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Geradenscharen 11:43 min

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Transkript Geradenscharen

Hallo. Ich bin Giuliano und ich möchte Dir heute erklären, was „Geradenscharen“ sind. Zuerst werde ich Dir eine formale Definition geben und dann werde ich Dir zwei spezielle Fälle von Geradenscharen vorstellen. Erst zur formalen Definition. Die siehst Du jetzt hier einmal eingeblendet. Eine Geradenschar ist eine Gerade, die in der „Geradengleichung“ einen weiteren Parameter, den sogenannten „Scharparameter“ enthält. Zu jedem konkreten Scharparameter gehört eine Gerade der Schar. Wir werden jetzt uns den ersten Fall angucken, also Fall eins, wo der Scharparameter, also der Scharparameter bei einer Parametergleichung der Geraden im Stützvektor vorkommt. Also Scharparameter im Stützvektor. So, dazu schauen wir uns folgendes Beispiel an: Wir nehmen die Gerade ga : Vektor x = (3+a 2+2a 1-a) + t * (-1 2 1). Kommen wir erstmal zur Beschriftung. Hier siehst Du, dass ga ein a, den sogenannten Scharparameter hier im Stützvektor hat. Das heißt dieses a hier, das ist eine reelle Zahl und heißt eben Scharparameter. So, das ist also Parameter, so. Hier ist der ganz normale Stützvektor einer Geraden in der Parametergleichung. Hier ist der Richtungsvektor und t ist der normale Parameter, der auch eine reelle Zahl darstellt. So und das, was wir jetzt machen werden, ist uns verschiedene a wählen und sehen, was dann für Geraden entstehen. Das bedeutet jetzt im Konkreten, wir werden a erstmal gleich 0 setzen. Das heißt, hier seht ihr ga, das ist immer ein Zeichen dafür, dass es sich um eine Geradenschar handelt. Das heißt, in dem Fall ist das jetzt also g0 : Vektor x = (3+0=3 2+0=2 1-0=1) + t * (-1 2 1). Hier siehst Du jetzt einmal ein dreidimensionales Koordinatensystem und die Gerade g0. Zusätzlich habe ich Dir den Stützpunkt (3 2 1) vorgegeben, den ich jetzt hier in der Abbildung A0 nenne. Jetzt werden wir uns noch eine weitere Gerade ansehen dieser Geradenschar, und zwar für a = -1. Das heißt, die Gerade g-1 sieht wie folgt aus: Vektor x = (3-1=2 2-2=0 1--1=2) + t * (-1 2 1). Hier noch einmal im Koordinatensystem die Gerade g-1. Und das was auffällt, wenn man sich die Parametergleichung der beiden Geraden und das Bild ansieht ist, dass diese beiden Geraden parallel sind, weil der Richtungsvektor gleich ist. Das einzige, was diese beiden Geraden unterscheidet, ist eben der unterschiedliche Stützpunkt. Jetzt werden wir das Ganze an einem dritten a noch einmal machen. Das heißt a = +1. Dazu gehört die Gerade g+1, ich kürze das jetzt einfach mit g1 ab. (3+1=4 2+2=4 1–1=0). Also (4 4 0) + t * (-1 2 1). Auch diese Gerade ist parallel zu den anderen beiden Geraden und der Stützvektor ist wieder unterschiedlich. Und hier nochmal einmal im Koordinatensystem abgebildet. Und das was ihr jetzt vielleicht schon ahnt, ist Folgendes: Wir schauen uns jetzt nochmal den Stützpunkt, beziehungsweise den Ortsvektor des Stützpunkts an, den kann man schreiben mit OAa. Also wir hatten ja hier a0, hier a-1 und a1. Das heißt, wir können den allgemeinen Ortsvektor OAa wie folgt angeben, das ist einfach nur der Stützvektor (3+a1 2+a2 1-a1). Wir können jetzt diesen Ausdruck hier, beziehungsweise diesen Vektor auch als eine Gerade schreiben. Und zwar kann ich ja (3 2 1) + a * (1 2 -1) schreiben. Und ihr seht, ich erhalte hier wieder eine Geradengleichung in der Parameterform, und zwar mit dem normalen Parameter a. Das heißt, ich habe das jetzt hier nochmal eingezeichnet, diese Gerade, ist die Gerade der Stützpunkte. Das heißt, alle Stützpunkte dieser Geradenschar liegen wieder auf einer Geraden und alle Geraden sind parallel. Das bedeutet eben hier, dass ist die sogenannte „Gerade der Stützpunkte“. Ich kürze „der“ mit d. ab. Gerade der Stützpunkte. Als Nächstes schauen wir uns einen zweiten speziellen Fall an. Kommen wir jetzt zum zweiten Fall. Im zweiten