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Gleichungen mit Sinus, Cosinus und Tangens mit einem Winkelfunktionsterm 07:30 min

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Transkript Gleichungen mit Sinus, Cosinus und Tangens mit einem Winkelfunktionsterm

Hallo! Heute soll es um trigonometrische Gleichungen gehen. Was sind trigonometrische Gleichungen eigentlich? Sie enthalten immer mindestens eine trigonometrische Funktion - wie sin(x), cos(x) und tan(x). Die Schwierigkeit ist hier, dass die Variable im Argument der trigonometrischen Funktion vorkommt. In diesem Video möchte ich dir an einfachen Beispielen zeigen, wie du Gleichungen mit einer Winkelfunktion löst.

Beispiel einer einfachen goniometrischen Gleichung mit Sinus + Lösungsweg

Der einfachste Fall einer trigonometrischen Gleichung liegt beispielsweise bei einer Gleichung wie sinus x gleich 0,5 vor - also einer Gleichung, bei der zu einem gegebenen Wert nur der Winkel x zu bestimmen ist.

Um eine solche Gleichung zu lösen musst Du nur Sinus hoch -1 von 0,5 in den Taschenrechner eingeben. Dann erhälst Du den Winkel x gleich 30 Grad, wenn der Modus des Taschenrechners auf “degree” eingestellt ist. Die Schreibweise “hoch minus 1” hat hier eine andre Bedeutung als in der Potenzrechnung: Die Rechenvorschrift dazu lautet: arcus sinus von 0,5 gleich x.

Was hast Du hier eigentlich berechnet? Sinus x ist Term einer trigonometrischen Funktion mit der Funktionsgleichung f von x gleich Sinus x. Statt f von x steht hier der Funktionswert 0,5. Gesucht sind also alle Argumente x, deren Funktionswert 0,5 ist. Sinus x ist aber eine periodische Funktion. Es muss also mehrere Argumente geben die zu dem Funktionswert 0,5 führen.

Wenn man beim Argument 0 startet, steigt die Funktion bis zu einem Maximalwert, in diesem Fall 1 und fällt danach wieder und erreicht die x-Achse bei einem Winkel von 180 Grad. Sowohl beim Steigen, als auch beim Fallen erreicht sie irgendwann den Funktionswert 0,5. Es gib also im Intervall von 0 Grad bis 180 Grad zwei Winkel, die zu dem Funktionswert 0,5 führen.

Im Tafelwerk finden wir dazu dan entsprechender Stelle die Gleichung sinus x gleich sinus 180 Grad minus x. Man hat also innerhalb einer Periode zwei Lösungen, die zum Funktionswert 0,5 führen. Man errechnet den zweiten Winkel, indem man von 180 Grad den zuerst errechneten Winkel von 30 Grad abzieht. Der zweite Winkel ist in diesem Fall 150 Grad.

Jetzt hat man alle Winkel innerhalb einer Periode, die zum Funktionswert 0,5 gehören. Die Funktion ist periodisch und hat alle 360 Grad wieder einen Winkel, der zum gleichen Funktionswert führt. Das drückt man aus, indem man zu den bestimmten Winkeln in der ersten Periode ganzzahlige Vielfache von 360 Grad addiert oder subtrahiert. k kann also positiv und negativ sein, gehört also zum Zahlenbereich der ganzen Zahlen. Setzt man für k 0 ein, erhält man die ursprünglich berechneten Winkel.

Beispiel einer goniometrischen Gleichung mit Kosinus + Lösungsweg

Um das, was Du bisher gelernt hast zu vertiefen, wählen wir jetzt eine andere trigonometrische Funktion. Wählen wir den gleichen Funktionswert, aber diesmal soll der Kosinus von x gleich 0,5 sein. Das Verfahren ist das selbe, wir müssen aber hier unser Wissen über die Kosinusfunktion mit einbringen.

Unsere Gleichung lautet: Kosinus x gleich 0,5. Wir beginnen genauso wie bei der ersten Aufgabe und geben Kosinus hoch -1 von 0,5 in den Taschenrechner ein. Wir erhalten als Lösung den Winkel 60 Grad. Die Rechenvorschrift heißt hier: arcus Kosinus von 0,5 gleich x und die Lösung: x gleich 60 Grad.

