f(x) = x² – Wertetabelle und Funktionsgraph: Die Normalparabel

f(x) = x² – Wertetabelle und Funktionsgraph: Die Normalparabel Übung

• Ergänze die Wertetabelle.

  Tipps

  Beachte beim Ausmultiplizieren die Regel Minus mal Minus ergibt Plus.

  Das Quadrat von $2$ ist dasselbe wie das Quadrat von $-2$.

  Der Term $x^2$ ist der Funktionsterm der Funktion $f(x)$.

  Lösung

  Unter einer Normalparabel versteht man den Graphen einer quadratischen Funktion mit einem Koeffizienten vom Betrag $1$ vor dem quadratischen Term. Die Normalparabel nennt man manchmal auch den Graphen der Funktion $f(x) = x^2$.

  Hier solltest du die Wertetabelle der Normalparabel $f(x) = x^2$ angeben. Dazu setzt du für die Variable $x$ verschiedene Werte in den Funktionsterm $x^2$ ein und rechnest die Funktionswerte $f(x)$ aus. Beim Einsetzen negativer Werte für die Variable musst du die Regel Minus mal Minus ergibt Plus beachten.

  Beispiel: $f(-1) = (-1)^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$

  Bei einigen Einträgen sind nicht die $x$-Werte vorgegeben, sondern die Funktionswerte $f(x) = x^2$. Daraus allein lassen sich die $x$-Werte nicht eindeutig erschließen, denn zu jedem Funktionswert $\neq 0$ gehören zwei $x$-Werte. Die $x$-Werte in der Wertetabelle sollen hier aber der Größe nach sortiert werden, und kein Wert soll mehrfach vorkommen.

  So erhältst du folgende Wertetabelle:

  $\begin{array}{c|c} x & f(x) = x^2 \\ \hline 3 & 9 \\ 2 & 4 \\ 1 & 1 \\ 0,5 & 0,25 \\ 0 & 0 \\ -0,5 & 0,25\\ -1 & 1\\ -2 & 4\\ -3 & 9 \end{array} $

• Bennene die Eigenschaften der Normalparabel.

  Tipps

  Die Funktionswerte der Funktion $f(x) =x^2$ sind nicht negativ.

  Die Funktion $f(x) =2x^2$ beschreibt eine Parabel, aber keine Normalparabel.

  Zu jedem $x$-Wert einer Funktion $f(x)$ gehört genau ein $y$-Wert.

  Lösung

  Unter der Normalparabel versteht man den Graphen der quadratischen Funktion $f(x) = x^2$. Allgemeiner ist jede quadratische Funktion der Form $f(x) = \pm x^2 + bx +c$ eine Normalparabel, da der Koeffizient des quadratischen Terms auf den Betrag $1$ normiert ist.

  Der Scheitelpunkt ist der Tiefpunkt der Normalparabel, er liegt bei $P(0|0)$. Verschiebt man den Scheitelpunkt im Koordinatensystem, kommt zu dem quadratischen Term noch ein linearer Term und ein Absolutglied hinzu. Die Normalparabel $f(x) = x^2$ ist symmetrisch zur $y$-Achse, verschobene Normalparabeln mit einem linearen Term sind es nicht.

  So erhältst du folgende richtigen Aussagen:

  • Jede quadratische Funktion mit dem Term $1 \cdot x^2$ heißt Normalparabel.

  • Der Punkt $(0|0)$ ist der Scheitelpunkt der Funktion $f(x) = x^2$.

  • Nicht jede quadratische Funktion mit dem Term $1 \cdot x^2$ ist symmetrisch zur $y$-Achse.

  • Die Funktionswerte der nicht verschobenen oder gespiegelten Normalparabel sind alle $\geq 0$.

  • Jeder $y$-Wert $\neq 0$ der Normalparabel gehört zu zwei $x$-Werten.

• Bestimme die Funktionswerte der Parabeln.

  Tipps

  Überprüfe für jeden Punkt $P(x|y)$, zu welcher Funktion $y=f(x)$ er gehört, und analog für die Funktionen $g$ und $h$.

  Der Punkt $P(3|5)$ gehört zu der Funktion $g(x) = x^2 - 2x +2$, denn $g(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 + 2 = 9-6+2=5$.

  Der Punkt $P(4|8)$ gehört nicht zu der Funktion $f(x) =x^2 +1$, da $4^2 +1 = 17 \neq 8$.

