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f(x)=x²+c – Einführung 05:02 min

Textversion des Videos

Transkript f(x)=x²+c – Einführung

Ein schrecklich schmerzhaftes Problem plagt die Bevölkerung. Der sogenannte "Handynacken" mindert die Lebensqualität. Linderung bietet eine neue Diagnosemethode von Doktor Ferdinand von Xanthen. Doktor Xanthens Röntgenmaschine ermittelt präzise die Lage des Haltungsschadens Und Doktor von Xanthen weiß auch um den diagnostischen Nutzen von Funktionen der Form f von x gleich x Quadrat plus c. Die Kopfform und -lage eines Menschen beschreibt Doktor von Xanthen mittels einer Parabel. Die Röntgenmaschine offenbart: zu Doktor von Xanthens geplagtem Patienten gehört die Parabel mit der Funktionsgleichung f von x gleich x Quadrat minus zwei. Zum Vergleich: die richtige Kopflage entspricht der Normalparabel, also der Funktion f von x gleich x Quadrat. Denn dann liegt der Kopf genau einmal auf der Schulter auf — an der einzigen Nullstelle der Normalparabel. Doktor von Xanthen pocht auch auf die Wichtigkeit der Wertetabelle, um die Parabel kompetent beschreiben zu können. Im Nu erstellt die Röntgenmaschine die Wertetabelle der Normalparabel mit den x-Werten minus 2, minus 1, 0, 1 und 2. Für alle x-Werte berechnet sie die zugehörigen Funktionswerte 4, 1, 0, 1 und 4, und trägt sie in die Wertetabelle ein. Mithilfe der Wertetabelle kann die Röntgenmaschine den Funktionsgraphen in einem Koordinatensystem darstellen. Die Normalparabel ist ACHSENSYMMETRISCH, nach OBEN geöffnet und hat ihren Scheitelpunkt im KOORDINATENURSPRUNG. Was können wir über den Handynacken des Patienten herausfinden? Doktor von Xanthen blendet deren Funktionsgleichung ein und lässt die Röntgenmaschine die zugehörige Wertetabelle berechnen. Die Wertetabelle mit den x-Werten -2, -1, 0, 1 und 2 enthält die Funktionswerte 2, -1, -2, -1 und 2. Anhand der Wertetabelle und des Graphen untersuchen wir die Lage des Kopfes. Der Scheitelpunkt der Kopfparabel liegt im Punkt S(0|-2). Auch diese Parabel ist achsensymmetrisch und nach oben geöffnet, ABER hat nun ZWEI Nullstellen. Das ist schlecht, denn nur wenn der Kopf mit genau einem Punkt auf Schulterhöhe liegt, ist die Haltung optimal! Doktor von Xanthens Diagnose lautet also, dass die Kopflage des Patienten gegenüber der Normalparabel genau um zwei Einheiten nach unten verschoben ist. Mit seiner traditionellen Methode versucht Doktor von Xanthen, die Kopflage des Patienten zu korrigieren. äh aus Demonstrationszwecken hat Doktor von Xanthen die Kopflage des Patienten überkorrigiert.

Ein Blick auf die Röntgenmaschine offenbart nichts Gutes. Schnell analysiert sie die Funktionsgleichung der Kopfparabel. Die Wertetabelle für die x-Werte -2, -1, 0, 1 und 2 fordert Doktor von Xanthen mit raschen Handgriffen an. Die neuen Einträge sind die Funktionswerte 5, 2, 1, 2 und 5. Mithilfe der Wertetabelle wird nun der Funktionsgraph in ein Koordinatensystem gezeichnet. Die Parabel für die aktuelle Kopflage hat ihren Scheitelpunkt in S(0|1). Sie ist wieder achsensymmetrisch und nach oben geöffnet. Allerdings besitzt sie gar keine Nullstelle — der Kopf liegt also überhaupt nicht auf Schulterhöhe auf! Verglichen mit der Normalparabel ist die Kopflagenparabel nun um genau eine Einheit nach oben verschoben. Doch auch für diese Fehlstellung besitzt Doktor von Xanthen eine schlagkräftige Lösung. Während der erneuten "Korrektur" fassen wir die Diagnosemethode zusammen. Eine quadratische Funktion der Form f von x gleich x Quadrat plus c beschreibt eine achsensymmetrische und nach oben geöffnete Parabel, die ihren Scheitelpunkt bei S(0|c) hat. Das heißt, der y-Achsenabschnitt des Graphen ist c. Ist der Parameter c gleich Null, handelt es sich um eine Normalparabel. Ist c größer als Null, so ist die Parabel gegenüber der Normalparabel um c Einheiten nach oben verschoben. Falls der Parameter c negativ ist, liegt eine gegenüber der Normalparabel entsprechend nach unten verschobene Parabel vor. Wenn auch Sie Ihren Handynacken verfluchen sollten Sie Doktor von Xanthen aufsuchen.