Um den zweiten Winkel bestimmen zu können, bei dem die Kosinusfunktion den y-Wert 0,5 annimmt, schauen wir wieder ins Tafelwerk. Wir erfahren, dass der cosinus von x auch der cosinus von minus x ist. Der zweite Winkel liegt also bei minus 60 Grad. Da die Kosinusfunktion eine Periodenlänge von 360 Grad hat, nimmt sie den Wert 0,5 in jeder Periode alle 360 Grad an. Nämlich einerseits x gleich 60 Grad plus k mal 360 Grad und andererseits x gleich -60 Grad plus k mal 360 Grad. Auch hier ist k Element der ganzen Zahlen.

Beispiel einer goniometrischen Gleichung mit Tangens + Lösungsweg

Zum Schluss wollen wir noch eine Gleichung mit der Tangensfunktion lösen. Wir wählen wieder den gleichen Y-Wert und suchen alle Winkel, die zu diesem Wert führen. Die Tangensfunktion ist auch periodisch und symmetrisch zum Ursprung, hat aber - wie du siehst - eine ganz andere Form als die Sinus- oder Kosinusfunktion.

Die Gleichung lautet: Tangens x gleich 0,5. Wir berechnen arcus Tangens von 0.5, indem wir wieder Tangens hoch -1 von 0,5 in den Taschenrechner eingeben und erhalten gerundet den Winkel 26,57 Grad für x.

Innerhalb einer Periode wird bei der Tangensfunktion jeder Wert nur einmal angenommen. Wir können also gleich nach der allgemeingültigen Vorschrift für die anderen Winkel in Abhängigkeit von k suchen. Bei der Tangensfunktion wiederholen sich die Y-Werte alle 180 Grad. Tangens x ist also hier gleich Tangens x plus k mal 180 Grad. k ist natürlich wieder Element der ganzen Zahlen. Wir finden also alle Winkel, indem wir zum errechneten Argument x gleich 26,57 Grad ganzzahlige Vielfache von 180 Grad addieren.

Zusammenfassung

Du hast heute gelernt, wie man einfache trigonometrische Gleichungen löst. Es war doch gar nicht so schwer, oder? Was musstest Du zum Lösen tun?

Du hast die erste Lösung mit dem Taschenrechner bestimmt. Dann hast Du Dein Wissen über trigonometrische Funktionen angewendet. Bei der Sinus- und Kosinusfunktion gibt es immer zwei Lösungen pro Periode. Nun kannst Du das ein wenig üben und weitere Gleichungen dieser Art lösen. Viel Spaß und auf Wiedersehen.

3 Kommentare
  1. Danke, ich habe es zum Teil verstanden. Vielen Dank!

    Von Starhalle, vor etwa einem Jahr
  2. Also Tafelwerk das verstehe ich nicht was ist das Bitte erklär das mal

    Von Mohamadali 93, vor mehr als einem Jahr
  3. sehr gut erklärt!

    Von Selma Kulow, vor fast 2 Jahren

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Gleichungen mit Sinus, Cosinus und Tangens mit einem Winkelfunktionsterm Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungen mit Sinus, Cosinus und Tangens mit einem Winkelfunktionsterm kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Lösungen der trigonometrischen Gleichungen wieder.

    Tipps

    Die Periode des Sinus und Kosinus beträgt $360°$.

    Innerhalb einer Periode besitzt der Tangens genau eine Lösung.

    Mithilfe des Taschenrechners kann man ermitteln, dass $x=45°$ eine Lösung der Gleichung $\begin{align}\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{align}$ ist.