  Lösung

  Eine Normalparabel ist der Graph einer quadratischen Funktion mit dem Koeffizienten $+1$ oder $-1$ vor dem quadratischen Term. Punkte des Funktionsgraphen einer Funktion $f$ sind solche Punkte $P(x|y)$ im Koordinatensystem, für die gilt:

  $y = f(x)$

  Du kannst für die verschiedenen Punkte ihre Zugehörigkeit zu einer der Funktionen durch die Punktprobe überprüfen: Du setzt den gegebenen $x$-Wert in die Funktionen $f$, $g$ und $h$ ein und vergleichst den Funktionswert mit dem gegebenen $y$-Wert. Dann erhältst du folgende Zuordnungen:

  $f(x) = x^2 +1$:

  • $P(0|1)$ ist ein Punkt des Funktionsgraphen, da $f(0) = 0^2 +1 = 1$. Für alle anderen angegebenen Funktionen ist $f(0) \neq 1$.
  • $P(1|2)$ gehört ebenfalls zu dieser Normalparabel, da $f(1) = 1^2 +1 = 2$.
  • $P(2|5)$ erfüllt $f(2) = 2^2+1 = 5$.
  • $P(3|10)$ ist ein weiterer Punkt dieser Normalparabel, weil $f(3) = 3^2+1 = 10$.

  $g(x) = x^2-2x +2$:

  • $P(0|2)$ gehört zu dieser Normalparabel, denn $f(0) = 0^2-2 \cdot 0 + 2=2$. Für alle anderen angegebenen Funktionen ist $f(0) \neq 2$.
  • $P(1|1)$ ist ein weiterer Punkt dieses Funktionsgraphen, da $f(1) = 1^2 - 2\cdot 1 + 2 = 1-2+2 = 1$.
  • $P(2|2)$ gehört auch zu dem Funktionsgraphen, denn $f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 + 2 = 2$.
  • $P(3|5)$ erfüllt $f(3) = 3^2 -2 \cdot 3 +2 = 5$, gehört also ebenfalls zu diesem Funktionsgraphen.

  $h(x)= x^2 -2x +4$:

  • $P(0|4)$ ist ein Wertepaar dieser Funktion, denn $f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 +4 = 4$.
  • $P(1|3)$ ist auch von der Form $P(x|f(x))$, denn $f(1)= 1^2-2 \cdot 1 +4 = 3$.
  • $P(2|4)$ erfüllt $f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 +4 = 4$.
  • $P(3|7)$ gehört ebenfalls zu dieser Funktion, denn $f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 +4 = 7$.

  Alle anderen angegebenen Punkte gehören zu dem Funktionsgraphen keiner der angegebenen Funktionen, denn die Funktionswerte sind stets eindeutig.

• Bestimme die Funktionsgleichungen der Parabeln.

  Tipps

  Der Schnittpunkt der Normalparabel mit der $y$-Achse ist bestimmt durch den Funktionswert bei $x=0$.

  Eine Parabel mit negativem Koeffizienten des quadratischen Terms ist nach unten geöffnet.

  Eine Normalparabel mit linearem Term $\neq 0$ ist nicht symmetrisch zur $y$-Achse.

  Lösung

  Der Graph einer quadratischen Funktion mit dem Koeffizienten $+1$ oder $-1$ vor dem quadratischen Term heißt Normalparabel. Der Tiefpunkt der Parabel ist der sogenannte Scheitelpunkt. Bei der Funktion $f(x) = x^2$ ist $(0|0)$ der Scheitelpunkt, denn für jedes $x \neq 0$ ist $f(x) > 0$.

  Verschiebt man die Normalparabel im Koordinatensystem nach rechts oder links, kommt bei der Funktionsgleichung ein linearer Term und ein Absolutglied hinzu. Die Normalparabel zu der Funktion $f(x) = (x-1)^2 = x^2 -2x+1$ hat z. B. den Scheitelpunkt $(1|0)$, da für jedes $x \neq 1$ für den Funktionswert $f(x) > 0$ gilt.

  Verschiebt man die Normalparabel zu $f(x)=x^2$ im Koordinatensystem nach oben oder unten, so kommt in der Funktionsgleichung nur ein Absolutglied hinzu: Die Parabel zu der Funktion $f(x) = x^2 -2$ z. B. hat den Scheitelpunkt bei $(0|-2)$, denn für jedes $x \neq 0$ ist $f(x) = x^2 -2 > -2$.

  Verschiebt man die Parabel nach rechts/links und nach oben/unten, kann das Absolutglied auch wieder $0$ werden: So hat die Parabel zu der Funktion $f(x) = (x-1)^2 -1 = x^2 -2x$ ihren Scheitelpunkt bei $(1|-1)$.

  Den Scheitelpunkt einer Parabel kannst du an dem Koordinatensystem ablesen. Wenn du verschiedene Werte in die Funktion einsetzt, findest du vielleicht heraus, welche Funktion genau diesen Hoch- bzw. Tiefpunkt hat. Du kannst auch eine quadratische Ergänzung benutzen, um den Scheitelpunkt direkt an der Funktionsgleichung abzulesen.

  Für diese Aufgabe genügt es aber, einige Wertepaare zu vergleichen: Jede Normalparabel ist durch zwei Punkte eindeutig festgelegt.
  Du kannst auch auf die Gestalt der Parabel im Koordinatensystem achten: Ist die Parabel symmetrisch zur $y$-Achse, kann die zugehörige Funktion keinen linearen Term enthalten. Ist die Parabel nach unten geöffnet, so ist der Koeffizient des quadratischen Terms negativ.

