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Inverse Matrizen und Determinanten 04:35 min

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Transkript Inverse Matrizen und Determinanten

Die Inverse einer Matrix von Robert Richter und Christian Kaukers. Was ist die Inverse einer Matrix? Multipliziert man die Inverse mit ihrer Ausgangsmatrix, ergibt sich stets die Einheitsmatrix I. Die Inverse A wird dabei als A-1 bezeichnet. Folgendes sind die Voraussetzungen für das Invertieren einer Matrix: Die Matrix muss zum einen quadratisch sein und regulär. Wir invertieren eine Matrix durch folgende Operation: A-1= 1A ∙ adj A. Betrachten wir das folgende Beispiel: Gegeben sei die folgende Matrix A. Zunächst müssen wir die Determinante der Matrix mithilfe der Sarrus’schen Regel oder des Entwicklungssatzes von Laplace bestimmen. Nachdem wir die Determinante berechnet haben, die von Null verschieden sein muss, multiplizieren wir den Kehrwert dieser Determinante mit der adjungierten Matrix A. Ihr habt euch sicherlich schon gefragt, wo die Vorzeichen der Elemente in der adjungierten Matrix herkommen. Die Indizes der Elemente geben ihre Position in der Matrix an. Jede Unterdeterminante wird mit -1 hoch die Summe der Indizes multipliziert. Schaut ihr auf den blauen Pfeil, seht ihr, dass die Summe der Indizes drei ergibt. Also eine ungerade Zahl. Die Unterdeterminante des Elementes A21 wird somit mit minus eins multipliziert. Beim grünen Pfeil hingegen, ist die Summe der Indizes 3+1=4. Also eine gerade Zahl. Dieses Element, beziehungsweise die Unterdeterminante dieses Elements wird deshalb mit + 1 multipliziert. Berechnen wir nun die einzelnen Unterdeterminanten der Matrix A. Beginnen wir zunächst mit dem ersten Element a11: Hierzu müssen wir die erste Zeile sowie die erste Spalte streichen. Die Unterdeterminante des Elementes a11 lautet also: a22a23 a32 a33. Um die Determinante des Elementes a21 zu bestimmen, gehen wir analog vor. Wir streichen hierzu die zweite Zeile und erhalten als Unterdeterminante: a12 a13 a32 a33. Die Unterdeterminante des dritten Elementes könnt ihr sicherlich schon selbst bilden. Genau, wir streichen die dritte Zeile und erhalten: a12 a13 a22 a23. Zahlenbeispiel: Prüfen wir es anhand folgender Matrix. Gegeben sei die Matrix: A=1 2 0 4 . Wie wir bereits gesehen haben muss die Inverse also folgendermaßen lauten: 1 geteilt durch die Determinante von A , mal die adjungierte Matrix A. Wie lautet nun also die Inverse von A? Sie lautet: A-1=14 4 -2 0 1 . Ausmultipliziert ergibt sich also die Inverse: A-1=1 -1/2 0 1/4 .

6 Kommentare
  1. Default

    Hallo,
    leider nicht mehr verstanden als in der Vorlesung :-(

    Von Torsten1403, vor mehr als 7 Jahren
  2. Bewerbungsfoto

    Hallo Ramco,

    1/4 ist der Kehrwert der Determinante von A, in der Formel vorher im Video ist das durch 1/|A| ausgedrückt.

    Von Steve Taube, vor mehr als 8 Jahren
  3. Default

    hey Fu Berlin,

    könntest du mir sagen, woher die 1/4 am ende her kommen?

    Von Ramco, vor mehr als 8 Jahren
  4. Default

    Eine "Probe" wäre am Schluss ganz nett gewesen...
    (nur eine Kleinigkeit)

    Von Deleted User 2550, vor mehr als 9 Jahren
  5. Bewerbungsfoto

    Hi Caspar,

    das ist ne PowerPoint Präsentation (mit Formeleditor für die Formeln) und dann Screencapture mit Camtasia.

    LG. Steve.

    Von Steve Taube, vor mehr als 9 Jahren
  1. Default

    Welches Programm wird da benutzt?

    Von Deleted User 2550, vor mehr als 9 Jahren
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