    Lösung

    1. Betrachten wir zunächst $\tan(x)=0{,}5$. Wir ermitteln mithilfe des Taschenrechners den Wert von $x=\tan^{-1}(0{,}5)$. Wir erhalten einen gerundeten Wert von $x\approx 26{,}57°$. Innerhalb einer Periode wird jedem $x$ genau ein Wert für $\tan(x)$ zugeordnet und da die Periode beim Tangens $180°$ beträgt, erhalten wir für $k\in\mathbb{Z}$ die allgemeingültige Vorschrift $\tan(x)=\tan(x+k\cdot 180°)$. Da wir mit rund $26{,}57°$ eine Lösung haben, besitzt die trigonometrische Gleichung $\tan(x)=0{,}5$ die vollständige Lösung $x=26{,}57°+k\cdot 180°$.
    2. Wir wollen jetzt $\sin(x)=0{,}5$ lösen. Die erste Lösung ermitteln wir durch die Eingabe von $\sin^{-1}$ gefolgt von $0{,}5$ in den Taschenrechner. Es ergibt sich die erste Lösung $x_1=30°$. Der Sinus besitzt innerhalb einer Periode allerdings zwei Lösungen. Für die zweite Lösung wird uns die Beziehung $\sin(x)=\sin(180°-x)$ helfen. Es gilt also $0{,}5=\sin(30°)=\sin(180°-30°)=\sin(150°)$, womit $x_2=150°$ unsere zweite Lösung ist. Weiterhin treten aufgrund der Periodizität des Sinus die gleichen Funktionswerte alle $360°$ auf. Die vollständige Lösung lautet demnach $x=30°+k\cdot 360°$ oder $x=150°+k\cdot 360°$ für $k\in\mathbb{Z}$.
    3. Für die Lösung der trigonometrischen Gleichung $\cos(x)=0{,}5$ verfahren wir so ähnlich wie bei 2. Wir ermitteln die erste Lösung mithilfe des Taschenrechners. Die Eingabe $\cos^{-1}$ und $0{,}5$ liefert einen Winkel von $60°$. Der Kosinus besitzt in einer Periode ebenfalls zwei Lösungen. Die zweite Lösung erhält man durch Anwendung der Gleichung $\cos(x)=\cos(-x)$. Es gilt somit $0{,}5=\cos(60°)=\cos(-60°)$, womit $x_2=-60°$ die zweite Lösung ist. Der Kosinus ist ebenfalls wie der Sinus periodisch mit einer Periode von $360°$. Die Gleichung $\cos(x)=0{,}5$ besitzt also als vollständige Lösungen $x=60°+k\cdot 360°$ oder $x=-60°+k\cdot 360°$ für $k\in\mathbb{Z}$.
    4. Um die trigonometrische Gleichung $\begin{align}\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{align}$ zu lösen, nutzen wir wieder die Herangehensweise wie bei 2. Der Taschenrechner berechnet durch $\sin^{-1}$ und $\begin{align}\frac{\sqrt{2}}{2}\end{align}$ die erste Lösung. Diese ist $x_1=45°$. Da es innerhalb einer Periode zwei Lösungen gibt und die Gleichung $\sin(x)=\sin(180°-x)$ gilt, ergibt sich die zweite Lösung aus $\begin{align}\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin(45°)=\sin(180°-45°)=\sin(135°)\end{align}$. Es ist also $x_2=135°$. Mit $x_1$ und $x_2$ haben wir damit unsere „Minimallösungen” erhalten. Die vollständige Lösung ist damit $x=45°+k\cdot 360°$ oder $x=135°+k\cdot 360°$ mit $k\in\mathbb{Z}$. Ist $k=0$, dann erhält man gerade die Minimallösungen.
    Die übrigen möglichen Lösungen, d.h. $x=26{,}57°+k\cdot 360°$ und $x=30°+ k\cdot 180°$, $x=150°+ k\cdot 180°$ entfallen also.

  • Bestimme die Lösungen der trigonometrischen Gleichung $\sin(x)=0{,}5$.

    Tipps

    Der Wert $\sin(20°)$ ist wegen der Beziehung $\sin(x)=\sin(180°-x)$ der Gleiche wie $\sin(160°)$.

    Die Periode des Sinus beträgt $360°$, d.h. alle $360°$ führt ein Winkel zum gleichen Funktionswert.

    Wenn $x=30°$ die trigonometrische Gleichung $\sin(x)=0{,}5$ löst, dann ist wegen der Periodizität des Sinus auch $x=30°+k\cdot 360°$ für $k\in\mathbb{Z}$ eine Lösung.

    Lösung

    Wir wollen die trigonometrische Gleichung $\sin(x)=0{,}5$ lösen. Das werden wir in drei Schritten machen.