Fall ist der Scharparameter bei einer Parameterform einer Geraden im Richtungsvektor. Also vorher hatten wir ja den Fall, dass der im Stützvektor enthalten ist und jetzt ist der Scharparameter im Richtungsvektor enthalten. So, auch dazu schauen wir uns wieder ein Beispiel an. Wir nehmen folgendes Beispiel: Und zwar die Geradenschar ga: x Vektor = (3 4 4) + t * (-a a 2,5+a). Dabei sind a und t wieder reelle Zahlen, t ist der Parameter und a ist der Scharparameter. Und hier fällt uns Folgendes auf: Der Stützpunkt (3 4 4), den Du hier jetzt einmal im Koordinatensystem eingezeichnet siehst, ist für jede Gerade der Schar gleich. Das heißt, den Punkt nenne ich jetzt einfach A, mit dem Stützpunkt (3 4 4), der bleibt eben immer gleich. Also der ist fix. Wenn ich jetzt verschiedene Geraden ausrechne, also wenn ich jetzt verschiedene Geraden der Geradenschar ausrechne, zum Beispiel für a = 0, das heißt, wenn ich die Gerade g0 ausrechne, muss ich Folgendes machen: Ich setze für a 0 ein, das heißt, hier steht x Vektor = (3 4 4) + t , a 0 eingesetzt, (0 0 2,5). Diese Gerade g0 siehst Du hier auch einmal im Koordinatensystem eingezeichnet. Jetzt kann ich analog auch genauso gut g1 einzeichnen, beziehungsweise angeben oder ausrechnen, je nachdem. Und dann siehst Du die Gerade auch hier eingezeichnet. Sowie g-1 oder zum Beispiel g-5. Und alle diese Geraden haben eben den Fixpunkt (3 4 4). Jetzt schauen wir uns noch eine weitere Eigenschaft an. Das heißt, hier siehst Du jetzt wieder ein leeres Koordinatensystem mit dem Punkt A. Und das was wir jetzt machen, ist Folgendes: Wir werden uns ansehen was passiert, wenn ich diesen Parameter t einfach mal gleich 1 setze. Das bedeutet, unsere Gerade ga hat sich jetzt wie folgt verändert: Wir haben x Vektor = (3 4 4) + (-a a 2,5+a). Jetzt sieht man, dass dieser Ausdruck hier wieder eine neue Gerade ist, die ich jetzt einfach mal h nenne. Das heißt, die Gerade h sieht wie folgt aus: x Vektor = (3 4 4) + a, Klammer auf, jetzt müssen wir überlegen, was hier übrig bleibt, da steht -1, da steht 1. Und jetzt nochmal überlegen, hier steht 2,5 + a. Wenn ich Vektoren miteinander addiere, kann ich die einzelnen Koordinaten einfach miteinander addieren, das heißt, hier steht ja nur 2,5, die kann ich zu der 4 addieren. Das heißt, hier wird aus dieser 4 eine 6,5. Und übrig bleibt +a, das heißt, a * 1 für die sozusagen z-Koordinate des Richtungsvektors der Geraden h. Jetzt möchte ich einmal mit Dir, ja, ich möchte Dir einmal zeigen, was jetzt die Gerade h überhaupt in unserem Koordinatensystem zu tun hat. Hier nochmal also den Punkt A. Wenn wir jetzt g0 einzeichnen, das siehst Du jetzt einmal dargestellt, dann ist der Punkt dieser Geraden, wenn ich für t gleich 1 einsetze, der ist hier einmal markiert. Das heißt, a = 0, die Gerade g0 und der Punkt ist der Punkt für t = 1. Das Gleiche kann ich auch für a = 1 machen. Da markiere ich wieder den Punkt, der, ja, der quasi herauskommt, wenn ich t = 1 einsetze. Das Gleiche kann ich auch für a = -1 machen und für a = -2. Und das was auffällt, alle diese Punkte sind auf einer Geraden und das ist diese Gerade h, die ich hier eingezeichnet habe. Jetzt möchte ich noch einmal zusammenfassen, was Du heute gelernt hast: Du hast eine formale Definition der Geradenschar kennengelernt, die Du jetzt aufsagen kannst. Und dann haben wir gesehen, wie der Scharparameter sich auswirkt auf Geraden einer Parameterform, wenn der Scharparameter im Stützvektor ist oder im Richtungsvektor und dabei eben die geometrische Bedeutung des Scharparameters erklärt. Es gibt natürlich noch weitere Fälle, wenn natürlich der Scharparameter sowohl im Stützvektor als auch im Richtungsvektor vorhanden ist. Aber diese Funktionen, beziehungsweise diese Geraden sehen nicht schön aus, deswegen habe ich nur diese beiden Fälle vorgestellt. Ich hoffe, dass Du das alles verstanden hast und Spaß an dem Video hattest. Ciao und bis zum nächsten Mal. Dein Giuliano.

