30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Flächeninhalt eines Drachenvierecks 07:12 min

Textversion des Videos

Transkript Flächeninhalt eines Drachenvierecks

Hallo liebe Schülerinnen und Schüler! Herzlich willkommen zum Video "Geometrie Teil 38". Das Thema dieses Videos lautet: "Das Drachenviereck". Der Untertitel lautet: "(C) Flächeninhalt". Für die Herleitung habe ich mir ein grünes Drachenviereck genommen, das beruhigt die Nerven so schön. Wir werden den Flächeninhalt jetzt herleiten, indem wir die Längen der beiden Diagonalen benutzen. Die lange Diagonale habe ich bereits eingezeichnet, und ich werde nun noch die kurze Diagonale eintragen. Die lange Diagonale bezeichne ich mit e. Die kurze Diagonale bezeichne ich mit f. Im vorigen Video haben wir gezeigt, dass durch die Eintragung von Diagonalen kongruente Dreiecke entstehen. Das bedeutet, dass die Diagonalen durch ihren Schnittpunkt halbiert werden. Wir können nun den Flächeninhalt des Drachenvierecks als Summe dieser vier entstandenen Dreiecke darstellen.  Zunächst das Dreieck unten links, dann das Dreieck unten rechts, das Dreieck oben links und schließlich das Dreieck oben rechts. Wir drücken nun die einzelnen Summanden durch die entsprechenden Flächeninhalte aus. Wir beginnen mit dem Dreieck unten links. Also A = (und jetzt schreiben wir die Formel für das Dreieck) 1/2 × (e - x) × f/2, das Dreieck rechts unten hat den gleichen Flächeninhalt, es ist nämlich zu dem linken kongruent, also + 1/2 × (e-x) × f/2, jetzt schreiben wir die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks links oben. Also: + 1/2x × f/2, das Dreieck rechts oben ist zum Dreieck links oben kongruent, hat somit den gleichen Flächeninhalt, also es geht weiter mit: + 1/2x × f/2. Wir begründen unsere Vorgehensweise mit dem Video G (15), wo wir gezeigt haben, dass man den Flächeninhalt von rechtwinkligen Dreiecken berechnen kann, indem man die beiden Seiten am rechten Winkel miteinander multipliziert und durch 2 teilt. Jetzt fassen wir zusammen: Zunächst die beiden Therme oben. Sie sind gleich, vorne steht 1/2, hinten steht auch 1/2, also verschwindet 1/2, denn 1/2 + 1/2 = 1. Wir schreiben also:  A = 1/2 (e-x) × f, jetzt vereinen wir die beiden Therme unten. Dort verschwindet auch jeweils 1/2, denn 1/2 + 1/2 = 1, also erhalten wir + 1/2x × f. Wir gucken uns die letzte Zeile an und stellen fest, dass beide Therme jeweils 1/2, rot eingekreist, und f als Faktor enthalten. Also können wir 1/2 × f ausklammern. Wir schreiben: A = 1/2f [(e-x), aus dem zweiten Term bleibt dann noch das x übrig, also + x] Die Zeile darunter: Wir lösen ganz einfach die runde Klammer auf; wir können sie weglassen, und dann haben wir in der eckigen Klammer einmal -x und einmal +x stehen. Diese beiden heben sich gegeneinander auf und wir erhalten in der dritten, dunkel geschriebenen Zeile von oben, A = 1/2f×e.  Jetzt können wir alle Zeilen, bis auf die Letzte, wegnehmen, und vertauschen lediglich e und f, denn gewohnheitsmäßig schreibt man die längere Diagonale zuerst. Wir erhalten also für den Flächeninhalt des Drachenvierecks A = 1/2e×f. Wem diese Herleitung zu mathematisch war, dem kann ich noch etwas anderes vorschlagen. Ich nehme mir nun ein weiteres Modell für unser Drachenviereck - dieses Mal ein blaues, es soll ein bisschen kühlen, obwohl der Tag heute in Berlin kalt ist. Ich trage die Diagonalen ein und bezeichne ihre Längen als e und f. Und jetzt mache ich eine ganz interessante Sache, die wir schon häufig verwendet haben: Kommt man mit einer Figur nicht aus, nimmt man eine Zweite, kongruente zu dieser. Und damit diese sich etwas davon abhebt, ist die zweite Figur keine blaue, sondern eine gelbe. Nachdem ich am heutigen Tage derartig viele Drachenvierecke verdorben habe, kommt es auf das Letzte auch nicht mehr an. Auch dieses wird durch Diagonalen geteilt - das muss nicht so kräftig sein, das dient nur mir als Vorlage für den Schnitt. Ich nehme mir nun eine Schere - ihr seht, es ist immer noch kongruent - und schneide drauf los. Und ihr könnt zuschauen. Ich erhalte vier Dreiecke, wovon zwei Paare kongruent zueinander sind. Und das Beste ist: sie sind auch kongruent zu jeweils einem Dreieck im blauen Drachenviereck. Ich lege oben an, ich lege unten an, ich lege unten an und ich lege oben an. Schaut euch diese Figur aufmerksam an. Ich habe durch das zweite Drachenviereck das Erste zu einem Rechteck ergänzt. Zum Ende möchte ich den Anteil zum Flächeninhalt eines Drachenvierecks am Flächeninhalt eines Rechtecks in eine kurze Merkthese kleiden: A = 1/2ef = die Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks mit den Seitenlängen e und f. Alles Gute! Tschüss!  