    1. Im ersten Schritt nehmen wir den Taschenrechner zur Hand und geben $\sin^{-1}$ gefolgt von $0{,}5$ ein. Hierbei müssen wir darauf achten, dass der Taschenrechner auf Degree (engl.: Grad) eingestellt ist, da wir unser Ergebnis in Grad angeben wollen. Wir erhalten einen Winkel von $30°$. Der Taschenrechner hat dabei intern den Wert $\arcsin(0{,}5)$ berechnet.
    2. In der Abbildung kannst du sicherlich gut erkennen, dass der Sinus für den Wert $0{,}5$ zwei Lösungen besitzt. Um die zweite Lösung zu bestimmen, wird uns die Beziehung $\sin(x)=\sin(180°-x)$ weiterhelfen. Wir setzen einfach unsere erste Lösung $x_1=30°$ ein. Dann ergibt sich $\sin(30°)=\sin(180°-30°)=\sin(150°)$. Der Wert von $\sin(30°)$ ist $0{,}5$ und da $\sin(30°)=\sin(150°)$ gilt, ist die zweite Lösung also $x_2=150°$.
    3. Die Sinusfunktion ist eine periodische Funktion mit der Periode von $360°$. Das bedeutet, dass alle $360°$ ein Winkel zum gleichen Funktionswert führt. Formal ausgedrückt bedeutet das, dass $x=30°+k\cdot 360°$ oder $x=150°+k\cdot 360°$, wobei $k\in\mathbb{Z}$, Lösungen der trigonometrischen Gleichung $\sin(x)=0{,}5$ sind.
  • Stelle den Weg zur Lösung der trigonometrischen Gleichung $\cos(x)=0{,}5$ dar.

    Tipps

    Mithilfe der Taste $\cos^{-1}$ auf dem Taschenrechner lässt sich die erste Lösung der Gleichung $\cos(x)=0{,}25$ bestimmen.

    Wenn $x=30°$ eine Lösung der Gleichung

    $\begin{align*}\cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$

    ist, dann ist wegen $\cos(x)=\cos(-x)$ auch $x=-30°$ eine Lösung.

    Es gilt $\cos(60°)=0{,}5$. Da die Periode des Kosinus $360°$ beträgt, ist die vollständige Lösung damit $x=60°+k\cdot 360°$ für $k\in\mathbb{Z}$.

    Lösung

    Wir wollen die trigonometrische Gleichung $\cos(x)=0{,}5$ lösen.

    1. Im ersten Schritt tippen wir $\cos^{-1}$ gefolgt von $0{,}5$ in den Taschenrechner ein. Damit berechnen wir $x=\cos^{-1}(0{,}5)$.
    2. Der Taschenrechner wird als Ergebnis, sofern dieser auf Degree eingestellt ist, $x_1=60°$ liefern.
    3. Der Kosinus besitzt innerhalb einer Periode allerdings zwei Lösungen. Die zweite Lösung lässt sich über die Beziehung $\cos(x)=\cos(-x)$ ermitteln.
    4. Es gilt also $\cos(60°)=\cos(-60°)$, womit $x_2=-60°$ unsere zweite Lösung ist.
    5. Aufgrund der Periodizität des Kosinus wird alle $360°$ ein Winkel zum gleichen Funktionswert führen. Wir werden also unendlich viele Lösungen für die trigonometrische Gleichung $\cos(x)=0{,}5$ herausbekommen, was wir formal durch $x=60°+k\cdot 360°$ oder $x=-60°+k\cdot 360°$ mit $k\in\mathbb{Z}$ darstellen können. Unsere beiden Lösungen $x_1=60°$ oder $x_2=-60°$ sind dabei „Minimallösungen” und dienen der Angabe der vollständigen Lösungen.
  • Ermittle die Lösungen der angegebenen trigonometrischen Gleichungen.

    Tipps

    Eine trigonometrische Gleichung kann äquivalent umgeformt werden. Dazu betrachte das nebenstehende Beispiel.

    Im ersten Schritt wurde auf beiden Seiten der Gleichung $2\cdot \sin(x)$ abgezogen und im zweiten Schritt wurde $2$ auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert.

    Ist $x=90°+k\cdot 180°$ oder $x=-90°+k\cdot 180°$ mit $k\in\mathbb{Z}$ eine vollständige Lösung einer trigonometrischen Gleichung, dann sind beide Gleichungen identisch, denn für $k=-1$ ergibt sich in der ersten Gleichung $x=90°+(-1)\cdot 180°=-90°$ und für $k=1$ ergibt sich in der zweiten Gleichung $x=-90°+1\cdot 180°=90°$. Beide „Minimallösungen” $90°$ und $-90°$ sind also jeweils in der anderen Gleichung enthalten, womit es reicht, eine vollständige Lösung anzugeben.

    Es gelten die Beziehungen $\sin(x)=\sin(180°-x)$, $\cos(x)=\cos(-x)$ und $\tan(x)=\tan(x+k\cdot 180°)$ für $k\in\mathbb{Z}$.

