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Trigonometrische Gleichungen 06:38 min

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Transkript Trigonometrische Gleichungen

Sinus, Cosinus, Tangens...Trigonometrische Gleichungen. Das sind Gleichungen, die den Sinus, Cosinus oder Tangens der gesuchten Größe enthalten. Weil die zugehörigen trigonometrischen Funktionen periodisch sind, haben solche Gleichungen häufig unendlich viele Lösungen. Schauen wir uns das an diesem Beispiel an. Die Variable x beschreibt hier alle Winkel, für die der Cosinus ein Halb beträgt. Um die Gleichung zu lösen, müssen wir die Umkehroperation des Cosinus ausführen: 'x ist gleich Arcuscosinus von 0,5'. Auf dem Taschenrechner wird diese Operation mit 'Cosinus hoch minus 1' dargestellt. Aber Achtung! Diese Schreibweise für den Arcuscosinus ist eigentlich nicht korrekt, du solltest immer diese bei deinen schriftlichen Rechnungen verwenden. Sollst du den Winkel in Grad angeben, dann achte darauf, dass dein Taschenrechner auf den DEGREE-Modus eingestellt ist. Das Ergebnis lautet hier: 60 Grad. Damit sind wir aber noch nicht am Ende. Denn nicht nur der Cosinus von 60 Grad ergibt 0,5, das gilt auch für viele andere Winkel. Betrachten wir mal die Cosinusfunktion. Als PERIODISCHE Funktion wiederholt sich ihr Verlauf in festen Abschnitten. Die LÄNGE dieser Abschnitte nennt man PERIODE P der Funktion und beim Cosinus beträgt sie 360 Grad. Gesucht sind alle x-Werte, deren y-Werte 0,5 ergeben. HIER liegt der Wert zu 60 GRAD. Jeweils um Vielfache der Periode davon entfernt liegen DIESE Werte. Ihre Werte ergeben sich also, indem man GANZZAHLIGE Vielfache von 360 Grad zu den 60 Grad hinzuaddiert. So erhalten wir eine Abfolge von Lösungen, die sich in BEIDE Richtungen unendlich fortsetzt. Welche Lösung HIER angegeben wird, ist dabei beliebig. In jedem Fall erhalten wir dieselbe Abfolge. Damit haben wir aber immer noch nicht ALLE Lösungen der Gleichung erhalten. Für die anderen Lösungen können wir uns die ACHSENSYMMETRIE der Cosinusfunktion zunutze machen. Jede bisher gefundene Lösung hat also ein BETRAGSGLEICHES Gegenstück mit ENTGEGENGESETZTEM Vorzeichen. 'Minus 60' Grad ist also auch eine Lösung. Die anderen Lösungen ergeben sich auch hier, indem man ganzzahlige Vielfache von 360 Grad addiert. Wir können beide Angaben auch zusammenfassen. Darin sind ALLE Lösungen der Gleichung 'Cosinus von x ist 0,5' enthalten. Dann können wir auch die LÖSUNGSMENGE dieser Gleichung angeben. Wie sieht es denn bei DIESEM Beispiel aus? Hier beschreibt die Variable x ALLE Winkel, für die der SINUS 0,5 beträgt. Wir gehen genauso vor, wie im letzten Beispiel: Der Taschenrechner gibt uns als erste Lösung 30 Grad. Die Betrachtung der Sinusfunktion liefert uns weitere Lösungen. Auch hier ist die Periode 360 Grad lang. Wir erhalten weitere Lösungen der Gleichung 'Sinus von x ist 0,5', indem wir ganzzahlige Vielfache von 360 Grad zu den 30 Grad hinzuaddieren. Um die anderen Lösungen zu finden, betrachten wir von der Sinusfunktion den Abschnitt von 0 Grad bis 180 Grad. Zur Geraden 'x gleich 90 Grad' ist er spiegelsymmetrisch. So finden wir eine weitere Lösung der Gleichung: 'x gleich 150 Grad'. Und auch hier erhalten wir durch Addition ganzzahliger Vielfacher von 360 Grad weitere Lösungen. DIESE Werte können wir SO umschreiben. Dann können wir die beiden Angaben auch zusammenfassen und die Lösungsmenge formulieren. DIESER Teil des Ausdrucks entspricht gerade der Lösungsmenge für die Gleichung 'Cosinus x ist 0,5'. Betrachten wir noch einmal die Cosinusfunktion, sehen wir folgendes: Verschiebt man die Cosinusfunktion um 90 Grad nach rechts, erhält man genau die Sinusfunktion. Das gilt auch für die Lösungen der entsprechenden trigonometrischen Gleichungen. So erhalten wir aus der Lösungsmenge für die Gleichung mit COSINUS durch Addition von 90 Grad die Lösungsmenge für die Gleichung mit Sinus. Betrachten wir noch ein letztes Beispiel: Hier beschreibt die Variable x ALLE Winkel, für die der TANGENS 1 ist. Der Taschenrechner gibt uns als erste Lösung 45 Grad. Betrachten wir analog zu den vorherigen Beispielen die Tangensfunktion, sehen wir, dass ihre Periode 180 Grad beträgt. Über eine Periodenlänge wird jeder Funktionswert nur EINMAL angenommen. Wir können die Lösungsvorschrift der Gleichung 'Tangens x ist 1' also einfach angeben. Die Lösungsmenge sieht SO aus. Fassen wir das noch einmal zusammen: Eine trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung, die den Sinus, Cosinus oder Tangens der gesuchten Größe enthält. Weil die zugehörigen trigonometrischen Funktionen periodisch sind, haben solche Gleichungen häufig unendlich viele Lösungen. Der Taschenrechner gibt oft nur EINE Lösung an. Die anderen Lösungen ergeben sich, indem man die zugehörige trigonometrische Funktion untersucht. Sinus und Cosinus haben dabei eine Periode von 360 Grad. Die meisten Funktionswerte werden auf einer Periodenlänge ZWEIMAL angenommen. Deshalb findest du in der Regel auch ZWEI Lösungen der entsprechenden trigonometrischen Gleichung. Alle anderen Lösungen ergeben sich, indem du zu diesen Lösungen GANZZAHLIGE Vielfache von 360 Grad addierst. Die Tangensfunktion hat dagegen eine Periode von 180 Grad. Jeder Funktionswert wird auf dieser Periodenlänge EINMAL angenommen. Die Lösungen einer trigonometrischen Gleichung mit Tangens findest du also mit Hilfe der EINEN Lösung, die der Taschenrechner ausgibt. Alle anderen Lösungen ergeben sich, indem du zu dieser Lösung GANZZAHLIGE Vielfache von 180 Grad addierst. So! Damit weißt du über trigonometrische Gleichungen Bescheid.