7 Kommentare
  1. Super Video alles verstanden. 👍👍

    Von Franz 12, vor 5 Monaten
  2. Ist es nötig, in die Kommentare so viel geistigen Unrat hineinzudrücken?

    Von André Otto, vor mehr als einem Jahr
  3. 👎👎👎👊👊👊👎👎👎👎👅

    Von Christoph 19, vor mehr als einem Jahr
  4. Warum spricht der so langsam 😐😮😴😝😝😝😝😝😜😜😛😛😛😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😖😫😖😫😖😫😖😫😖😫😫😖😫😫😖😖😫😖😫😖😫😖😫😖😖😫😖😫😖😫😖😫😫😫😫😖😫😖😖😫😖😫😖😫😖😫😖😖😫😖😫😖😫😖😖😫😖😫😖😫😖😫😖😫😖😖😫😖😫😖😫😖😖😫😖😫😖😫😖😫😖😖😫😖😫😖😫😖😫😫😫😫😫😫😫😔😔😔😔😔😔😔😬😔😖😖😔😖😔😖😔😖😖😔😖😔😖😔😖😔😖😔😖😔😖😖😔😖😔😖😔😖😔😖😖😔😖😔😖😔😖😖😔😖😔😖😔😖😖😔😖😔😖😔😖😔😖😖😔😔😫😫😫😪😪😪😪😪😪😪😴😴😴😴😴😴😴😴😴😴😴😴😴😴

    Von Christoph 19, vor mehr als einem Jahr
  5. @Matho: Ja, e und f stehen senkrecht aufeinander und man multipliziert sie, um den Flächeninhalt des Drachenvierecks auszurechnen. Der Flächeninhalt ist aber: A=0,5*e*f. Du musst also die Hälfte davon nehmen.
    Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Albrecht Kröner, vor fast 2 Jahren
  1. Kann man auch einfach, da man ein 90grad Winkel hat, die Linien die den 90grad Winkel bilden multiplizieren ?

    Von Matho, vor fast 2 Jahren
  2. no ich möchte nicht der erste sein:)::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::spaß

    Von Dietrich K., vor mehr als 2 Jahren
Mehr Kommentare

Videos im Thema

Flächeninhalt und Umfang von Drachenvierecken und Rauten (2 Videos)

zur Themenseite

Flächeninhalt eines Drachenvierecks Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Flächeninhalt eines Drachenvierecks kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Eigenschaften eines Drachenvierecks.

    Tipps

    Durch die längere Diagonale $e$ wird das Drachenviereck in zwei kongruente Dreiecke unterteilt.

    Für zwei kongruente Dreiecke gilt: Zwei entsprechende Seiten sind gleich lang.

    Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen teilt die kürzere Diagonale $f$ in zwei Teile. Beide Teile sind Seiten von zueinander kongruenten Dreiecken.

    Die Diagonalen $e$ und $f$ zerlegen das Drachenviereck in vier rechtwinklige Dreiecke.

    Lösung

    Die Diagonalen $e$ und $f$ teilen das Drachenviereck in vier Dreiecke. Die beiden oberen Dreiecke (links und rechts) sind zueinander kongruent und ebenso die beiden unteren (links und rechts).

    Dabei teilt die längere Diagonale $e$ die kürzere Diagonale $f$ insbesondere in zwei gleich lange Abschnitte. Das bedeutet, dass die Diagonale $e$ die Diagonale $f$ halbiert.