    Lösung

    Wir werden die vier trigonometrischen Gleichungen zunächst durch Äquivalenzumformungen in eine andere bzw. einfachere „Form” bringen, um sie dann besser lösen zu können.

    Wir beginnen mit $2\cdot\sin(x)+3=2+\sin(x)$. Es gilt:

    $\begin{align*} 2\cdot\sin(x)+3=2+\sin(x) ~~\overset{-\sin(x)}{\Longleftrightarrow}~~  \sin(x)+3=2 ~~\overset{-3}{\Longleftrightarrow}~~ \sin(x)=-1 \end{align*}$

    Der Taschenrechner berechnet nun intern den Wert $x=\arcsin(-1)$. Wir erhalten dann als erste Lösung $x_1=-90°$. Über die Beziehung $\sin(x)=\sin(180°-x)$ ergibt sich somit

    $\begin{align*} -1=\sin(-90°)=\sin(180°-(-90°))=\sin(270°). \end{align*}$

    Die zweite Lösung wäre damit $x_2=270°$, womit $x=-90°+k\cdot 360°$ oder $x=270°+k\cdot 360°$ mit $k\in\mathbb{Z}$ die vollständige Lösung ist.

    Setzen wir in der ersten Gleichung $k=1$, dann erhalten wir $x=-90°+1\cdot 360°=270°$, was gerade unser $x_2$ ist. Würden wir in der zweiten Gleichung $k=-1$ setzen, dann würde $x=270°+(-1)\cdot 360°=-90°$ folgen. Beide Lösungen $x_1$ und $x_2$ sind also in beiden vollständigen Lösungen enthalten, womit beide identisch sind und wir nur eine vollständige Lösung angeben brauchen. Folglich löst $x=-90°+k\cdot 360°$ mit $k\in\mathbb{Z}$ die trigonometrische Gleichung $2\cdot\sin(x)+3=2+\sin(x)$.

    Als nächstes schauen wir uns die Gleichung $4\cdot \cos(x)=\sqrt{3}+2\cdot\cos(x)$ an. Es gilt zunächst:

    $\begin{align*} 4\cdot \cos(x)=\sqrt{3}+2\cdot\cos(x) ~~\overset{-2\cdot\cos(x)}{\Longleftrightarrow}~~  2\cdot \cos(x)=\sqrt{3} ~~\overset{:2}{\Longleftrightarrow}~~ \cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$

    Der Taschenrechner berechnet für $x$ nach Eingabe von $\cos^{-1}$ und $\begin{align}\frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}$ die erste Lösung $x_1=30°$. Für den Kosinus gilt nun außerdem $\cos(x)=\cos(-x)$. Es gilt also $\begin{align}\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos(30°)=\cos(-30°)\end{align}$, womit $x_2=-30°$ unsere zweite Lösung ist. Durch die Periodizität des Kosinus von $360°$ ist die vollständige Lösung damit $x=30°+k\cdot 360°$ oder $x=-30°+k\cdot 360°$ mit $k\in\mathbb{Z}$.

    Die dritte trigonometrische Gleichung $2\cdot \tan(x)-1=3$ können wir ebenfalls umformen. Es gilt:

    $\begin{align*} 2\cdot \tan(x)-1=3 ~~\overset{+1}{\Longleftrightarrow}~~ 2\cdot \tan(x)=4 ~~\overset{:2}{\Longleftrightarrow}~~ \tan(x)=2 \end{align*}$

    Für die gesuchte Größe $x$ berechnet der Taschenrechner $x=\arctan(2)$. Man erhält für $x$ einen gerundeten Wert von $x\approx 63{,}43°$. Der Tangens besitzt innerhalb einer Periode von $180°$ nur eine Lösung und durch die allgemeingültige Vorschrift $\tan(x)=\tan(x+k\cdot 180°)$ für $k\in\mathbb{Z}$ erhalten wir die vollständige Lösung $x=63{,}43°+k\cdot 180°$ mit $k\in\mathbb{Z}$.

