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Geometrisches und harmonisches Mittel, Modalwert und Median

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Martin Wabnik
Geometrisches und harmonisches Mittel, Modalwert und Median
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Geometrisches und harmonisches Mittel, Modalwert und Median

Üblicherweise kennt jeder und benutzt auch jeder das arithmetische Mittel zur Bestimmung eines Mittelwerts. Es gibt jedoch auch andere Mittelwerte neben dem arithmetischen Mittel. Welche, das werde ich dir nun erklären. In diesem Video erläutere ich dir die Begriffe: geometrisches Mittel, harmonisches Mittel, Modalwert und Median (Zentralwert). Letzterer, der Median, besitzt noch eine besondere Eigenschaft, die Minimalitätseigenschaft. Auch diese werde ich natürlich kurz vorstellen. Außerdem wird der Begründungsansatz dazu gezeigt.

Transkript Geometrisches und harmonisches Mittel, Modalwert und Median

Hallo! Es gibt nicht nur das arithmetische Mittel es gibt auch andere Mittelwerte. Die spielen aber keine so große Rolle wie das arithmetische Mittel und deshalb hat man sich drauf geeinigt, wenn nichts anderes gesagt wird und vom Durchschnitt die Rede ist, oder vom Mittelwert oder einfach vom Mittel, dann meint man immer das arithmetische Mittel. Wenn man andere Mittelwerte meint, dann sagt man das auch, welche man da genau meint. Es gibt das geometrische Mittel. Das entsteht, indem man die Messwerte alle multipliziert und dann die n'te Wurzel aus diesem Produkt zieht. Hier hat man sich drauf geeinigt, das alle Messwerte, wenn man dieses geometrische Mittel verwenden möchte, größer als 0 sein sollen. Das habe ich hier auch noch mal anders aufgeschrieben, das geometrische Mittel. Dieses ∏ hier ist das Produktzeichen ähnlich des Summenzeichens. Nur das eben hier nicht addiert, sondern multipliziert wird. Das geht auch von i=1 bis n. Das heißt, alle Messwerte werden multipliziert und dann kann man auch auf das Wurzelzeichen verzichten, wenn man weiß das ja gebrochene Exponenten Wurzeln sind. Das heißt, wenn ich die n'te Wurzel ziehen möchte dann kann ich dieses Produkt hier auch mit 1÷n potenzieren. Das habe ich hier gemacht. Also das ist gleiche egal, in welcher Form das aufgeschrieben wird. Ich wollte das nur mal gezeigt haben. Dann gibt es noch das harmonische Mittel. Das geht dann so, man nimmt nicht die Messwerte selber, sondern bildet das Reziproke dazu. Das eins durch Messwert. Diese werden dann alle addiert, die reziproken Werte der Messwerte, und dann teilt man die Anzahl der Messwerte durch diese Summe. Das ist das harmonische Mittel. Ich erkläre jetzt nicht weiter, wie man darauf kommt und so. Das ist einfach, möchte ich mal so stehen lassen. Hier ist es natürlich nötig das die xi Werte also alle Messwerte ≠= sind. Denn sonst ist ja ein Quotient gar nicht definiert. Dann gibt es noch den Modalwert, auch Mo abgekürzt, oder wie auch immer. Da gibt es viele Bezeichnungen. Die kann ich jetzt nicht alle aufführen. Der Modalwert ist der am häufigsten vorkommende Wert. Den kann man verwenden, wenn man Messwerte hat, die auch dafür geeignet sind. Also ich hatte ja mal das Beispiel gebracht von einem korrupten Staat, in dem sehr viele Menschen arm sind und nur sehr wenige sehr reich sind. Wenn man dann zum Beispiel mal das Jahreseinkommen statistisch erheben würde, könnte es durchaus Sinn machen, das am häufigsten vorkommende Jahreseinkommen herauszuheben und zu benennen. Denn das arithmetische Mittel könnte ja irreführend sein, denn wenn sehr viele wenig haben und ganz wenige sehr viel haben, kommt als Durchschnitt immer noch was, ein ganz vernünftiges Einkommen heraus. Wenn man allerdings dann den häufigsten vorkommenden Wert nimmt, dann sieht man das schon wieder ganz anders aus. Der würde dann in so einer Konstellation sehr gering sein. Zweites Problem, da kann ich gleich bei diesem Beispiel bleiben ist, wenn man sehr viele Messwerte hat. Sehr viele unterschiedliche Messwerte. Das wollte ich sagen. Auf die Unterschiedlichkeit kommt es dabei an. Wenn wir jetzt ein Jahreseinkommen nehmen, das jetzt zum Beispiel mal auf Euro und Cent ausrechnen, dann hätten wir wahrscheinlich sehr viele unterschiedliche Jahreseinkommen und dann könnte es sein, das irgendwo ein Jahreseinkommen 2 Mal vorkommt und das ist dann der am häufigsten vorkommende Wert. Der muss aber nichts irgendwie mit einem Mittelwert oder so was zutun haben. Wenn man so was hat, dann bildet man erst mal Kategorien oder man bildet Klassen. Das heißt das man bestimmte Einkommen in eine Gruppe und andere Einkommen kommen in die andere Gruppe und dann zählt man einfach, wie oft kommt diese Einkommengruppe vor und wie oft kommt diese Einkommensgruppe vor. Und diese und diese, und diese. Und dann kann es durchaus Sinn machen hier den Modalwert zu ermitteln und der kann dann durchaus aussagekräftig sein. Das funktioniert übrigens bei allen Merkmalen. Das wollte ich dazu sagen. Dann gibt es noch den Median. Den bezeichnet man auch schon mal als x Schlange. Ja, das hier oben, diese Welle, diese Schlange oder Tilde auch. Oder man sagt Md. Oder andere Bezeichnungen für den Median. Ist egal. So und das ist der Wert in der Mitte. Was braucht man dazu? Man braucht erst mal ein ordinal skaliertes Merkmal. Denn um den Median zu