    Die Diagonalen stehen zusätzlich senkrecht zueinander. Auch dies kann mit der Kongruenz nachgewiesen werden. Betrachten wir hierfür die beiden oberen Dreiecke. Der Winkel entlang der Diagonalen $f$ ist ein gestreckter Winkel. Da die beiden oberen durch $e$ geteilten Dreiecke zueinander kongruent sind, teilt $e$ auch den Winkel in zwei gleich große Winkel. Also muss jeder dieser Winkel $180^\circ:2=90^\circ$ betragen. Dies könnten wir ebenso mithilfe der beiden unteren Dreiecke zeigen.

  • Gib den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks an.

    Tipps

    Für die Berechnung des Flächeninhalts $A_1$ musst du deinen Fokus auf das schraffierte Dreieck oben links im Drachenviereck setzen. Von diesem Dreieck sind dir folgende Informationen bekannt:

    • Das Dreieck hat einen rechten Winkel.
    • Der rechte Winkel wird von Katheten mit den Längen $x$ und $\frac f2$ eingeschlossen.
    • Gegenüber des rechten Winkels liegt die Hypotenuse, deren Länge dir unbekannt ist.

    Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnest du mithilfe der Katheten.

    Vielleicht weißt du schon, dass ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ einen Flächeninhalt von $A=a\cdot b$ hat.

    Teilst du das Rechteck entlang einer seiner beiden Diagonalen in zwei Hälften, erhältst du zwei kongruente, rechtwinklige Dreiecke!

    Lösung

    Das gegebene, schraffierte Dreieck ist rechtwinklig. Die Seiten, welche den rechten Winkel einschließen, nennen wir Katheten. In diesem Dreieck sind die Katheten mit den Längen $x$ und $\frac f2$ gegeben.

    Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmen wir, indem wir seine beiden Katheten miteinander multiplizieren und davon die Hälfte nehmen. Anders gesagt ist der Flächeninhalt die Hälfte des Produkts der beiden Katheten. In unserem Fall erhalten wir somit:

    $A_1=\frac12\cdot x \cdot \frac f2$

    Wir können Faktoren innerhalb eines Produkts beliebig vertauschen (z.B. ist $4\cdot 5$ das Gleiche wie $5\cdot 4$, nämlich $20$). Deshalb können wir unsere Flächeninhaltsformel auf mehrere Weisen darstellen:

    $\begin{array}{llcl} &A_1&=&\frac12\cdot x \cdot \frac f2 \\ \Leftrightarrow&A_1&=&\frac{x\cdot \frac f2}{2} \\ \Leftrightarrow&A_1&=&\frac 12\cdot \frac f2 \cdot x \end{array}$

  • Leite die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Drachenvierecks her.

    Tipps

    Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ hat folgenden Flächeninhalt:

    • Du multiplizierst die Längen der Katheten $a$ und $b$ und
    • dividierst dieses Produkt durch $2$.
    Als Formel ergibt sich $A=\frac12\cdot (a\cdot b)$.

    Kongruente Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt.

    Sieh dir diese Beispiele zum Thema Ausklammern bzw. Faktorisieren an:

    \begin{array}{llcl} \text{1. Beispiel:}&6+3x&=&3\cdot(2+x)\\ \text{2. Beispiel:}&15x+5xy&=&5x\cdot(3+y)\\ \text{3. Beispiel:}&\frac12 xz - \frac12 yz&=&\frac12 z \cdot (x-y) \end{array}

    Lösung

    Durch ihren Schnitt werden die beiden Diagonalen $e$ und $f$ je in zwei Abschnitte unterteilt, und zwar in $e=(e-x)+x$ und $f=\frac{f}{2} +\frac{f}{2}$. Dabei wird auch das Drachenviereck in vier rechtwinklige Dreiecke unterteilt.
    Für den gesamten Flächeninhalt des Drachenvierecks berechnen wir die Flächeninhalte dieser Dreiecke. Anschließend brauchen wir sie nur noch zu addieren.