    Zum Schluss lösen wir jetzt noch die Gleichung $4\cdot \sin(x)+\sqrt{2}=\sqrt{6}$. Wieder können wir die Gleichung etwas umformen:

    $\begin{align*} 4\cdot \sin(x)+\sqrt{2}=\sqrt{6} ~~\overset{-\sqrt{2}}{\Longleftrightarrow}~~ 4\cdot \sin(x)=\sqrt{6}-\sqrt{2} ~~\overset{:4}{\Longleftrightarrow}~~  \sin(x)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \end{align*}$

    Mithilfe des Taschenrechners ermittelt man die erste Lösung von $\begin{align}x_1=\arcsin\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=15°\end{align}$. Die zweite Lösung ergibt sich wieder aus der Beziehung $\sin(x)=\sin(180°-x)$. Es ist nämlich

    $\begin{align*} \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\sin(15°)=\sin(180°-15°)=\sin(165°). \end{align*}$

    Folglich ist $x_2=165°$ und aufgrund der Periodizität des Sinus von $360°$ sind die vollständigen Lösungen damit $x=15°+k\cdot 360°$ oder $x=165°+k\cdot 360°$ mit $k\in\mathbb{Z}$.

    Die übrigen möglichen Lösungen $x=270°+k\cdot 180°$ und $x=15° + k\cdot 180°$, $x=165°+ k\cdot 180°$ entfallen damit.

  • Entscheide, welche der Aussagen korrekt sind.

    Tipps

    Anstelle von $x=\cos^{-1}(0{,}5)$ kann man auch mathematisch korrekter $x=\arccos(0{,}5)$ schreiben.

    Für den Tangens gilt aufgrund seiner Periodizität die Gleichung $\tan(x)=\tan(x+180°)$.

    Die Werte vom Kosinus sind an der Stelle $0°$ und $180°$ verschieden, denn es ist $\cos(0°)=1$ und $\cos(180°)=-1$.

    Es ist $x=60°+k\cdot 360°$ mit $k\in\mathbb{Z}$ eine Lösung von $\cos(x)=0{,}5$. Also lösen z.B. $60°$, $-300°$, $420°$ u.a. die Gleichung.

    Lösung

    Der Term $\sin^{-1}(x)$ steht für den Kehrwert von $\sin(x)$.

    Der Term $\sin^{-1}(x)$ steht für die Umkehrfunktion der Sinusfunktion an der Stelle $x$. Möchte man es genauer aufschreiben, dann kann man anstelle von $\sin^{-1}(x)$ auch $\arcsin(x)$ notieren. Die Aussage ist also falsch. Der Kehrwert von $\sin(x)$ drückt sich außerdem durch den Term $\left(\sin(x)\right)^{-1}$ aus.

    Die Gleichung $\sin(x)=0{,}5$ besitzt unendlich viele Lösungen.

    Wir haben bereits ermittelt, dass $x=30°+k\cdot 360°$ oder $x=150°+k\cdot 360°$ mit $k\in\mathbb{Z}$ Lösungen der Gleichung $\sin(x)=0{,}5$ sind. Da es unendlich viele ganze Zahlen gibt, gibt es auch unendlich viele Lösungen. Ist $k=0$, dann sind $x=30°$ oder $x=150°$ Lösungen; ist $k=1$, dann sind $x=390°$ oder $x=510°$ Lösungen; ist $k=-1$, dann sind $x=-330°$ oder $x=-210°$ Lösungen usw. Die Aussage ist wahr.

    Es gilt $\sin(x)=\sin(180°-x)$ und $\cos(x)=\cos(x+180°)$.

    Damit die Aussage wahr ist, müssen beide Gleichungen erfüllt sein. Wir betrachten zunächst die zweite Gleichung und setzen $x=0$. Dann erhalten wir $\cos(0)=\cos(0+180°)=\cos(180°)$. Nun gilt aber $\cos(0)=1$ und $\cos(180°)=-1$, womit $1=-1$ einen Widerspruch liefert. Die zweite Gleichung gilt demzufolge nicht, womit die gesamte Aussage falsch ist.

    Die Periode vom Sinus, Kosinus und Tangens beträgt $180°$.

    Wir zeigen, dass die Aussage falsch ist. Dafür betrachten wir die Aussage nur für den Sinus. Angenommen, die Periode vom Sinus wäre $180°$. Dann würde auch $\sin(x)=\sin(x+180°)$ gelten. Wir wissen außerdem, dass $\sin(30°)=0{,}5$ ist. Allerdings ist $0{,}5=\sin(30°)=\sin(30°+180°)=\sin(210°)=-0{,}5$, womit wegen $0{,}5=-0{,}5$ ein Widerspruch folgt. Die gesamte Aussage ist also falsch.

    Die Gleichung $\sin(x)=1$ besitzt als Lösung nur $x=90°+k\cdot 360°$ mit $k\in\mathbb{Z}$.

