Fibonacci-Zahlen – Beweis der expliziten Formel

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik. Herzlich willkommen zum Video Fibonacci-Zahlen Teil 3. Das heutige Video heißt: Beweis der expliziten Formel. Wir haben in Video 2 für die ersten Glieder der Fibonacci-Zahlenfolge gezeigt, dass eine Formel gilt, mit der man sie explizit ausrechnen kann. Die Formel lautet: an=1/\sqrt5[(1+\sqrt5/2)ⁿ-(1-\sqrt5/2)ⁿ]. Das ist die Formel von Moivre-Binet. Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion über n. Der Induktionsanfang wird für das kleinste mögliche n ausgeführt, also n=0 Wir rechnen: a0=1/\sqrt5[(1+\sqrt5/2)⁰-(1-\sqrt5/2)⁰]. Wir erhalten somit: 1/\sqrt5[1-1]=0. Wir erinnern uns: a0 ist nach Definition tatsächlich 0. Damit ist der Induktionsanfang erbracht. Der Induktionsschritt wird erbracht, indem von k auf k+1 geschlossen wird. k ist Element der natürlichen Zahlen. Die Induktionsvoraussetzung wird formuliert, indem die Formel notiert wird und an Stelle von n, k gesetzt wird. ak=1/\sqrt5[(1+\sqrt5/2)^k-(1-\sqrt5/2)^k]. Die n's habe ich von oben genommen, sie werden nachher noch durch k ersetzt. Bei der Induktionsbehauptung wird für n k+1 gesetzt. Also schreiben wir: ak+1=1/\sqrt5[(1+\sqrt5/2)^k+1-(1-\sqrt5/2)^k+1]. Der folgende Induktionsbeweis wird vollzogen, indem aus der Induktionsvoraussetzung die Induktionsbehauptung hergeleitet wird. Wir führen nun den Induktionsbeweis. Zunächst notieren wir die Induktionsvoraussetzung.  Die Induktionsvoraussetzung lautet: ak=1/\sqrt5[(1+\sqrt5/2)^k-(1-\sqrt5/2)^k]. Wir addieren nun auf beiden Seiten ak-1. Auf der linken Seite der Gleichung lassen wir ak-1 stehen. Auf der rechten Seite der Gleichung wird ak-1 durch den Term ersetzt, den wir aus der Moivre-Binet-Gleichung zu erwarten haben. Dieser Term lautet: 1/\sqrt5[(1+\sqrt5/2)^k-1-(1-\sqrt5/2)^k-1]. Auf der linken Seite der Gleichung schreiben wir für ak-1+ak ak+1. Das ist die Definition der Fibonacci Zahlen. Wir fassen nun die beiden großen Summanden zu einem zusammen. Das geschieht in der zweiten Zeile. Ich kennzeichne das, durch das rote Gleichheitszeichen. Wir klammern zunächst den Faktor 1/\sqrt5 aus und schreiben ihn vor die eckige Klammer. (1+\sqrt5/2)^k-1 taucht im 2. großen Teilterm genau einmal auf. Im ersten Teilterm, der noch oben steht, existiert dieser Ausdruck auch einmal. Um aber auf den Wert zu kommen, der oben steht, nämlich mit dem Exponenten k, müssen wir ihn noch mit 1+\sqrt5/2 multiplizieren. Also erhalten wir als zweiten Faktor: (1+1+\sqrt5/2). Genauso verfahren wir mit dem 2. Teilterm, der nach den jeweils negativen Vorzeichen auftaucht. Es handelt sich um (1-\sqrt5/2)^k-1. Dieser Teilterm taucht im zweiten Summanden genau einmal auf. Im ersten Summanden ist er ebenfalls einmal vorhanden. Allerdings noch mit Ausnahme des Faktors 1-\sqrt5/2. Daher lautet der zweite Faktor: (1+1-\sqrt5/2). Der Term aus der ersten Zeile wird entfernt und wir formen weiter um. Nun müssen wir eine Nebenrechnung ausführen, um den Ausdruck, den wir hier als f1 bezeichnen, in eine uns genehme Form zu bringen. Wir bilden, vorausschauend, den Hauptnenner 4 und schreiben: 4+2+2×\sqrt5. Den Zähler können wir nun darstellen als 1²+2×\sqrt5+(\sqrt5)².

Für die 4 im Nenner schreiben wir 2². Im Zähler des Bruches lacht uns die erste binomische Formel direkt ins Gesicht. Wir schreiben also: (1+\sqrt5/2)². Wir notieren die Veränderung dieses Faktors in der oberen Zeile. Nun müssen wir noch den Faktor f2 in die geeignete Form bringen. Wir bilden den Hauptnenner 4 und schreiben: f2=4+2-2×\sqrt5/4. Dafür kann man im Zähler des Bruchs schreiben: 1²-2×\sqrt5+(\sqrt5)². Im Nenner schreiben wir 2². Im Zähler lacht uns die zweite binomische Formel mitten ins Gesicht. Wir schreiben also: (1-\sqrt5/2)². Nun notieren wir die Veränderung dieses Terms in der oberen Zeile. Wir schaffen etwas Platz und führen die letzten Schritte aus. Das Schöne an dem obigen Audruck besteht darin, dass wir Potenzen mit gleichen Basen haben. Also können wir die Exponenten addieren. Wir erhalten somit: ak+1=1/\sqrt5[(1+\sqrt5/2)^k-1+2 und genauso verfahren wir mit der nächsten Base, also -(1-\sqrt5/2)^k-1+2]. Der abschließende Schritt besteht darin, die Exponenten zu vereinfachen und wir haben die Induktionsbehauptung bewiesen. Daraus folgt: Die Formel gilt für alle n Element N. Damit wurde der Induktionsbeweis erfolgreich geführt. Das wäre es schon wieder für heute. Vielleicht treffen und sehen wir uns bald wieder zum Video Fibonacci-Zahlen 4, wo ich eine Anwendung aus der Chemie präsentieren möchte. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!