare Abnahme definiert werden: Eine Größe fällt linear, wenn sie immer in gleichen Abständen um den gleichen Wert abnimmt.

  • Beschreibe, woran man lineares Wachstum erkennen kann.

    Tipps

    Da jede Zehntelsekunde immer drei weitere Steine umfallen, erhält man bei bekannter Zahl der bereits umgefallenen Steine die Anzahl in der darauf folgenden Zehntelsekunde, indem man $3$ zu der bereits bekannten Anzahl addiert.

    Hier siehst du eine Tabelle, welche exponentielles Wachstum zeigt:

    Wenn du zwei aufeinanderfolgende y-Werte dividierst, erhältst du jeweils den gleichen Wert:

    $\frac21=\frac42=\frac84=2$.

    Lineares Wachstum liegt vor, wenn eine mathematische Größe in immer gleichen Abständen um immer den gleichen Wert zunimmt.

    Lösung

    Wenn lineares Wachstum vorliegt, ändert sich die Anzahl der umgefallenen Steine im gleichen Zeitraum immer um die gleiche Anzahl.

    Von der ersten zur zweiten Zehntelsekunde erhält man die Änderung

    $6-3=3$.

    Von der vierten zur fünften Zehntelsekunde erhält man die Änderung

    $15-12=3$.

    Man sieht, dass diese Differenzen immer gleich sind.

    Wenn man immer benachbarte Messwerte voneinander subtrahiert, erhält man jedes Mal das gleiche Ergebnis.

    Wenn man anhand einer Wertetabelle Differenzengleichheit für gleiche Abstände feststellt, liegt lineares Wachstum vor, wenn die Differenz positiv ist, ansonsten lineare Abnahme.

  • Stelle den linearen Funktionsterm zu jeder Tabelle auf.

    Tipps

    Wenn die Steigung $m=1$ ist, trage diese in die Lücke ein.

    Du musst nicht überprüfen, ob lineares Wachstum oder lineare Abnahme vorliegen.

    Der y-Achsenabschnitt ist immer der Wert für $x=0$.

    Die Differenz zwischen den Funktionswerten ist die Steigung. (Vorausgesetzt werden muss, dass die x-Werte auch stets den gleichen Abstand besitzen. Nur dann gilt Differenzengleichheit und es liegt eine lineare Steigung vor.

    Bei linearer Abnahme ist die Steigung negativ.

    Lösung

    Man kann lineares Wachstum auch dadurch beschreiben, dass es als eine lineare Funktionsgleichung darstellbar ist. Dies gilt auch für lineare Abnahme. Der entsprechende Graph in einem Koordinatensystem ist eine Gerade.

    Nur wie kann man die zugehörige Funktionsgleichung aufstellen?

    Diese lautet ganz allgemein $y=mx+b$:

    • Dabei ist $m$ die Steigung. Dies ist gerade die Differenz der Funktionswerte (Zumindest, wenn der Abstand zwischen benachbarten x-Werten, denen y-Werte zugeordnet werden, $1$ ist). Diese liegen bei allen drei Tabellen vor.
    • $b$ ist der y-Achsenabschnitt, also die Stelle auf der y-Achse, wo der Funktionsgraph die y-Achse schneidet. Diese Stelle wird stets durch $x=0$ erzeugt.
    $\begin{array}{l|c|c|c|c} x&0&1&2&3\\ \hline y&1&2&3&4 \end{array}$

    • Hier ist für $x=0$ der zugehörige Wert $1$. Also ist $b=1$. Die Differenz ist immer gleich ist, nämlich $1$. Dies ist die Steigung. Die Gleichung lautet somit $y=x+1$. Ebenso wird bei den beiden anderen Tabellen verfahren:
    $\begin{array}{l|c|c|c|c} x&0&1&2&3\\ \hline y&1&4&7&10 \end{array}$

    • Es ist $b=1$ und die Differenz $3$, was gleichbedeutend mit der Steigung ist. Dies führt zu $y=3x+1$.
    $\begin{array}{l|c|c|c|c} x&0&1&2&3\\ \hline y&8&6&4&2 \end{array}$

    • Es ist $b=8$ und die Differenz $-2$, also ist die Steigung $-2$. Dies führt zu $y=-2x+8$.
  • Überprüfe, ob die gegebene Tabelle ein lineares Wachstum darstellt.