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Geradenscharen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geradenscharen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was eine Geradenschar ist.

    Tipps

    Eine Geradengleichung hat die Form

    $g:\vec x=\vec a+r\vec v$.

    Dabei sind

    • $\vec a$ der Stützvektor,
    • $\vec v$ der Richtungsvektor und
    • $r\in \mathbb{R}$ ein Parameter.
    Lösung

    Was ist eine Geradenschar?

    Eine Geradenschar sind Geraden, die in der Geradengleichung einen weiteren Parameter haben. Dieser Parameter wird als Scharparameter bezeichnet.

    Zu jedem dieser Scharparameter gehört eine Gerade der Schar.

    Der Scharparameter kann zum Beispiel im Stützvektor oder im Richtungsvektor auftauchen.

  • Gib die Besonderheiten der Geradenschar an.

    Tipps

    Da der Parameter in dem Stützvektor auftaucht, bleibt der Richtungsvektor immer gleich.

    Um eine spezielle Gerade der Geradenschar zu erhalten, setzt du für den Parameter $a$ einen Wert in die Geradengleichung ein. Dies siehst du hier für $a=1$.

    Lösung

    Wenn man verschiedene Werte für $a$ einsetzt, erhält man

    $g_0:\vec x=\begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$

    $g_{-1}:\vec x=\begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$

    $g_1:\vec x=\begin{pmatrix} 4\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$

    Man sieht, dass sich zwar die Stützvektoren unterscheiden, die Richtungsvektoren jedoch nicht. Das bedeutet, dass alle diese Geraden parallel zueinander sind. Sie sind aber nicht identisch, weil sich die Stützvektoren unterscheiden.

    Man kann sich nun den Stützvektor genauer anschauen und diesen umformen:

    $\begin{pmatrix} 3+a\\ 2+2a\\ 1-a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+a\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}$

    Es wird ein Vektor mit dem Produkt aus einem Parameter und einem Vektor addiert. Wir haben also eine Geradengleichung. Alle Stützvektoren liegen somit auf einer Geraden.