Videos im Thema

Gleichungen mit Sinus, Cosinus und Tangens (1 Videos)

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Trigonometrische Gleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Trigonometrische Gleichungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu trigonometrischen Funktionen.

    Tipps

    Trigonometrische Funktionen wiederholen sich periodisch. Das heißt, bewegst du dich entlang der $x$-Achse, wiederholen sich die Werte der Funktion in immer gleichen Abständen.

    Nach den Potenzgesetzen gilt: $ \cos^{-1}= \frac{1}{\cos}$

    Das DEG auf deinem Taschenrechner steht für degree (Grad) und das RAD für radians (Bogenmaß).

    Lösung

    Diese Aussagen sind korrekt:

    „Die Lösungen von trigonometrischen Gleichungen wiederholen sich periodisch.“

    • Trigonometrische Funktionen wiederholen sich periodisch. Das heißt, wenn du dich entlang der $x$-Achse bewegst, wiederholen sich die Werte der Funktion in immer gleichen Abständen. Aus diesem Grund gibt es zu jedem Funktionswert unendlich viele $x$-Werte, die sich periodisch wiederholen. Diese $x$-Werte entsprechen den Lösungen der zu diesem Funktionswert zugehörigen trigonometrischen Gleichung.
    „Trigonometrische Gleichungen haben unendlich viele Lösungen“

    • Auf dem Bild siehst du die Periodizität der Sinus-Funktion (hellblau) und der Cosinus-Funktion (dunkelblau). Die rosafarbenen Punkte markieren die Lösungen für $sin(x)=0,5$ und $cos(x)=0,5$.
    „Um eine trigonometrische Gleichung zu lösen, muss die zugehörige Umkehroperation durchgeführt werden.“

    • Wendest du auf die Gleichung $\cos(x) = \frac{1}{2}$ die Umkehrfunktion des Cosinus an, dann erhältst du: $x=\arccos( \frac{1}{2})$. Dies kannst du mit dem Taschenrechner berechnen.
    Diese Aussagen sind falsch:

    „Umkehrfunktionen wie der $\arccos$ sind auf den Tasten des Taschenrechners immer korrekt dargestellt.“

    • Der $\arccos$ wird auf dem Taschenrechner oft als $\cos^{-1}$ dargestellt. Das ist irreführend, denn nach den Potenzgesetzen gilt: $ \cos^{-1}= \frac{1}{\cos}$
    „Es macht keinen Unterschied, ob ein Taschenrechner im „degree“ oder „radian“ Modus eingestellt ist.“

    • Diese Einstellung macht bei trigonometrischen Gleichungen einen großen Unterschied. Du solltest sehr genau darauf achten, welche Einstellung vorgenommen ist. Wenn du mit Grad rechnest, solltest du den Modus degree (DEG) nutzen.
  • Gib die Lösungen der trigonometrischen Gleichungen an.

    Tipps

    Der erste Schritt beim Lösen von trigonometrischen Gleichungen ist die Anwendung der Umkehrfunktion und das Bestimmen der ersten Lösung mit dem Taschenrechner.

    Nachdem du die erste Lösung bestimmt hast, musst du dir überlegen, wie sich diese wiederholen. Da trigonometrische Funktionen die Periode $360^{\circ}$ besitzen, wiederholen sich alle Lösungen nach Vielfachen von $360^{\circ}$.

    Die Symmetrie zur $y$-Achse löst das $\pm$ Zeichen in der Lösung aus. Bedenke auch, dass niemals zwei Rechenzeichen direkt hintereinander stehen.

    Die Gerade $x=90^\circ$ ist eine Parallele der $y$-Achse.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Die Gleichung $\cos(x) = \frac{1}{2}$, kannst du lösen, indem du die Umkehrfunktion des Cosinus auf die Gleichung anwendest. Dann erhältst du: $x=\arccos( \frac{1}{2})$. Dies kannst du mit dem Taschenrechner berechnen: $x=60^{\circ}$.“

    • Der erste Schritt beim Lösen von trigonometrischen Gleichungen ist die Anwendung der Umkehrfunktion und das Bestimmen der ersten Lösung mit dem Taschenrechner.
    „Dieser gibt dir allerdings nicht alle Lösungen an. Weitere Lösungen erhältst du, indem du dich immer wieder um $360^{\circ}$ auf der $x$-Achse nach links oder rechts bewegst. Außerdem kannst du alle Lösungen auch an der $y$-Achse spiegeln. So erhälst du alle Lösungen der Gleichung mit:

    $x= \pm 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}$.“

    • Nachdem du die erste Lösung bestimmt hast, musst du dir überlegen, wie sich diese wiederholen. Da trigonometrische Funktionen die Periode $360^{\circ}$ besitzen, wiederholen sich alle Lösungen nach Vielfachen von $360^{\circ}$. Außerdem ist die Cosinusfunktion symmetrisch zur $y$-Achse, was das $\pm$ Zeichen in der Lösung auslöst.
    „Die Gleichung $\sin(x) = \frac{1}{2}$, kannst du lösen, indem du die Umkehrfunktion des Sinus auf die Gleichung anwendest. Dann erhältst du: $x=\arcsin( \frac{1}{2})$. Dies kannst du mit dem Taschenrechner berechnen: $x=30^{\circ}$.

    Durch periodische Verschiebung auf der $x$-Achse und Spiegelung der Lösungen an der Geraden $x=90^{\circ}$, einer Parallelen der $y$-Achse, erhältst du folgende Lösungen:

    $x=90^{\circ} \pm 60^{\circ}+ k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}$.“

    • Die verschiedenen Lösungen der Sinusfunktion kannst du analog zur Cosinusfunktion bestimmen.
  • Ermittle die Lösungen der trigonometrischen Gleichungen.

    Tipps

    Möchtest du die Gleichung $\sin x =1$ lösen, so musst du jeden $x$-Wert finden, bei dem die Sinusfunktion den $y$-Wert $1$ hat.

    Du kannst dir im Koordinatensystem die Gerade $y=-0,5$ vorstellen und überprüfen, welche der dort gekennzeichneten Punkte auf dieser Geraden liegen. Alle diese Punkte erfüllen die Gleichung $\sin x=-0,5$.

    Nicht alle Punkte können einer Gleichung zugeordnet werden.