    Setzen wir für $k=0$, dann erhalten wir $x=90°$ und dass der Sinus von $90°$ gerade $1$ ist, kann man mit dem Taschenrechner ausrechnen oder im Tafelwerk nachschlagen. Also ist $x=90°$ eine „Minimallösung” für die Gleichung $\sin(x)=1$. Wegen der Beziehung $\sin(x)=\sin(180°-x)$ ergibt sich $1=\sin(90°)=\sin(180°-90°)=\sin(90°)$. Die zweite Lösung ist also ebenfalls der Winkel $90°$, welche wegen der Gleichheit zur ersten Lösung nicht explizit mit angegeben werden muss. Als vollständige Lösung ergibt sich aufgrund der Periodizität des Sinus von $360°$ damit durch $x=90°+k\cdot 360°$ mit $k\in\mathbb{Z}$. Die Aussage ist also wahr.

  • Bestimme die Lösungen der trigonometrischen Gleichungen.

    Tipps

    Eine trigonometrische Gleichung kann durch Äquivalenzumformungen verändert werden. Bspw. kann man bei der Gleichung $5\cdot \cos(x)=10\cdot\sqrt{3}$ beide Seiten durch $5$ dividieren.

    Die nebenstehende Gleichung besitzt in einer Periode zwei Lösungen. Die 1. Lösung lässt sich mit dem Taschenrechner ermitteln und die 2. Lösung erhält man aus der Beziehung $\sin(x)=\sin(180°-x)$.

    Es gilt $\large\tan(0°)=0$ und mit der Beziehung $\large\tan(x)=\tan(x+k\cdot 180°)$ ist die vollständige Lösung damit $\large x=0°+k\cdot 180°$, d.h. $\large x=k\cdot 180°$ für $\large k\in\mathbb{Z}$.

    Lösung

    Wir wollen zunächst die vollständigen Lösungen von $2\cdot \sin(x)=\sqrt{3}$ berechnen. Dafür schreiben wir die Gleichung zunächst so um, dass das $\sin(x)$ auf einer Seite der Gleichung alleine steht. Wir dividieren also durch $2$. Es gilt die Äquivalenz:

    $\begin{align*} 2\cdot \sin(x)=\sqrt{3} ~~~\Longleftrightarrow~~~ \sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$

    Wir berechnen nun den $\begin{align}\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\end{align}$, indem wir in den Taschenrechner $\sin^{-1}$ gefolgt von $\begin{align}\frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}$ eingeben. Wir erhalten dann die erste Lösung $x_1=60°$. Der Sinus besitzt innerhalb einer Periode allerdings zwei Lösungen. Die zweite Lösung erhalten wir durch die Beziehung $\sin(x)=\sin(180°-x)$, denn damit gilt

    $\begin{align*} \frac{\sqrt{3}}{2}=\sin(60°)=\sin(180°-60°)=\sin(120°). \end{align*}$

    Somit ist $x_2=120°$ unsere zweite Lösung. Da der Sinus eine periodische Funktion mit der Periode von $360°$ ist, ergeben sich die vollständigen Lösungen damit aus $x=60°+k\cdot 360°$ oder $x=120°+k\cdot 360°$, wobei $k\in\mathbb{Z}$ ist.

    Nun soll die trigonometrische Gleichung $3\cdot \tan(x)=3$ gelöst werden. Diese Gleichung können wir ebenfalls ein wenig vereinfachen, wenn wir auf beiden Seiten durch $3$ dividieren.

    $\begin{align*} 3\cdot \tan(x)=3 ~~~\Longleftrightarrow~~~ \tan(x)=1 \end{align*}$

    Die Eingabe von $\tan^{-1}$ und $1$ in den Taschenrechner liefert einen Wert für $x$ von $x=45°$. Da der Tangens anders als der Sinus und der Kosinus innerhalb einer Periode nur eine Lösung besitzt, können wir über die allgemeingültige Vorschrift $\tan(x)=\tan(x+k\cdot 180°)$ für $k\in\mathbb{Z}$ die vollständige Lösung erhalten. Denn damit gilt

    $\begin{align*} 1=\tan(45°)=\tan(45°+k\cdot 180°). \end{align*}$

    Die vollständige Lösung der Gleichung $3\cdot \tan(x)=3$ lautet demnach $x=45°+k\cdot 180°$ für $k\in\mathbb{Z}$.