finden müsste man zumindest mal theoretisch jetzt im Kopf die Messwerte alle anordnen zu können, und zwar der Größe nach. Das habe ich hier mal angedeutet. x(1) soll jetzt nicht der Messwert sein, den man als Erstes ermittelt hat. Sondern es ist in der Ordnung dieser Messwerte, der der am weitesten links steht. Oder der Kleinste. Und das macht man üblicherweise so, wenn man Messwerte hat, von 1-n, und ordnet die um. Dann heißt das erste Element oder der erste Messwert, der in der Ordnung dann als Erstes steht. Da als Erste, ist ja eh egal. Den bezeichnet man dann auch als x(1). Aber die 1 kriegt dann ne Klammer. Das heißt, es ist umgeordnet worden. Bei x(2) genauso hier. O.k., also man ordnet die Messwerte alle der Größe nach an, und wenn man jetzt eine ungerade Anzahl von Messwerten hat, dann nimmt man einfach den in der Mitte, den mittleren Wert, und das ist dann der Median. Wenn man eine gerade Anzahl von Messwerten hat, dann nimmt man die beiden in der Mitte und bildet das arithmetische Mittel aus beiden. Und das ist dann der Median. Zwei Anmerkungen muss ich dazu noch machen. Der Median wird schon mal unterschiedlich beschrieben. Und zwar geht es dabei immer, was macht man, wenn man eine gerade Anzahl von Messwerten hat. Manche Sagen auch, manche Autoren, dass jeder Wert zwischen den beiden mittleren Werten bei einer geraden Anzahl an Messwerten der Median sein kann. Die meisten sagen tatsächlich, soweit ich das jetzt überblicken kann, das arithmetische Mittel aus den beiden mittleren Werten, ist der Median. Manche sagen eben jeder Wert dazwischen. Oder manche sagen auch, entweder der oder der. Das kann man sich dann aussuchen. Und zwar muss es einer der Messwerte sein. Normalerweise, in Anführungszeichen normalerweise, wenn man viele Messwerte hat, ist das nicht so tragisch. Die Unterschiede sind dann sehr gering. Allerdings muss man dann schon mal bei manchen extremen Messwerten, bei extremen Messreihen, bei wenig Datenmaterial, muss man dann schon mal gucken, was man da als Median sinnvollerweise verwenden kann. Die zweite kleine Anmerkung dazu ist noch, dass es eine Minimalitätseigenschaft des Medians gibt. Und zwar können wir Folgendes machen. Wir nehmen den Median und wir bilden, wir rechnen einfach Messwert - Median. Davon bilden wir den Betrag. Das heißt, wir machen das immer positiv und diese Beträge werden alle addiert. Und das, was da rauskommt, das ist minimal. Das bedeutet, ich könnte hier auch eine andere Zahl nehmen, oder einen anderen Messwert nehmen. Und auch diese Beträge bilden und die alle addieren. Aber wenn ich eine andere Zahl nehme, dann kommt bei der Summe hier etwas Größeres raus als wenn ich hier den Median verwende. Übrigens diese Minimaltiätseigenschaft gibt es nur dann, wenn man den Median bei geraden Anzahlen von Messwerten als arithmetisches Mittel der beiden in der Mitte liegenden Messwerte definiert. Sonst gilt diese Eigenschaft nicht oder sonst gilt sie nur annähernd. Ich möchte kurz zeigen, wie man sich das vorstellen kann. Warum hier wirklich so etwas herauskommt. Und zwar nehme ich jetzt hier irgendwelche Messwerte. Ich nehme jetzt eine gerade Anzahl von Messwerten, damit das nicht weiter kompliziert wird, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Habe ich gesagt gerade Anzahl? Ungerade Anzahl von Messwerten. Ist egal. 7 Messwerte ist eine ungerade Anzahl. Und der Median ist hier. Und was man jetzt macht, wenn man diese Summe bildet, ist, man nimmt diese Strecke hier, diesen Abstand. Plus dieser Abstand, plus dieser Abstand. Die Abstände sind immer positiv, nicht wahr. Plus dieser Abstand, dieser und dieser. Na, das ist ein bisschen krumm geworden. Ja, das soll hier nur die Andeutung sein, wie man sich das vorstellen kann. Das, das wirklich minimal ist. Ist immer noch krumm. Macht nix. So, das sind erst mal diese Abstände, die man bildet. Also diese Abstände, die man addieren muss, wenn man diese Summe hier bilden möchte. Jetzt könnte man natürlich sagen. O.k., ich nehme einen anderen Messwert. Also nur mal so für die Idee. Ich könnte den nehmen hier. Dann bilde ich den Abstand hier hin und dahin, und den Abstand hierhin und dann zu den weiteren Messwerten. So, was ist jetzt passiert? Diese Distanz hier, kommt bei dem regelgerechten Gebrauch hier, bei der blauen Situation, 3 Mal vor. Wenn ich einen Messwert nehme, der weiter links liegt, dann kann ich hier bei den weiter links liegenden Messwerten, diesen Abstand einsparen. Und zwar 2 Mal in dem Fall, weil jetzt hier 2 Messwerte noch weiter links liegen als der hier. Allerdings liegen 4 Messwerte rechts von diesem Messwert, der ja jetzt nicht der Median ist. Das heisst, ich muss diese Distanz hier 4 Mal überwinden und hier bei der blauen Situation, kommt diese Distanz nur 3 Mal vor. Ansonsten ändert sich nichts. Diese 3 hier, kommen auch hier wieder vor. Das sind die 3. Diese beiden hier, kommen da wieder vor. Aber diese Strecke kommt bei der roten Situation hier, wo ich nicht den Median genommen habe, 4 Mal vor, da kommt sie nur 3 Mal vor. Und ja, so kann man sich ungefähr vorstellen, warum der Median diese Minimalitätseigenschaft hat. Das kann man natürlich noch jetzt die anderen sich auch vorstellen. Oder auch für gerade Anzahlen von Messwerten. Hier soll es erst mal dabei belassen werden. Viel Spaß damit. Tschüss!