    Man kann damit die Geradenschar auch so schreiben:

    $g_a:\vec x=\begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+a\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$

    Dies ist eine Ebenengleichung. Die Menge der Geraden in dieser Geradenschar läuft durch alle Punkte einer Ebene; je nachdem, wie der Parameter $a$ gewählt wird.

  • Bestimme die Geraden der Geradenschar zu gegebenen Parametern sowie die Gerade für $t=1$.

    Tipps

    Eine Geradengleichung hat die Form

    $g:\vec x=\vec a+r\vec v$.

    Dabei sind

    • $\vec a$ der Stützvektor,
    • $\vec v$ der Richtungsvektor und
    • $r\in \mathbb{R}$ ein Parameter.

    Um eine spezielle Gerade der Schar zu erhalten, setzt du den Parameter ein. Dies kannst du hier an dem Beispiel $a=-1$ sehen.

    Lösung

    Um sich die Besonderheiten dieser Geradenschar klarzumachen, kann man sich zunächst die Geraden für verschiedene Parameter anschauen:

    $g_1:\vec x=\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 4 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 3,5 \end{pmatrix}$

    $g_0:\vec x=\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 4 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 2,5 \end{pmatrix}$

    Man kann schon einmal erkennen, dass alle Geraden den gleichen Stützvektor haben, also durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen.

    Wenn man sich die Gerade einmal für $t=1$ anschaut, erkennt man Folgendes:

    $\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -a\\ a\\ 2,5+a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 6,5 \end{pmatrix}+a\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$

    Dies ist eine Geradengleichung. Auf der entsprechenden Geraden liegen alle Punkte, die man erhält, wenn man verschiedene Werte für $a$ bei $t=1$ in die Geradenschar einsetzt.

  • Leite die Ebenengleichung einer Ebene her, in welcher alle Geraden der Geradenschar liegen.

    Tipps

    Schreibe den Stützvektor, in welchem der Scharparameter vorkommt, als Gerade.

    Wenn der Scharparameter im Stützvektor enthalten ist, liegen die Stützvektoren auf einer Geraden. Der Parameter dieser Geraden ist der Scharparameter der Geradenschar.

    Klingt kompliziert, ist es aber nicht.

    Um die gesuchte Ebenengleichung zu bestimmen, musst du den Scharparameter aus dem Stützvektor herausnehmen.

    Es würde übrigens keine Ebenengleichung vorliegen, sondern nur eine Gerade, wenn der Richtungsvektor der Geraden, welche durch die Ortvektoren der Geraden verläuft, kollinear zu dem Richtungsvektor der Geradenschar wäre.

    Lösung

    Der Stützvektor kann so geschrieben werden:

    $\begin{align} \begin{pmatrix} 2a-4\\ 1+a\\ 3-2a \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -4\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2a\\ a\\ -2a \end{pmatrix}\\ & =\begin{pmatrix} -4\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}+a\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -2 \end{pmatrix} \end{align}$

    Dies ist eine Geradengleichung. Wenn man diese in die Gleichung der Geradenschar einsetzt, erhält man

    $g_a:\vec x=\begin{pmatrix} -4\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}+a\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}$

    Da die beiden Richtungsvektoren nicht kollinear sind, ist dies eine Ebenengleichung.

  • Bestimme, für welchen Parameter $a$ der Punkt $P(5|14|-1)$ auf der Geraden der Geradenschar liegt.

    Tipps

    Das zu lösende Gleichungssystem hat drei Gleichungen und zwei Unbekannte: $a$ und $t$.

    Beachte, dass alle drei Gleichungen berücksichtigt werden müssen.

    In diesem Beispiel tritt ein besonderer Fall auf. Zwei Gleichungen sind äquivalent.

    Lösung

    Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt man den Ortsvektor des Punktes für $\vec x$ in die Geradengleichung ein und löst das resultierende Gleichungssystem.