    Lösung

    Möchten wir die Gleichung $\sin x =1$ lösen, so müssen wir jeden $x$-Wert finden, bei dem die Sinusfunktion den $y$-Wert $1$ hat.

    Das bedeutet in unserer Aufgabe, dass wir uns im Koordinatensystem einfach die Gerade $y=1$ einzeichnen und die zutreffenden Punkte ablesen könnten.

    So erhalten wir die folgenden Zuordnungen:

    Gleichung $~\sin x=1$

    • $x=90^\circ$
    • $x=-270^\circ$
    Alle Lösungen dieser Gleichung kannst du bspw. wie folgt angeben: $~\mathbb{L}=\{x\ \vert \ 90^\circ +k\cdot 360^\circ, k\in \mathbb{Z}\}$

    Gleichung $~\sin x=0,5$

    • $x=150^\circ$
    • $x=510^\circ$
    Alle Lösungen dieser Gleichung kannst du bspw. wie folgt angeben: $~\mathbb{L}=\{x\ \vert \ 90^\circ \pm 60^\circ + k\cdot 360^\circ, k\in \mathbb{Z}\}$

    Gleichung $\sin x= 0$

    • $x=360^\circ$
    • $x=-360^\circ$
    Alle Lösungen dieser Gleichung kannst du bspw. wie folgt angeben: $~\mathbb{L}=\{x\ \vert \ k\cdot 180^\circ, k\in \mathbb{Z}\}$

    Gleichung $\sin x= -0,5$

    • $x=-390^\circ$
    Alle Lösungen dieser Gleichung kannst du bspw. wie folgt angeben: $~\mathbb{L}=\{x\ \vert \ -90^\circ \pm 60^\circ + k\cdot 360^\circ, k\in \mathbb{Z}\}$

  • Erschließe alle Lösungen der trigonometrischen Gleichungen.

    Tipps

    Die Lösungsmenge gibt alle Lösungen einer Gleichung an. Hier siehst du einige Beispiele, die in der Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x\ \vert \ 180^\circ +k\cdot 360^\circ, k\in\mathbb{Z}\}$ enthalten sind:

    $\begin{array}{lll} k = 1 & \rightarrow & x=180^\circ +1\cdot 360^\circ=540^\circ \\ k = 2 & \rightarrow & x=180^\circ +2\cdot 360^\circ=900^\circ \\ k = -1 & \rightarrow & x=180^\circ -1\cdot 360^\circ=-180^\circ \\ k = -2 & \rightarrow &x=180^\circ -2\cdot 360^\circ=-540^\circ \end{array}$

    Beachte, dass vor einigen Gradangaben in den Lösungsmengen ein $\pm$ steht.

    Lösung

    Die Lösungsmenge gibt alle Lösungen einer Gleichung an.

    Beispiel 1

    Die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x\ \vert \ 180^\circ +k\cdot 360^\circ, k\in\mathbb{Z}\}$ enthält zum Beispiel folgende Lösungen:

    $\begin{array}{lll} k = 1 & \rightarrow & x=180^\circ +1\cdot 360^\circ=540^\circ \\ k = 2 & \rightarrow & x=180^\circ +2\cdot 360^\circ=900^\circ \\ k = -1 & \rightarrow & x=180^\circ -1\cdot 360^\circ=-180^\circ \\ k = -2 & \rightarrow &x=180^\circ -2\cdot 360^\circ=-540^\circ \end{array}$

    Überall dort verläuft die Kosinusfunktion durch $-1$.

    Wir haben hier also die Lösungsmenge der Gleichung $\cos x=-1$.

    Beispiel 2

    Die Gleichung $\sin x=-0,5$ hat zum Beispiel die Lösungen $x=-30^\circ$ und $x=210^\circ$.

    Diese Lösungen sind in folgender Lösungsmenge enthalten:

    $\mathbb{L}=\{x \ \vert \ 270^\circ \pm 60 +k\cdot 360^\circ, k\in\mathbb{Z}\}$

    Beispiel 3

    Die Sinusfunktion verläuft zum Beispiel bei $x=90^\circ$ und $x=-270^\circ$ durch $y=1$.