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. is doch egal mecker

    Von Marita R., vor 7 Monaten
  2. sehr freundlich Pmbender =/

    Von Marita R., vor 7 Monaten
  3. sehr tolles video :)

    Von Marita R., vor 7 Monaten
  4. Pmbender ist doch egal aber super erklärt ;-)

    Von Stinktier, vor fast 3 Jahren
  5. Furchtbar! Stottern, unzusammenhängende Sätze, Hintergrund mit Teddys. Ungeeignet.

    Von Pmbender, vor fast 3 Jahren

Geometrisches und harmonisches Mittel, Modalwert und Median Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geometrisches und harmonisches Mittel, Modalwert und Median kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die jeweiligen Kennwerte.

    Tipps

    Jeder der genannten Kennwerte ist ein Maß der zentralen Tendenz.

    Er muss also im Bereich der Kennwerte liegen.

    Hier siehst du ein Beispiel für einen Median. Bei den gegebenen geordneten Messwerten ist der Median die 5.

    Das arithmetische Mittel ist ein häufig verwendetes Maß für die zentrale Tendenz. Du kannst es berechnen, indem du die Summe aller Messwerte durch die Anzahl der Messwerte dividierst.

    Lösung

    Die in diesem Video behandelten Kennwerte sind jeweils Maße für die zentrale Tendenz.

    Der sicher am häufigsten benutzte Kennwert ist das arithmetische Mittel. Dabei werden alle Messwerte addiert und die resultierende Summe durch die Anzahl der Messwerte dividiert.