    Die oberen beiden Dreiecke

    • Wir beginnen mit dem Dreieck oben links. Es hat die Katheten $x$ und $\frac f2$. Da das Dreieck rechtwinklig ist, berechnet sich dessen Flächeninhalt wie folgt: Wir nehmen die Hälfte des Produktes der beiden Katheten und erhalten somit $A_1=\frac12\cdot x\cdot \frac f2$.
    • Das rechtwinklige Dreieck oben rechts ist kongruent zu diesem Dreieck. Das bedeutet, dass die Flächeninhalte gleich sind und $A_1=A_2$ gilt.
    • Nun kann die Summe der beiden oberen Dreiecksflächen berechnet werden. Wir erhalten $A_1+A_2= \frac12\cdot x\cdot\frac f2\cdot 2=\frac 12 \cdot x\cdot f$.
    Die unteren beiden Dreiecke
    • Das Dreieck unten links hat die Katheten $(e-x)$ und $\frac f2$. Da es ebenfalls rechtwinklig ist, berechnet sich sein Flächeninhalt durch $A_3=\frac12\cdot (e-x)\cdot \frac f2$.
    • Das Dreieck unten rechts ist wiederum zu diesem Dreieck kongruent. Daher gilt $A_3=A_4$.
    • Somit ist die Summe der beiden unteren Dreiecksflächen $A_3+A_4= \frac12 \cdot (e-x)\cdot \frac f2\cdot 2=\frac 12\cdot (e-x)\cdot f$.
    Der gesamte Flächeninhalt

    Nun hast du die vier einzelnen Flächeninhalte berechnet. Um die gesamte Fläche zu erhalten, musst du die einzelnen addieren.

    $\begin{array}{lcl} A&=&A_1+A_2+A_3+A_4 \\ A&=&\frac 12 \cdot x\cdot f+\frac 12\cdot(e-x)\cdot f \end{array}$

    Aus dieser Summe kannst du sowohl den Faktor $\frac 12$ als auch den Faktor $f$ ausklammern und erhältst dadurch:

    $A=\frac 12 f\big( (e-x)+x\big)$.

    Zuletzt kannst du den Term in der Klammer noch vereinfachen. Schließlich gelangst du zu der Formel für den Flächeninhalt eines allgemeinen Drachenvierecks. Er ist durch die Hälfte des Produkts der beiden Diagonalen gegeben und lautet:

    $A=\frac12 \,e \,f$.

  • Ermittle das Längenverhältnis zwischen den Diagonalen im Drachenviereck.

    Tipps

    Es muss immer $A_\square =A_\lozenge$ gelten.

    Verwende die Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks $A_\lozenge=\frac12\cdot e\cdot f$ mit den Diagonalen $e$ und $f$.

    Durch Einsetzen der Flächeninhaltsformeln für $A_\square$ und $A_\lozenge$ erhältst du aus $A_\square=A_\lozenge$ die Gleichung:

    $a^2=\frac12\cdot e\cdot f$.

    Beispiel

    Uns ist $a=\frac12 e$ gegeben. Dann können wir in die Formel aus dem zweiten Tipp für $a$ auch $\frac12 e$ einsetzen. Dabei ergibt sich die Rechnung:

    $\begin{array}{lcll} (\frac12 e)^{2}&=&\frac12\cdot e\cdot f& \\ \frac14 e^{2}&=&\frac12\cdot e\cdot f &\mid : e \\ \frac14 e&=&\frac12 f &\mid \cdot 4 \\ e&=&2 f \end{array}$

    Lösung

    In jeder der Aufgaben erhältst du einen Wert für $a$, durch den du den Flächeninhalt des Quadrates $A_\square=a^2$ bestimmst. Wegen $A_\square=A_\lozenge$ kannst du die folgende Gleichung aufstellen:

    $\begin{array}{lcl} \underbrace{A_{\square}}_{a^2}&=&\underbrace{A_{\lozenge}}_{\frac12\cdot e\cdot f}\\ a^2&=&\frac12\cdot e\cdot f \end{array}$

    Diese formst du nach $e$ um.

    Aufgabe 1: $a=f$

    Hier ist $A_\square=f^2$ und es muss $f^2=\frac12\cdot e\cdot f$ gelten. Nun musst du diese Gleichung noch nach $e$ umstellen:

    $\begin{array}{rclll} f^2&=&\frac12\cdot e\cdot f&|&\cdot 2\\ 2\cdot f^{2}&=&e\cdot f&|&:f\\ 2\cdot f&=&e \end{array}$

    Beispiel 2: $a=e$

    Es gilt $A_\square=e^2$. Daraus folgt $e^2=\frac12\cdot e\cdot f$.

    $\begin{array}{rclll} e^2&=&\frac12\cdot e\cdot f&|&:e\\ e&=&\frac12\cdot f \end{array}$

    Beispiel 3: $a=2\cdot f$

    Du weißt $A_\square=(2\cdot f)^2=4\cdot f^2$. Es muss also $4\cdot f^2=\frac12\cdot e\cdot f$ gelten.