12 Kommentare
  1. Liebes Team, ihr habt eine tolle Einstiegsidee sehr gut umgesetzt. Die Schwerpunktsetzung ist passend zu den Bildungsstandards. Der Stoff wurde sehr gut animiert erklärt.
    Eine kleine Anmerkung zum Start hätte ich: An der Stelle 0.25 ("Hier hier nutzt Dr. ....") sollte eine allgemeine Beschreibung von quadratischen Funktionen erfolgen, da es ja ein Einführungsvideo sein soll. (z.B. "Funktionen, deren Argumente x die höchste Potenz 2 besitzen"). Auch, dass auf dem Schirm des Röntgenappartes ein Koordinatensystem hinterlegt ist, wäre erwähnenswert.
    Trotzdem danke für ein tolles Video, welches ich morgen einsetzen werde.
    Beste Grüße

    Von Yiren Y., vor 15 Tagen
  2. Liebes Team, ihr habt eine tolle Einstiegsidee sehr gut umgesetzt. Die Schwerpunktsetzung ist passend zu den Bildungsstandards. Der Stoff wurde sehr gut animiert erklärt.
    Eine kleine Anmerkung zum Start hätte ich: An der Stelle 0.25 ("Hier hier nutzt Dr. ....") sollte eine allgemeine Beschreibung von quadratischen Funktionen erfolgen, da es ja ein Einführungsvideo sein soll. (z.B. "Funktionen, deren Argumente x die höchste Potenz 2 besitzen"). Auch, dass auf dem Schirm des Röntgenappartes ein Koordinatensystem hinterlegt ist, wäre erwähnenswert.
    Trotzdem danke für ein tolles Video, welches ich morgen einsetzen werde.
    Beste Grüße

    Von Thomas S., vor 15 Tagen
  3. Hallo! Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Albrecht Kröner, vor etwa einem Monat
  4. Ich hab nix verstanden

    Von Itslearning Nutzer 2535 448072, vor etwa einem Monat
  5. Hallo Tatia, vielen Dank für Dein Feedback. Kannst Du etwas genauer beschreiben, was Dir gefehlt hat? Über Verbesserungsvorschläge freuen wir uns sehr! Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor etwa 2 Monaten
  1. Sehr tolles Video. Ich finde nur das Thema hätte etwas mehr erläutert werden müssen und besser veranschaulicht dargestellt.

    Von Tatia Schirrmacher, vor etwa 2 Monaten
  2. Woah! Tolles Video. Die Erklärung passt und die Animation ist klasse. Weiter so.

    Von Beehoney1, vor 4 Monaten
  3. Bei mir geht das Video nach einer minute nicht weiter

    Von Serious Omega, vor 9 Monaten
  4. Hallo Dagmar Armbruster 1,
    da meinst du sicherlich die Extrema einer Funktion. Diese bestimmst du, indem du die erste Ableitung bildest und diese dann null setzt.
    Mehr dazu findest du auch auf folgender Themenseite:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/funktionen/kurvendiskussion/grundlagen-zur-kurvendiskussion

    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Florian H., vor 10 Monaten
  5. ich suche Bestimmung kleinster und grösster Werte - könnt ihr mir helfen ???Danke im voraus

    Von Luca A., vor 10 Monaten
  6. Guten Tag Malin!