    Darüber hinaus gibt es noch das geometrische Mittel. Alle Messwerte werden multipliziert und daraus die $n$-te Wurzel gezogen, wobei $n$ die Anzahl der Messwerte ist:

    $\sqrt[n]{x_1\cdot ...\cdot x_n}$.

    Dabei müssen alle Messwerte positiv sein.

    Das harmonische Mittel ist mit Worten etwas schwerer zu beschreiben. Die Anzahl der Messwerte wird durch die Summe der reziproken Messwerte dividiert:

    ${\large \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n x_i}}$

    Die Messwerte müssen alle ungleich $0$ sein.

    Der Modalwert ist der am häufigsten vorkommende Messwert.

    Der Median ist der mittlere Messwert der geordneten Messwerte.

  • Gib an, wie der Median bestimmt werden kann.

    Tipps

    Der Median wird auch als Zentralwert bezeichnet.

    Zur Bestimmung des Medians wird der Datensatz zunächst sortiert.

    Links und rechts vom Median befinden sich gleich viele Elemente des Datensatzes.

    Lösung

    Der Median, der Zentralwert, ist der Wert in der Mitte eines geordneten Datensatzes. Hierfür muss ein ordinal skaliertes Merkmal vorliegen, da sonst die Messwerte nicht geordnet werden können.

    Das bedeutet, dass du zunächst die Messwerte ordnest: vom kleinsten Messwert bis zum größten.

    Nun gibt es zwei Möglichkeiten: Du findest entweder eine ungerade oder eine gerade Anzahl an Messwerten vor.

    Bei einer ungeraden Anzahl nimmst du als Median genau den Wert in der Mitte.

    Bei einer geraden Anzahl betrachtest du die beiden Messwerte links und rechts von der Mitte und bildest deren arithmetisches Mittel. Dies ist der Median. Das bedeutet, dass du die beiden Messwerte addierst und die Summe durch $2$ dividierst.

  • Ermittle jeweils den Median.

    Tipps

    Du musst gegebenenfalls den Datensatz sortieren.

    Ist die Anzahl der Messwerte ungerade, dann ist der Median der Wert genau in der Mitte.

    Ist die Anzahl der Messwerte gerade, so wird das arithmetische Mittel der Messwerte links und rechts von der Mitte gebildet.

    Wenn du den Datensatz sortiert hast, teilt der Median diesen exakt in der Mitte. Das bedeutet, dass sich links und rechts vom Median gleich viele Messwerte befinden.

    Lösung

    Bei einem Datensatz, der sortiert vorliegt, ist der Median der Messwert genau in der Mitte.

    Dies stimmt allerdings nur bei einer ungeraden Anzahl von Messwerten. Der entsprechende Median ist ein Messwert.

    Bei einer geraden Anzahl wird das arithmetische Mittel der beiden Messwerte links und rechts der Mitte verwendet. Dieser Median ist dann kein Messwert.

    Von oben nach unten: Der Median ist

    • 12 - Der Datensatz ist bereits sortiert, der Median ist der vierte Messwert.
    • 14 - Der Datensatz ist bereits sortiert, der Median ist der vierte Messwert.
    • 13 - siehe unten
    • 15 - Der sortierte Datensatz lautet:
    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} 3&7&12&15&16&19&21 \end{array}$.

    Der Median ist der vierte Wert.

    Beispielhaft ist der geordnete Datensatz für das dritte Beispiel. Da die Anzahl an Messwerten gerade ist, werden die beiden Werte links und rechts der Mitte addiert und durch $2$ dividiert:

    $\frac{12+14}2=13$.

  • Arbeite die jeweiligen Kennwerte heraus.

    Tipps

    Beachte, dass jeder Messwert ebenso häufig aufgeschrieben werden muss, wie er vorkommt.

    Du kannst aus fünf verschiedenen Messwerten nicht den Median 40 herleiten, da dieser genau in der Mitte steht.

    Multipliziere für das geometrische Mittel alle Messwerte entsprechend ihrer Häufigkeit und ziehe aus dem Produkt die $n$-te Wurzel.

    Das harmonische Mittel ist die Anzahl der Messwerte, hier $20$, dividiert durch die Summe der reziproken Messwerte.

    Der Modalwert ist der am häufigsten vorkommende Messwert.