    $\begin{array}{rclll} 4\cdot f^2&=&\frac12\cdot e\cdot f&|&\cdot 2\\ 8\cdot f^{2}&=&e\cdot f&|&:f\\ 8\cdot f&=&e \end{array}$

  • Berechne den jeweiligen Flächeninhalt.

    Tipps

    Setze die gegebenen Werten für die Diagonalen $e$ und $f$ in die Formel $A=\frac 12 \cdot e\cdot f$ ein und du erhältst den gesuchten Flächeninhalt.

    Wenn $e$ doppelt so lang wie $f$ ist, gilt der Zusammenhang:

    $e=2f$.

    Die Summe von $e$ und $f$ ist dann:

    $e+f=2f+f$.

    Beachte, dass in der zweiten Aufgabe nicht $f$, sondern $\frac f2$ gegeben ist.

    Lösung

    In dieser Aufgabe sollst du an drei Beispielen üben, wie du den Flächeninhalt eines Drachenvierecks berechnen kannst. Hierfür verwenden wir die Formel $A=\frac12\cdot e\cdot f$.

    Erste Aufgabe

    Setzt du $e=f=20~\text{cm}$ in die Flächeninhaltsformel ein, erhältst du $A=\frac12\cdot 20~\text{cm}\cdot 20~\text{cm}=200~\text{cm}^2$.

    Zweite Aufgabe

    Hier ist dir nur die Größe $e=12~\text{cm}$ direkt gegeben. Aus $\frac f2=5~\text{cm}$ bestimmst du $f=10~\text{cm}$. Nun setzt du beide Größen $e$ und $f$ in die Formel ein und erhältst dadurch $A=\frac12\cdot 12~\text{cm}\cdot 10~\text{cm}=60~\text{cm}^2$.

    Dritte Aufgabe

    Wenn $e$ doppelt so lang wie $f$ ist, gilt einerseits $e=2f$. Zusätzlich weißt du, dass $e+f=30~\text{cm}$ gilt. Setzt du die erste Information in die zweite Information ein, ergibt sich die Aussage:

    $e+f=2f+f=3f=30~\text{cm}$.

    Aus $3f=30~\text{cm}$ erhältst du die Diagonalenlänge $f=10~\text{cm}$. Wegen $e=2f$ erhältst du außerdem $e=20~\text{cm}$.

    Nun kannst du diese berechneten Größen wieder in die Formel einsetzen und berechnest so den Flächeninhalt:

    $A=\frac12\cdot 20~\text{cm}\cdot 10~\text{cm}=100~\text{cm}^2$.

  • Ermittle die Längen der beiden Diagonalen.

    Tipps

    $1,5=\frac32$

    Du multiplizierst zwei Brüche, indem du sowohl die Zähler als auch die Nenner miteinander multiplizierst.

    Lösung

    In dieser Aufgabe ist der Flächeninhalt $A=363~\text{cm}^2$ bekannt. Die Längen der beiden Diagonalen sind gesucht.

    Es ist weiter bekannt, dass die längere der beiden Diagonalen, also $e$, $1,5$-mal so lang ist wie die kürzere. Als Formel lässt sich das durch $e=1,5\cdot f$ oder auch durch $e=\frac 32 f$ ausdrücken.

    Nun kannst du die bekannte Formel für die Flächenberechnung verwenden:

    $A=\frac12\cdot e\cdot f$.

    Setze den gegebenen Flächeninhalt sowie das Verhältnis der Diagonalen zueinander in diese Formel ein und du erhältst:

    $363~\text{cm}^2=\frac12\cdot \frac 32 f\cdot f$.

    Die rechte Seite kann noch zusammengefasst werden:

    $363~\text{cm}^2=\frac34\cdot f^2$.

    Dividieren auf beiden Seiten durch $\frac 34$ ist das Gleiche, wie auf beiden Seiten mit dem Kehrwert $\frac 43$ zu multiplizieren. Dies führt zu:

    $484~\text{cm}^2=f^2$.

    Um das Quadrat bei $f^2$ zu entfernen, ziehst du auf beiden Seiten die Wurzel. Du erhältst schließlich:

    $f=22~\text{cm}$.

    (Das Ergebnis der Wurzel muss positiv sein, da $f$ eine Längenangabe ist.)

    Berechne noch:

    $e=1,5\cdot 22~\text{cm}=33~\text{cm}$.

    Nun hast du die Aufgabe gelöst und weißt, dass die längere der beiden Diagonalen $e=33~\text{cm}$ lang und die kürzere $f=22~\text{cm}$ lang ist.