    Die Wertetabelle rechnest du wie folgt aus. Als erstes suchst du dir aufeinanderfolgende x-Werte, die du untersuchen willst. Dann setzt du diese x-Werte in die Funktionsgleichung ein und rechnest aus. Das sind dann die zugehörigen Werte, die unter den Strich kommen. Ein Beispiel. Bei dieser Funktion f(x) = x² wollen wir die Werte -2, -1, 0, 1 und 2 untersuchen, wie im Video. Die schreiben wir also oben in die Tabelle. Dann setzen wir die einzelnen Werte in die Funktionsgleichung x² ein. Also (-2)² = 4, (-1)² = 1, 0² = 0, 1² = 1, 2² = 4. Und schon haben wir die zugehörigen unteren Werte.

    Viele Grüße aus der Redaktion!

    Von Luca Richter, vor etwa einem Jahr
  7. wie rechnet man die wertetabelle aus?

    Von Malin Wuertz, vor etwa einem Jahr
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f(x)=x²+c – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video f(x)=x²+c – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Eigenschaften der Normalparabel zu der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ an.

    Tipps

    Folgende Eigenschaften gelten für die Funktion $f(x)=x^2+c$:

    • Scheitelpunkt $S(0\vert c)$ und
    • Nullstelle $x_N=\pm\sqrt{-c}$.

    Folgende Eigenschaften gelten für die Funktion $f(x)=ax^2$:

    • $a>0:~$ nach oben geöffnet,
    • $a<0:~$ nach unten geöffnet.

    Eine Wertetabelle der Funktion $f(x)=x^2$ ist wie folgt gegeben:

    $ \begin{array}{l|ccccc} x&-2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \end{array} $

    Der Scheitelpunkt ist ...

    • ... der Tiefpunkt einer nach oben geöffneten Parabel.
    • ... der Hochpunkt einer nach unten geöffneten Parabel.
    Lösung

    Wir erstellen zunächst eine Wertetabelle für die Funktion $f(x)=x^2$. Eine mögliche Wertetabelle ist:

    $ \begin{array}{l|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \end{array} $

    Wenn wir die Wertepaare $(x\ \vert\ f(x))$ in ein Koordinatensystem einzeichnen, so erhalten wir die hier abgebildete Normalparabel. Diese hat folgende Eigenschaften:

    • nach oben geöffnet,
    • achsensymmetrisch zur $f(x)$-Achse,
    • Scheitelpunkt im Koordinatenursprung, also $S(0\vert 0)$ und
    • eine Nullstelle, nämlich $x_N=0$.
  • Bestimme die Funktionsgleichung der gegebenen Funktionsgraphen.

    Tipps

    Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion der Form $f(x)=x^2+c$ lautet $S(0\vert c)$.

    Der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Parabel ist der tiefste Punkt des Graphen.

    Der Parameter $c$ entspricht dem $f(x)$-Achsenabschnitt der Parabel.

    Lösung

    Der Funktionsgraph einer Funktionsgleichung der Form $f(x)=x^2+c$ ist eine zur $f(x)$-Achse achsensymmetrische und nach oben geöffnete Parabel. Der Parameter $c$ entspricht dabei dem $f(x)$-Achsenabschnitt der Parabel. Somit kann die Parabel durch Variation des Parameters $c$ entlang der $f(x)$-Achse verschoben werden. Zudem hat die Parabel einer Funktionsgleichung der Form $f(x)=x^2+c$ ihren Scheitelpunkt bei $S(0\vert c)$.

    Parabel 1

    Der erste Graph ist die sogenannte Normalparabel zu der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$. Sie hat ihren Scheitelpunkt bei $S(0\vert 0)$. Demnach ist der Parameter $c=0$.