    Lösung

    Das geometrische Mittel ist das Produkt aller Messwerte und daraus die $n$-te Wurzel:

    $\sqrt[20]{20^5\cdot 32^3\cdot 40^2\cdot 50^6\cdot 70^4}\approx 38,9$

    Das harmonische Mittel ist die Anzahl der Messwerte dividiert durch die Summe der reziproken Messwerte:

    $\frac{20}{\frac5{20}+\frac3{32}+\frac2{40}+\frac6{50}+\frac4{70}}\approx 35$.

    Der Modalwert ist der Messwert, der am häufigsten vorkommt. Dies ist die 50.

    Der Median ist der Wert in der Mitte. Da hier eine gerade Anzahl von Messwerten, nämlich $20$, vorliegt, werden der 10. und 11. Messwert addiert und durch $2$ dividiert:

    $\frac{40+50}2=45$.

  • Gib an, was die Messwerte erfüllen müssen, damit der Median bestimmt werden kann.

    Tipps

    Es gibt verschiedene Skalen für Messwerte, unter anderem die Nominal- und die Ordinalskala. Eine Beispiel für eine Nominalskala wäre die Antwort auf die Frage: Wie hat dir ... gefallen?

    ... sehr gut ... einigermaßen ... nicht so gut ... gar nicht.

    Zur Bestimmung des Medians musst du einen Datensatz sortieren können.

    Der Median der Messwerte

    $-4~|~4~|~8$

    ist der Wert in der Mitte, also die $4$.

    Lösung

    Der Median ist der Wert in der Mitte eines sortierten Datensatzes. Du musst also den Datensatz ordnen. Dies ist nur möglich, wenn die Messwerte ordinal skaliert sind.

    Andernfalls können sie nicht geordnet werden.

    Es kann aber durchaus ein negativer Messwert vorliegen oder der Messwert $0$.

    Auch ist es möglich, den Median zu bestimmen, wenn zwei oder drei Messwerte vorliegen. Zum Beispiel ist der Median von

    $1~|~2~|~3$

    die $2$, da sie genau in der Mitte steht.

  • Berechne mit den gegebenen Werten jeweils das Streuungsmaß.

    Tipps

    Die jeweiligen Mittelwerte müssen nicht überprüft werden, sondern nur das zugehörige Streuungsmaß.

    Beachte, dass die jeweiligen Messwerte häufiger vorkommen.

    Die Streungsmaße zu drei der Mittelwerte sind identisch.

    Lösung

    Das arithmetische Mittel ist

    $x_m=\frac{5\cdot 20+3\cdot32+2\cdot 40+6\cdot 50+4\cdot 70}{20}=\frac{856}{20}=42,8$

    Damit ist das zugehörige Streungsmaß

    $5\cdot |20-42,8|+3\cdot |32-42,8|+ 2\cdot|40-42,8|+ 6\cdot |50-42,8| + 4\cdot|70-42,8|=304$

    Das Streungsmaß zum geometrischen Mittel

    $\sqrt[20]{20^5\cdot 32^3\cdot 40^2\cdot 50^6\cdot 70^4}\approx 38,9$

    ist gegegeben durch

    $5\cdot |20-38,9|+3\cdot |32-38,9|+ 2\cdot|40-38,9|+ 6\cdot |50-38,9| + 4\cdot|70-38,9|=308,4$

    Das harmonische Mittel ist gegeben durch

    $\frac{20}{\frac5{20}+\frac3{32}+\frac2{40}+\frac6{50}+\frac4{70}}\approx 35$

    Somit ist das Streuungsmaß

    $5\cdot |20-35|+3\cdot |32-35|+ 2\cdot|40-35|+ 6\cdot |50-35| + 4\cdot|70-35|=324$

    Der Modalwert ist der Messwert, der am häufigsten vorkommt. Dies ist die 50. Das zugehörige Streuungsmaß ist

    $5\cdot |20-50|+3\cdot |32-50|+ 2\cdot|40-50|+ 6\cdot |50-50| + 4\cdot|70-50|=304$

    Der Median ist der Wert in der Mitte. Da hier eine gerade Anzahl von Messwerten, nämlich $20$, vorliegt, werden der 10. und 11. Messwert addiert und durch $2$ dividiert:

    $\frac{40+50}2=45$

    Mit Hilfe des Medians kann das Streuungsmaß

    $5\cdot |20-45|+3\cdot |32-45|+ 2\cdot|40-45|+ 6\cdot |50-45| + 4\cdot|70-45|=304$

    berechnet werden. Dies ist das kleinste von den berechneten Streuungsmaßen. Die zum Modalwert und arithmetischen Mittel gehörenden Streuungsmaße sind genauso groß.

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