    Damit hat die Gleichung $\sin x=1$ folgende Lösungsmenge:

    $\mathbb{L}=\{x \ \vert \ 90^\circ +k\cdot 360^\circ, k\in\mathbb{Z}\}$

    Beispiel 4

    Die Lösungsmenge der Gleichung $\cos x=-0,5$ ist $\mathbb{L}=\{x\vert 180^\circ\pm 60^\circ +k\cdot 360^\circ, k\in\mathbb{Z}\}$.

    Diese enthält zum Beispiel folgende Lösungen:

    $\begin{array}{lll} k = 1 & \rightarrow & x=180^\circ + 60^\circ + 360^\circ=600 \\ k = 1 & \rightarrow & x=180^\circ - 60^\circ +360^\circ=480 \\ k = -1 & \rightarrow & x=180^\circ + 60^\circ - 360^\circ=-120 \\ k = -1 & \rightarrow &x=180^\circ - 60^\circ - 360^\circ=-240 \end{array}$

    Eine andere Möglichkeit, diese Lösungsmenge anzugeben, ist: $\mathbb{L}=\{x\vert \pm 120^\circ +k\cdot 360^\circ, k\in\mathbb{Z}\}$. Für die Angabe der Lösungsmengen trigonometrischer Gleichungen gibt es immer mehrere Varianten.

    Übrig:

    Zur Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x \ \vert \ \pm 90^\circ +k\cdot 360^\circ, k\in\mathbb{Z}\}$ gehört die Gleichung $\cos x=0$.

  • Gib die Lösungen der Gleichung an.

    Tipps

    Lösungen der Gleichung $\sin(x) = \frac{1}{2}$ können durch $x=90^{\circ} \pm 60^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}$ mit $k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden.

    Eine Lösung ist beispielsweise für $k=1$:

    $x=90^{\circ} - 60^{\circ}+1 \cdot 360^{\circ}= 390^{\circ}$

    Lösung

    Lösungen der Gleichung $\sin(x) = \frac{1}{2}$ können durch $x=90^{\circ} \pm 60^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}$ mit $k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden. Um herauszufinden, welche Lösungen das sind, kannst du also verschiedene Werte für $k$ einsetzen und überprüfen, ob die angegebenen Werte darunter sind. Also sind folgende angegebene Werte erfüllen die Gleichung nicht:

    • $x=60^{\circ}$, $x=-450^{\circ}$, $x=-30^{\circ}$
    Folgende Werte erfüllen die Gleichung:

    • $x=30^{\circ}$ (erfüllt für $k=0$: $x=90^{\circ} - 60^{\circ}+0 \cdot 360^{\circ}$)
    • $x=-210^{\circ}$ (erfüllt für $k=-1$: $x=90^{\circ} + 60^{\circ}+(-1) \cdot 360^{\circ}$)
    • $x=150^{\circ}$ (erfüllt für $k=0$: $x=90^{\circ} + 60^{\circ}+0 \cdot 360^{\circ}$)
    • $x=-330^{\circ}$ (erfüllt für $k=-1$: $x=90^{\circ} - 60^{\circ}+(-1) \cdot 360^{\circ}$)
  • Leite die gesuchten Zusammenhänge her.

    Tipps

    Den Graphen der Funktion $-\sin x$ erhältst du, indem du den Graphen zu $\sin x$ an der $x$-Achse spiegelst.

    Den Graphen zu der Funktion $\sin(x+180^\circ)$ erhältst du, indem du den Graphen zu $\sin x$ um $180^\circ$ entlang der $x$-Achse nach links verschiebst.

    Lösung

    Verschieben wir den Graphen zu der Funktion $\sin x$ um $360^\circ$ nach links oder rechts, so erhalten wir immer wieder den Graphen der Sinusfunktion. Es gilt also:

    $\sin x=\sin (x+360^\circ)$

    Den Graphen zu der Funktion $\sin(x+90^\circ)$ erhalten wir, indem wir den Graphen zu $\sin x$ um $90^\circ$ entlang der $x$-Achse nach links verschieben. Der Graph, den wir dann erhalten, entspricht dem Graphen der Kosinusfunktion $\cos x$. Es gilt also:

    $\cos x=\sin (x+90^\circ)$

    Wenn man den Graphen der Sinusfunktion $\sin x$ um $180^\circ$ entlang der $x$-Achse nach links verschiebt, erhält man einen Graphen, der durch Spiegelung der Sinusfunktion an der $x$-Achse entsteht. Es gilt also:

    $-\sin x=\sin (x+180^\circ)$