    Parabel 2

    Die zweite Parabel ist gegenüber der Normalparabel um zwei Einheiten entlang der $f(x)$-Achse nach unten verschoben. Sie hat ihren Scheitelpunkt bei $S(0\vert -2)$. Demnach ist der Parameter $c=-2$.

    Parabel 3

    Die dritte Parabel ist gegenüber der Normalparabel um eine Einheit entlang der $f(x)$-Achse nach oben verschoben. Sie hat ihren Scheitelpunkt bei $S(0\vert 1)$. Demnach ist der Parameter $c=1$.

    Parabel 4

    Die vierte Parabel ist gegenüber der Normalparabel um eine Einheit entlang der $f(x)$-Achse nach unten verschoben. Sie hat ihren Scheitelpunkt bei $S(0\vert -1)$. Demnach ist der Parameter $c=-1$.

  • Beschreibe den Einfluss des Parameters $c$ in der Funktionsgleichung $f(x)=x^2+c$.

    Tipps

    Hier abgebildet ist die Normalparabel zu der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$.

    $f(x)=-x^2$ ist eine nach unten geöffnete Parabel.

    Die Funktion $f(x)=x^2+c$ hat ihren Scheitelpunkt bei $S(0\vert c)$. Der $f(x)$-Achsenabschnitt ist also $c$.

    Lösung

    Eine quadratische Funktion der Form $f(x)=x^2+c$ beschreibt eine zur $f(x)$-Achse achsensymmetrische und nach oben geöffnete Parabel, die ihren Scheitelpunkt bei $S(0\vert c)$ hat. Das heißt, der $f(x)$-Achsenabschnitt des zugehörigen Graphen ist $c$. Somit haben wir folgende Eigenschaften bezüglich des Parameters $c$:

    Fall: $c=0$

    Es handelt sich um die Normalparabel. Diese ist nach oben geöffnet und achsensymmetrisch zur $f(x)$-Achse. Sie besitzt eine Nullstelle und den Scheitelpunkt $S(0\vert 0)$.

    Fall: $c>0$

    Es handelt sich um eine nach oben geöffnete Parabel, welche achsensymmetrisch zur $f(x)$-Achse ist. Sie besitzt keine Nullstelle und ist gegenüber der Normalparabel entlang der $f(x)$-Achse nach oben verschoben.

    Fall: $c<0$

    Es handelt sich um eine nach oben geöffnete Parabel, welche achsensymmetrisch zur $f(x)$-Achse ist. Sie besitzt zwei Nullstellen und ist gegenüber der Normalparabel entlang der $f(x)$-Achse nach unten verschoben.

  • Bestimme den Scheitelpunkt sowie die Nullstellen der Funktion $g(x)$.

    Tipps

    Zum Ausmultiplizieren der Klammern kannst du die dritte binomische Formel nutzen.

    Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion der Form $f(x)=x^2+c$ liegt bei $S(0\vert c)$.

    Für die Bestimmung der Nullstellen kannst du die faktorisierte Form von $g(x)$ nutzen. Die Nullstellen erhältst du, indem du $g(x)=0$ löst.

    Beachte: Ein Produkt ist dann null, wenn einer der Faktoren Null ist.

    Lösung

    Luke und Leia sind ganz schön fies. Aber die Funktionsgleichung, die sie sich ausgedacht haben, ist gar nicht so schwer, wie sie denken. Schauen wir sie uns gemeinsam an.

    Scheitelpunkt

    Zunächst überführen wir die Funktionsgleichung $g(x)=(x+3)(x-3)$ in die Form $x^2+c$, indem wir die dritte binomische Formel anwenden. Diese lautet $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Es folgt also:

    $g(x)=(x+3)\cdot(x-3)=x\cdot x+3\cdot(-3)=x^2-9$.

    Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion der Form $f(x)=x^2+c$ liegt in $S(0\vert c)$. Also hat die gegebene quadratische Funktion den folgenden Scheitelpunkt:

    $S(0\vert -9)$.

    Nullstellen

    Die Bestimmung der Nullstellen erfolgt am besten über die faktorisierte Form von $g(x)$. Wir erhalten die Nullstellen, indem wir $g(x)=0$ lösen. Es folgt:

    $(x+3)(x-3)=0$.