    Dieses Gleichungssystem schreiben wir zeilenweise auf. Jede Gleichung wird so umgeformt, dass links die Unbekannten stehen und rechts eine konstante Zahl.

    $\begin{align} &\text{(I)}& a-t & =2\\ & \text{(II)}& 2a+2t & =12\\ & \text{(III)}& -a+t & =-2 \end{align}$

    Man kann erkennen, dass das $-1$-fache der Gleichung (I) die Gleichung (II) ist. Eine der beiden Gleichungen muss also nicht weiter betrachtet werden, weil hier keine weiteren Informationen enthalten sind. Wenn man das Doppelte der Gleichung (III) zu der Gleichung (II) addiert, erhält man $4t=8$. Nun kann man durch $4$ dividieren und gelangt zu $t=2$.

    Wir können $t=2$ in die Gleichung (III) eingesetzen. Dies führt zu $-a+2=-2$. Durch Subtraktion von $2$ und anschließende Multiplikation mit $-1$ erhält man $a=4$. Dies ist der gesuchte Parameter.

    Der Punkt $P(5|14|-1)$ liegt also auf der Geraden $g_a:\vec x=\begin{pmatrix} 3+4\\ 2+2 \cdot 4\\ 1-4 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\\ 10\\ -3 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$

    Du kannst dies überprüfen, indem du $t=2$ in die Geradengleichung einsetzt.

  • Prüfe, ob zwei Geraden der Geradenschar gemeinsame Punkte haben.

    Tipps

    Wenn du prüfen willst, ob diese Geraden identisch sind, genügt es zu überprüfen, ob der Stützvektor (genauer: der zugehörige Punkt) der Geraden $g_b$ auf dieser Geraden liegt.

    Du machst eine Punktprobe. Dies führt zu einem Gleichungssystem.

    Bei dem Gleichungssystem müssen alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein, wenn man eine Lösung einsetzt.

    Lösung

    Der Scharparameter taucht bei dieser Geradenschar im Stützvektor auf. Das bedeutet, dass sich der Richtungsvektor nicht ändert. Also sind alle Geraden der Geradenschar parallel zueinander.

    Man betrachtet nun zwei verschiedene Parameter $a\neq b$ und prüft, ob der Stützvektor von $g_b$ (genauer: der zugehörige Punkt) auf der Geraden $g_a$ liegt. Dies führt zu

    $\begin{pmatrix} 3+b\\ 2+2b\\ 1-b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3+a\\ 2+2a\\ 1-a \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$

    und damit zu dem Gleichungssystem:

    $\begin{array}{lrcl} (I)& 3+b&=&3+a-t\\ (II)&2+2b&=&2+2a+2t\\ (III)&1-b&=&1-a+t \end{array}~\Leftrightarrow~\begin{array}{rcl} b-a+t&=&0\\ 2b-2a-2t&=&0\\ a-b-t&=&0 \end{array}$

    Wenn man die erste Gleichung mit $2$ multipliziert und zu der zweiten addiert, erhält man $4b-4a=0$ oder äquivalent dazu $a=b$. Dies ist allerdings ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass $a\neq b$ sein muss. Das bedeutet, dass jeweils zwei Geraden der Geradenschar parallel zueinander sind, aber nicht identisch.

    Diese Tatsache ist übrigens nicht immer gegeben. Wenn der Stützvektor

    $\begin{pmatrix} 3-a\\ 2+2a\\ 1+a \end{pmatrix}$

    lauten würde, könnte man diesen wie folgt schreiben:

    $\begin{pmatrix} 3-a\\ 2+2a\\ 1+a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+a\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} $

    Dies ist eine Gerade. Der Richtungsvektor ist der Gleiche wie bei der Geradenschar.

    Das bedeutet, dass alle Geraden der Geradenschar identisch sind.