  Du kannst die Funktionsgraphen in dieser Weise zuordnen:

  • Die zur $y$-Achse symmetrische Parabel mit Scheitelpunkt $(0|0)$ ist der Funktionsgraph von $f(x) = x^2$.

  • Die Funktion $f(x) = x^2 + 5$ gehört zu der Parabel mit Scheitelpunkt $(0|5)$, die ebenfalls symmetrisch zu $y$-Achse und nach oben geöffnet ist.

  • Die nach unten geöffnete, zur $y$-Achse symmetrische Parabel mit demselben Scheitelpunkt $(0|5)$ ist der Funktionsgraph von $f(x) = -x^2 +5$.

  • Die nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt $(1|5)$ hat als Koeffizient des quadratischen Terms $-1$. Die Parabel ist nicht symmetrisch zur $y$-Achse, daher ist der Koeffizient des linearen Terms $\neq 0$. Es ist also $f(x) = -(x-1)^2 +5 = -x^2 +2x +4$ die passende Funktion.

  • Die nach oben geöffnete, nicht zur $y$-Achse symmetrische Parabel hat ihren Scheitelpunkt bei $(1|5)$ und schneidet die $y$-Achse in $(0|6)$. Die Parabel ist daher der Funktionsgraph der Funktion $f(x) = x^2-2x+6$, denn $f(0) = 0^2-2\cdot 0+6$ und $f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 +6 = 5$.

  • Eine Normalparabel hat genau einen Hoch- oder Tiefpunkt. Der Graph mit einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt ist daher der Funktionsgraph keiner Normalparabel.

• Bestimme den Flächeninhalt $A$ eines Quadrates mit der Seitenlänge $x$.

  Tipps

  Ein Quadrat der Seitenlänge $2$ hat den Flächeninhalt $4$.

  Der Flächeninhalt eines Quadrates ist das Quadrat seiner Seitenlänge. Um den Flächeninhalt $A$ eines Quadrates mit der Seitenlänge $x$ zu berechnen, setzt du die vorgegebenen Werte für $x$ in folgende Formel ein:

  $A = x^2$

  Ein Quadrat der Seitenlänge $0$ kann keinen von $0$ verschiedenen Flächeninhalt haben.

  Lösung

  Bei einem Quadrat kannst du den Flächeninhalt $A$ aus der Seitenlänge $x$ berechnen. Dazu verwendest du diese Formel:

  $A = x^2$

  Setzt du für die Seitenlänge $x$ verschiedene Werte ein, so findest du die zugehörigen Flächeninhalte:

  $\begin{array}{c|c} x & A \\ \hline 0 & 0 \\ 0,5 & 0,25 \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 3 & 9 \end{array}$

• Zeige die Punkte des Funktionsgraphen.

  Tipps

  Der Graph einer Funktion der Form $f(x) = (x-d)^2 +e$ ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$.

  Die Punkte des Funktionsgraphen sind die Punkte $(x|y)$ im Koordinatensystem mit $y = f(x)$.

  Lösung

  Der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Normalparabel ist der Punkt mit dem kleinsten Funktionswert. Du kannst den Scheitelpunkt der Parabel indirekt aus dem Funktionsterm ablesen:

  Die Funktion $f(x) = x^2 -2x$ hat die beiden Nullstellen $x=0$ und $x=2$.

  Eine Parabel ist immer symmetrisch um ihren Hoch- bzw. Tiefpunkt. Der Tiefpunkt liegt also genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. So hast du schon drei Punkte des Funktionsgraphen identifiziert, nämlich die Punkte $(0|0)$ und $(2|0)$, die zu den Nullstellen der quadratischen Funktion gehören und den Scheitelpunkt $(1|-1)$. Die weiteren Punkte des Funktionsgraphen kannst du durch Einsetzen von $x$-Werten in den Funktionsterm $x^2-2x$ bestimmen.

  Folgende Punkte gehören zu dem Funktionsgraphen:

  • $P(0|0)$ (wie eben berechnet)
  • $P(-1|3)$, denn: $f(-1) = (-1)^2 -2 \cdot (-1) = 1+2 = 3$
  • $P(1|-1)$ ist der Scheitelpunkt (wie oben erläutert)
  • $P(2|0)$, denn: $f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 = 0$
  • $P(3|3)$, denn: $f(3) = 3^2 -2 \cdot 3 = 9-6 = 3$ (durch Einsetzen)
  • $P(-2|8)$ erfüllt $f(-2) = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) = 4+4 = 8$
  • $(4|8)$ ist der zugehörige symmetrische Punkt bzgl. der Spiegelung an der Achse $x=1$

  Alle anderen Punkte gehören nicht zum Funktionsgraphen der Funktion $f(x) = x^2 -2x$. Exemplarisch überprüfen wir das für den Punkt $P(0|-1)$: Hier ist $f(0) = x^2 - 2 \cdot 0 = 0 \neq -1$. Daher ist $P(0|-1)$ kein Punkt des Funktionsgraphen.