Flächenwinkel im Tetraeder 08:02 min

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Transkript Flächenwinkel im Tetraeder

Hallo, liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik! Herzlich willkommen zum Video: "Der Flächenwinkel im Tetraeder". Kommen wir zu den Lernvoraussetzungen: Als 1. solltet ihr über Geometrie und Koordinatensysteme gut Bescheid wissen. Als 2. solltet ihr Vektoren, Skalarprodukte und die Orthogonalität kennen. Als 3. solltet ihr über Geraden- und Ebenendarstellungen im Raum gut Bescheid wissen. Ich würde sagen, dass dieses Video geeignet ist für Schülerinnen und Schüler der 12. bzw. 13. Klassen. Jüngere Interessierte oder auch ältere Zuhörer sind gerne gesehen. Ziel des Videos ist es, den Winkel zwischen 2 Flächen im Tetraeder zu bestimmen. Um diese Aufgabe anzugehen, habe ich zuerst einmal ein Koordinatensystem im Raum für den 1. Quadranten gezeichnet. Für die Lösung unseres Problems empfiehlt es sich, ein Quadrat im 1. Quadranten einzuzeichnen, sodass das Quadrat eng an den entsprechenden Seiten anliegt. Die grünen Koordinatenachsen des Koordinatensystems gehen durch die unsichtbaren Linien des Quadrates. Die Seitenlänge des Quadrates ist beliebig. Vorteilhaft ist, und dafür entscheide ich mich hier, sie als 1 zu wählen. Aus einem Quadrat macht man geometrisch recht einfach ein Tetraeder, indem man 2 diagonale Eckpunkte an einer Flächendiagonalen auswählt und dazu versetzt auf der gegenüberliegenden Flächenseite das gleiche Verfahren verwendet. Das sind die Eckpunkte des Tetraeders. Die Koordinaten der Eckpunkte des Tetraeders sind dann: PX(1/0/0), PY(0/1/0), PZ(0/0/1) und PR(1/1/1). Den Flächenwinkel können wir zwischen 2 beliebigen, verschiedenen Ebenen herauswählen, den das Tetraeder einschließt. Ich habe mich entschieden, für E1 die Punkte PX, PY und PZ zu benutzen. Die Ebene E2 wird durch die Punkte PX, PY und PR bestimmt. Ganz rechts oben habe ich die wichtigste Formel für unser Verfahren aufgeschrieben. Der Winkel, der von den Ebenen E1 und E2 gebildet wird, ist gleich dem Winkel, der entsprechenden Normalen n1 und n2 zu den Ebenen. Eine Normale zu einer Ebene ist ein beliebiger Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht. Wir müssen nun als nächsten Schritt die beiden Normalenvektoren n1 und n2 bestimmen. n1 ist einfach aus dem Koordinatensystem ablesbar. Er ergibt sich aus den Achsenschnittpunkten für die x-, y-, und z-Achse. Das heißt, er ist ermittelbar aus den Punkten PX, PY und PZ. Demzufolge ist n1 (hier orangefarben gekennzeichnet) (1/1/1). Um n2 zu bestimmen, müssen wir ein wenig arbeiten. Die Ebene E2 (blau gekennzeichnet) wird durch die beiden Vektoren v und u aufgespannt. Die Koordinaten für v und u erhalten wir aus den entsprechenden Punkten PX, PY und PR. Wir wissen nun aber, dass v orthogonal zu n2 sein muss, genauso wie u orthogonal zu n2 sein muss. Das bedeutet, dass die jeweiligen Skalarprodukte 0 sind. v×n2=0 und u×n2=0. v bestimmt man, indem man die entsprechenden Koordinaten der Punkte PR und PX voneinander subtrahiert. Wir erhalten für X: 1-1=0, für Y: 1-0=1 und für Z: 1-0=1. Genauso verfahren wir mit u: 1-0=1, 1-1=0 und 1-0=1. Der orthogonale Vektor n2 möge die Koordinaten X, Y und Z besitzen. Multipliziert mit dem Vektor v 011 erhalten wir für das Skalarprodukt: X×0+Y×1+Z×1. Die 2. Gleichung ergibt sich aus dem Vektor mit den Koordinaten XYZ×dem Vektor mit den Koordinaten 101 = das Skalarprodukt X×1+Y×0+Z×1=0. Wenn wir beide Gleichungen vereinfachen, so erhalten wir am rechten, unteren Bildrand: Y+Z=0 und darunter X+Z=0. Eine bequeme und überschaubare Lösung dieses Gleichungssystems ist: X=1, Y=1 und Z=-1. Damit haben wir den orthogonalen Vektor n2 erhalten. Er beträgt: (1/1/-1). Den Winkel zwischen n1 und n2 bestimmen wir mit der Formel: cosγ=n1×n2 (gemeint ist das Skalarprodukt) /n1(Betrag)×n2(Betrag). Wir setzen n1 und n2 in diese Formel ein und erhalten im Zähler (ganz rechts): 1×1+1×1+1×-1, das ist das Skalarprodukt. Im Nenner erhalten wir: \sqrt1²+\sqrt1²+\sqrt1²×\sqrt1²+1²+(-1)². Weiter geht es in der letzten Zeile, unten rechts. Wir erhalten: 1/(\sqrt3×\sqrt3),\sqrt3×\sqrt3=3, also ergibt sich als Ergebnis 1/3, cosγ=1/3. Mit dem Taschenrechner bestimmen wir das ungefähre Ergebnis von Gamma. Der Winkel beträgt etwa 70,53°. Für eine exakte Beschreibung müssen wir die Umkehrfunktion bemühen. Wir erhalten: γ=arccos(1/3). So, das wäre es auch schon wieder für heute. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!