    Tipps

    Im Falle von Differenzengleichheit liegt lineares Wachstum oder lineare Abnahme vor.

    Beachte, dass immer Differenzen von y-Werten gebildet werden, deren zugehörige x-Werte den gleichen Abstand haben.

    Zum Beispiel beträgt für $x=4$ und $x=3$ die Differenz $19-15=4$.

    Lösung

    Wie kann man lineares Wachstum erkennen, wenn eine Tabelle vorliegt?

    Man untersucht diese Tabelle auf Differenzengleichheit. Was bedeutet dies?

    Wenn man die Differenz zweier in gleichen Abständen aufeinanderfolgender Werte betrachtet, dann ist diese immer gleich.

    Dies kann nun für die nebenstehende Tabelle überprüft werden:

    • für $x=1$ und $x=0$ beträgt die Differenze $7-3=4$
    • für $x=2$ und $x=1$ beträgt die Differenze $11-7=4$
    • für $x=3$ und $x=2$ beträgt die Differenze $15-11=4$
    • für $x=4$ und $x=3$ beträgt die Differenze $19-15=4$
    • für $x=5$ und $x=4$ beträgt die Differenze $23-19=4$
    • für $x=6$ und $x=5$ beträgt die Differenze $27-23=4$
    Die Differenzen sind also jedes Mal gleich. Das bedeutet, es liegt Differenzengleichheit vor, was gleichbedeutend ist mit linearem Wachstum oder linearem Zerfall.

    Da die Differenz von folgendem und aktuellem Wert immer positiv ist, liegt lineares Wachstum vor.

  • Entscheide, ob lineares Wachstum oder lineare Abnahme vorliegen.

    Tipps

    Bei linearen Prozessen (Wachstum oder Abnahme) herrscht Differenzengleichheit.

    Differenzengleichheit bedeutet, dass die Differenz zweier in gleichen Abständen aufeinanderfolgender Werte immer gleich ist.

    Du musst in dieser Aufgabe nicht zwischen Wachstum oder Abnahme unterscheiden.

    Lösung

    Wenn man anhand einer Tabelle feststellen möchte, ob lineares Wachstum oder lineare Abnahme vorliegt, prüft man die Differenzengleichheit. Das bedeutet, man bildet immer die Differenz zweier in gleichen Abständen aufeinanderfolgender Werte. Diese muss immer gleich sein:

    $\begin{array}{l|c|c|c|c} x&0&1&2&3\\ \hline y&1&2&3&4 \end{array}$

    Wir berechnen $4-3=3-2=2-1=1$. Also liegt lineares Wachstum vor. Das Wachstum erkennt man zum einen daran, dass die Werte immer größer werden und zum anderen daran, dass die Differenzen immer positiv sind.

    $\begin{array}{l|c|c|c|c} x&0&1&2&3\\ \hline y&1&2&4&8 \end{array}$

    Hier ist $8-4=4\neq 2=4-2$. Es liegt also weder lineares Wachstum noch lineare Abnahme vor. Übrigens nennt man dieses Wachstum exponentiell, da der Quotient zweier aufeinanderfolgender Werte immer gleich groß ist.

    $\begin{array}{l|c|c|c|c} x&0&1&2&3\\ \hline y&1&4&7&10 \end{array}$

    Die Differenzen sind $10-7=7-4=4-1=3$ und daher immer gleich. Auch hier liegt lineares Wachstum vor.

    $\begin{array}{l|c|c|c|c} x&0&1&2&3\\ \hline y&4&3&1&0 \end{array}$

    Es genügt nicht, nur einige aufeinanderfolgende Werte zu betrachten. Wir erhalten zwar $3-4=0-1=-1$ und dies würde auf lineare Abnahme hindeuten. Wenn man jedoch die Differenz der Werte zu $x=2$ und $x=1$ betrachtet, erhält man $1-3=-2$. Die Differenzen stimmen somit nicht alle überein, also liegt keine lineare Abnahme vor.

    $\begin{array}{l|c|c|c|c} x&0&1&2&3\\ \hline y&8&6&4&2 \end{array}$

    In diesem Beispiel liegt lineare Abnahme vor, da $2-4=4-6=6-8=-2$ ist.