    Ein Produkt ist dann null, wenn einer der Faktoren null ist. Unsere Faktoren sind hier die beiden Klammerausdrücke $x+3$ und $x-3$. Demnach erhalten wir für den ersten Klammerausdruck $x_1=-3$ und für den zweiten Klammerausdruck $x_2=3$.

    Wir können natürlich auch die ausmultiplizierte Form $g(x)=x^2-9$ verwenden. Dann folgt:

    $ \begin{array}{lllll} x^2-9 &=& 0 && \vert +9 \\ x^2 &=& 9 && \vert \ \sqrt{} \\ x_{1\vert 2} &=& \pm\sqrt{9} &&\\ \\ x_1 &=& +3 && \\ x_2 &=& -3 && \end{array} $

  • Arbeite die Eigenschaften der gegebenen Funktionsgraphen heraus.

    Tipps

    Bei einer nach oben geöffneten Parabel ist der Scheitelpunkt der Tiefpunkt.

    Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion der Form $f(x)=x^2+c$ lautet $S(0\vert c)$.

    Wie oft schneiden die Graphen die $x$-Achse? Diese Anzahl entspricht der Anzahl ihrer Nullstellen.

    Lösung

    Es sind zwei nach oben geöffnete und zur $f(x)$-Achse achsensymmetrische Parabeln gegeben. Diese haben je eine Funktionsgleichung der Form $f(x)=x^2+c$. Dabei ist $c$ der $f(x)$-Achsenabschnitt. Der Scheitelpunkt ist demnach bei $S(0\vert c)$. Die beiden Parabeln haben somit folgende Eigenschaften:

    Parabel 1

    • keine Nullstellen
    • Scheitelpunkt bei $S(0\vert 3)$
    Parabel 2

    • zwei Nullstellen
    • Scheitelpunkt bei $S(0\vert -1)$
  • Ermittle die Scheitelpunkte der gegebenen quadratischen Funktionen.

    Tipps

    Multipliziere die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus. Dieses lautet:

    $a(b+c)=ab+ac$.

    Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion der Form $f(x)=x^2+c$ entspricht $S(0\vert c)$.

    Lösung

    Für seine anstehende Flugshow plant der Kunstflugpilot Yannis seine Flugbahnen. Weil parabelförmige Flugmanöver sehr beliebt sind, nimmt er in seine Show vier Flugbahnen der Form $f(x)=x^2+c$ auf. Eine quadratische Funktion dieser Form besitzt seinen Scheitelpunkt, also den tiefsten Punkt, bei $S(0\vert c)$. Demnach erhalten wir für Yannis’ Flugbahnen folgende Scheitelpunkte:

    Funktion: $~f(x)=x^2-8$

    Diese Funktion hat den Parameter $c=-8$ und somit den Scheitelpunkt $S(0\vert -8)$.

    Funktion: $~g(x)=\frac 14\left(4x^2+8\right)$

    Diese Funktion multiplizieren wir mit Hilfe des Distributivgesetzes zunächst aus:
    $g(x)=\frac 14\left(4x^2+8\right)=\frac 14\cdot{4x^2}+\frac 14\cdot8=x^2+2$.
    Somit hat diese Funktion den Parameter $c=2$ und den Scheitelpunkt $S(0\vert 2)$.

    Funktion: $~h(x)=-\frac 12\left(-2x^2+8\right)$

    Diese Funktion multiplizieren wir mit Hilfe des Distributivgesetzes zunächst aus:
    $h(x)=-\frac 12\left(-2x^2+8\right)=-\frac 12\cdot{-2x^2}+\left(-\frac 12\right)\cdot8=x^2+4$.
    Somit hat diese Funktion den Parameter $c=-4$ und den Scheitelpunkt $S(0\vert -4)$.

    Funktion: $~i(x)= x^2+8$

    Diese Funktion hat den Parameter $c=8$ und somit den Scheitelpunkt $S(0\vert 8)$.