Flächenwinkel im Tetraeder Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Flächenwinkel im Tetraeder kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Formel an, mit welcher der Winkel berechnet werden kann.

    Tipps

    Wenn du jeden der beiden Normalenvektoren gegen den Uhrzeigensinn um $90^\circ$ drehst, ändert sich der von diesen Vektoren eingeschlossene Winkel nicht.

    Wenn du jeden der beiden Normalenvektoren gegen den Uhrzeigensinn um $90^\circ$ drehst, „liegen“ sie auf den jeweiligen Ebenen.

    $\arccos$ ist die Umkehrung von $\cos$.

    Lösung

    Es soll der Winkel zwischen zwei Ebenen berechnet werden.

    Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist gleich dem Winkel, welcher von den Normalenvektoren der Ebenen eingeschlossen wird: $\angle(E_1;E_2)=\angle\left(\vec{n_1};\vec{n_2}\right)$.

    Für die Berechnung des Winkels $\gamma$, welcher von zwei Vektoren $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$ eingeschlossen wird, verwendest du:

    $\cos(\gamma)=\dfrac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}$.

    Schauen wir uns diesen Term noch etwas genauer an.

    • Im Zähler berechnest du das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
    • Im Nenner benötigst du die Beträge, also die Längen, der Vektoren. Diese Beträge multiplizierst du schließlich.
    Willst du nun den Winkel berechnen, musst du den Cosinus umkehren:

    $\gamma=\arccos\left(\dfrac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\right)$.

  • Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte des Tetraeders.

    Tipps

    Die Punkte liegen, bis auf $P_r$, auf den Koordinatenachsen.

    • $P_x$ liegt auf der $x$-Achse.
    • $P_y$ liegt auf der $y$-Achse.
    • $P_z$ liegt auf der $z$-Achse.

    Alle Punkte sind Eckpunkte eines Würfels mit der Seitenlänge $1$.

    $P_r$ liegt weder auf einer Koordinatenachse noch auf einer Koordinatenebene. Alle Koordinaten dieses Punktes sind ungleich $0$.

    Lösung

    Hier siehst du, wie du Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem bestimmen kannst. Verwende hierfür die folgenden Besonderheiten:

    • $P_x$, $P_y$ und $P_z$ liegen jeweils auf einer der Koordinatenachsen.
    • Alle vier Punkte sind Eckpunkte eines Würfels mit der Seitenlänge $1$. Ein Eckpunkt des Würfels liegt im Koordinatenursprung. Der Würfel liegt im I. Oktanden des Koordinatensystems. Das bedeutet, dass alle Koordinaten größer oder gleich $0$ sind.
    • $P_x$ liegt auf der $x$-Achse. Das bedeutet, dass die $y$- und $z$-Koordinate jeweils $0$ sind. Weil $P_x$ ein Eckpunkt des Würfels ist, ist $x=1$. Du erhältst so $P_x(1|0|0)$.
    • Weil $P_y$ auf der $y$-Achse liegt, ist $x=z=0$. Weiter ist $y=1$ und somit $P_y(0|1|0)$.
    • $P_z$ liegt auf der $z$-Achse. Das bedeutet, dass $x=y=0$ ist. Es ist $z=1$ und somit $P_z(0|0|1)$.
    Etwas kniffliger ist der Punkt $P_r$. Dieser liegt weder auf einer der Koordinatenachsen noch auf einer der Koordinatenebenen. Er liegt dem Koordinatenursprung räumlich diagonal gegenüber. Somit ist $P_r(1|1|1)$.

  • Berechne den von den Seitenflächen des Tetraeders eingeschlossenen Winkel.

    Tipps

    Beachte, dass der Normalenvektor einer Ebene senkrecht zu dieser Ebene steht. Das bedeutet insbesondere, dass der Normalenvektor senkrecht zu den Richtungsvektoren der Ebene steht.

    Wenn zwei Vektoren $\vec u$ und $\vec n$ senkrecht zueinander stehen, dann ist ihr Skalarprodukt gleich $0$.

    $\vec u \perp \vec n~\Leftrightarrow~\vec u\cdot \vec n=0$

    Übrigens: Oft siehst du statt „$\cdot$“ auch „$\star$“ für die skalare Multiplikation zweier Vektoren.

    Verwende für die Winkelberechnung:

    • Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen: $\angle(E_1;E_2)=\angle\left(\vec{n_1};\vec{n_2}\right)$.
    • Sei $\gamma$ der Winkel zwischen zwei Vektoren $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$, dann gilt:
    $\qquad\cos(\gamma)=\dfrac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}$.

    Für die Winkelberechnung gilt: Du bildest im Zähler das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Im Nenner multiplizierst du die Beträge der Vektoren.

    Hier siehst du zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$.

    Das Skalarprodukt dieser Vektoren lautet

    $\vec a\cdot \vec b=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$.

    Der Betrag des Vektors $\vec a$ ist

    $|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$.

    Lösung

    Die Punkte $P_x(1|0|0)$, $P_y(0|1|0)$ und $P_z(0|0|1)$ spannen die Ebene $E_1$ auf.

    Die Richtungsvektoren sind gegeben durch die Verbindungsvektoren von paarweise zwei dieser drei Punkte, zum Beispiel

    $\vec u=\vec{P_xP_y}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$,

    $\vec v=\vec{P_xP_z}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$.

    Der Normalenvektor der Ebene $E_1$ muss senkrecht zu beiden Richtungsvektoren stehen. Das bedeutet, dass das Skalarprodukt jeweils $0$ sein muss.

    Damit erhältst du die Gleichungen $-x+y=0$ sowie $-x+z=0$, wobei $x$, $y$ und $z$ die Koordinaten des Normalenvektors sind.

    Die beiden Gleichungen sind äquivalent zu $x=y=z$. Zum Beispiel ist ein möglicher Normalenvektor $\vec{n_1}$ gegeben durch

    $\vec{n_1}=\begin{pmatrix}. 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$

    Bei der Ebene $E_2$ gehen wir ebenso vor. Zunächst bestimmst du die Richtungsvektoren:

    $\vec u=\vec{P_yP_r}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$,

    $\vec v=\vec{P_xP_r}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$.

    Zur Bestimmung des Normalenvektors verwendest du wieder die Orthogonalität. So erhältst du die Gleichungen $x+z=0$ sowie $y+z=0$. Du kannst nun eine Größe frei wählen, zum Beispiel $z=-1$, und erhältst damit den Normalenvektor

    $\vec{n_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix}$.

    Nun geht die eigentliche Rechnung los. Zur Bestimmung des Flächenvektors verwendest du $\angle(E_1;E_2)=\angle(\vec{n_1};\vec{n_2})$. Den Winkel, welcher von zwei Vektoren eingeschlossen wird, berechnest du so:

    $\cos(\gamma)=\dfrac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}$.

    Somit erhältst du den Winkel $\gamma$ wie folgt:

    $\begin{array}{rclll} \cos(\gamma)&=&\frac{1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot ({-1})}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+({-1})^2}}\\ &=&\frac1{\sqrt3\cdot \sqrt3}\\ &=&\frac13&|&\arccos\\ \gamma&=&\arccos\left(\frac13\right)\\ \gamma&\approx&70,53^\circ \end{array}$.

  • Ermittle den gesuchten Winkel.

    Tipps

    Drei der vier Seiten des Tetraeders liegen in den (drei!) Koordinatenebenen.

    Die Ebene $E_2$ ist die $y$-$z$-Koordinatenebene. Diese hat den Normalenvektor

    $\vec{n_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$.

    Wenn eine Ebene als Koordinatengleichung $E:~n_x\cdot x+n_y\cdot y+n_z\cdot z=d$ gegeben ist, kannst du den Normalenvektor so angeben:

    $\vec n=\begin{pmatrix} n_x \\ n_y\\ n_z \end{pmatrix}$.

    Lösung

    Die Ebene $E_1$ ist als Koordinatengleichung gegeben. Die Koeffizienten von $x$, $y$ und $z$ sind die entsprechenden Koordinaten des Normalenvektors:

    $\vec{n_1}=\begin{pmatrix} 6 \\ 4\\ 3 \end{pmatrix}$.

    Die übrigen drei Flächen des Tetraeders liegen jeweils in einer Koordinatenebene. Die Ebene $E_2$ zum Beispiel ist die $y$-$z$-Koordinatenebene mit dem folgenden Normalenvektor:

    $\vec{n_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$.

    Nun kannst du den eingeschlossenen Winkel berechnen:

    $\begin{array}{rclll} \cos(\gamma)&=&\frac{\begin{pmatrix} 6 \\ 4\\3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} 6 \\ 4\\3 \end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}\right|}\\ &=&\frac{6\cdot 1+4\cdot 0+3\cdot 0}{\sqrt{6^2+4^2+3^2}\cdot\sqrt{1^2+0^2+0^2}}\\ &=&\frac6{\sqrt{61}\cdot 1}\\ &=&\frac6{\sqrt{61}}&|&\arccos\\ \gamma&=&\arccos\left(\frac6{\sqrt{61}}\right)\\ \gamma&\approx&39,81^\circ \end{array}$.

  • Berechne den Winkel, welcher von den beiden Ebenen eingeschlossen wird.

    Tipps

    Hier siehst du, wie du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnest.

    • Multipliziere zunächst die entsprechenden Koordinaten der Vektoren.
    • Dann addierst du die Produkte.

    Den Betrag eines Vektors berechnest du wie folgt:

    • Quadriere jede Koordinate des Vektors.
    • Addiere die Quadrate.
    • Schließlich ziehst du die Wurzel aus der Summe.

    Alle Werte, welche du eintragen sollst, sind ganzzahlig.

    Verwende die folgende Formel für die Berechnung des Winkels $\gamma=\angle\left(\vec{n_1};\vec{n_2}\right)$:

    $\cos(\gamma)=\dfrac{\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot |\vec{n_2}|}$.

    Lösung

    Den eingeschlossenen Winkel $\gamma=\angle\left(\vec{n_1};\vec{n_2}\right)$ kannst du mit der folgenden Formel berechnen:

    $\cos(\gamma)=\dfrac{\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot |\vec{n_2}|}$.

    Dabei sind die Vektoren wie folgt gegeben:

    $\vec{n_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$ und

    $\vec{n_2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$.

    Im Folgenden siehst du die Berechnung Schritt für Schritt.

    Berechnung des Skalarproduktes

    $\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}=1\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot 0=1$

    Berechnung der Beträge

    • $|\vec{n_1}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt2$
    • $|\vec{n_2}|=\sqrt{0^2+1^2+0^2}=\sqrt1=1$
    Anwenden der Formel

    $\cos(\gamma)=\frac1{\sqrt2}$

    Umkehren des Cosinus

    $\gamma=\arccos\left(\frac1{\sqrt2}\right)=45^\circ$

  • Leite die Normalenvektoren der Ebenen her und berechne damit den eingeschlossenen Winkel.

    Tipps

    Die Ebene $E_1$ entspricht der $x$-$y$-Koordinatenebene.

    Die $x$-$y$-Koordinatenebene hat den Normalenvektor

    $\vec{n_1}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$.

    Verwende den Normalenvektor $\vec{n_2}$ für die Ebene $E_2$:

    $\vec{n_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$.

    Wenn du die Normalenvektoren $\vec{n_1}$ sowie $\vec{n_2}$ kennst, kannst du den Winkel $\gamma$ so berechnen:

    $\cos(\gamma)=\dfrac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}$.

    Denke daran, am Schluss den Cosinus umzukehren.

    Lösung

    Um die folgende Formel anzuwenden, benötigst du die Normalenvektoren $\vec{n_1}$ sowie $\vec{n_2}$.

    $\cos(\gamma)=\dfrac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}$

    Die Ebene $E_1$, also die $x$-$y$-Koordinatenebene, hat folgenden Normalenvektor:

    $\vec{n_1}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$.

    Die Ebene $E_2$, welche durch die Punkte $P_x(1|0|0)$, $P_y(0|1|0)$ und $P_z(0|0|1)$ verläuft, hat folgenden Normalenvektor:

    $\vec{n_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$.

    Nun kannst du die obige Formel anwenden:

    $\begin{array}{rclll} \cos(\gamma)&=&\frac{\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}\right|}\\ &=&\frac{0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+1^2}}\\ &=&\frac1{1\cdot \sqrt3}\\ &=&\frac1{\sqrt{3}}&|&\arccos\\ \gamma&=&\arccos\left(\frac1{\sqrt3}\right)\\ \gamma&\approx&54,74^\circ \end{array}$.