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f(x) = a · x² – Einführung

Parabeln sind alltägliche mathematische Formen wie Hängebrücken und Wasserstrahlen. Der Koeffizient $a$ in $f(x)=ax^{2}$ beeinflusst ihre Form, zum Beispiel $a=1$ für die Normalparabel. Erfahre, wie $a$ die Parabel strecken, stauchen oder spiegeln kann. Bist du interessiert? Im folgenden Text wird dies und mehr erklärt!

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Team Digital
f(x) = a · x² – Einführung
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f(x) = a · x² – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video f(x) = a · x² – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige den Lückentext.

    Tipps

    Dieser Graph gehört zu der Funktionsgleichung $f(x)=-x^2$.

    Gestauchte Parabeln verlaufen breiter als die Normalparabel und gestreckte Parabeln schmaler.

    Lösung

    Parabeln vom Typ $f(x)=a\cdot x^2$ haben alle ihren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung und sind symmetrisch zur $y$-Achse. Wir teilen sie in verschiedene Kategorien ein:

    Parabeln $f(x)=a\cdot x^2$ mit positivem Parameter $a$ liegen stets oberhalb der $x$-Achse und sind nach oben geöffnet.

    Die Normalparabel hat die Funktionsgleichung $f(x)=x^2$. Hier ist der Vorfaktor $a=1$. Sie liegt somit oberhalb der $x$-Achse und ist nach oben geöffnet.

    Eine gestauchte Parabel ist breiter als die Normalparabel. Für ihren Parameter $a$ gilt $0 < a < 1$, falls sie oberhalb der $x$-Achse liegt.

    Eine gestreckte Parabel hingegen ist schmaler als die Normalparabel. Liegt sie oberhalb der $x$-Achse, so gilt $a > 1$ für den Parameter $a$.

    Bei einem negativen Parameter $a$ nennen wir eine Parabel $f(x)=a\cdot x^2$ an de $x$-Achse gespiegelt. Der Graph einer solchen Parabel liegt unterhalb der $x$-Achse und ist somit nach unten geöffnet. Für das Stauchen und Strecken gilt in diesem Fall:

    • Für Parameter $a$ mit $-1 < a < 0$ ist der Graph gestaucht, also breiter.
    • Für Parameter $a$ mit $a < -1$ liegt der Graph gestreckt, also schmaler vor.

  • Gib wieder, welche quadratische Funktionsgleichung zu welcher Parabel gehört.

    Tipps

    Du betrachtest Funktionsgleichungen der Form $f(x)=ax^2$. Ist der Parameter $a$ negativ, so ist der zugehörige Funktionsgraph gegenüber der Normalparabel an der $x$-Achse gespiegelt.

    Für Graphen mit positivem Parameter $a$, die breiter an der $y$-Achse verlaufen als die Normalparabel, gilt $0 < a < 1$.

    Lösung

    Normalparabel$~f(x)=x^2$

    Die Normalparabel, welche hier abgebildet ist, hat die Funktionsgleichung $f(x)=x^2$. Der Parameter ist hier $a=1$.

    Parabel$~f(x)=4x^2$

    Für Graphen, die oberhalb der $x$-Achse verlaufen, gilt $a > 0$. Verlaufen diese zusätzlich schmaler als die Normalparabel mit der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$, so ist der Graph in Richtung der $y$-Achse gestreckt. Für eine solche Funktion gilt $a > 1$. Diese Eigenschaften treffen auf die Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x)=4x^2$ zu.

    Parabel$~f(x)=0,5x^2$

    Verlaufen Parabeln oberhalb der $x$-Achse breiter als die Normalparabel mit der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$, so ist der Graph in Richtung der $y$-Achse gestaucht. Für eine solche Funktion gilt $0 < a < 1$. Diese Eigenschaften treffen auf die Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x)=0,5x^2$ zu.

    Parabel$~f(x)=-2x^2$

    Der Graph, der durch die Funktionsgleichung $f(x)=-2x^2$ beschrieben wird, ist gegenüber der Normalparabel an der $x$-Achse gespiegelt. Hier gilt ja auch $a < 0$. Außerdem verläuft der Graph schmaler als die gespiegelte Normalparabel. Das liegt daran, dass mit $a=-2$ der Fall $a < -1$ vorliegt. Der Graph ist also in Richtung der $y$-Achse gestreckt.

  • Entscheide, welche quadratische Funktionsgleichung zu welcher Parabel gehört.

    Tipps

    $a < -1$ bedeutet Streckung in Bezug auf die $y$-Achse und Spiegelung an der $x$-Achse.

    $0 < a < 1$ bedeutet, dass der Graph breiter als die Normalparabel verläuft.

    Lösung

    Bei $f_1$ ist $a > 0$. Daher kommen hier nur der gelbe und der grüne Graph infrage, da diese nach oben geöffnet sind. Weil hier $a=2,5$ ist, verläuft der Graph schmaler als die Normalparabel. Deshalb kommt nur der gelbe Graph infrage.

    Bei $f_2$ ist $a > 0$. Darum kommen hier auch nur der gelbe und der grüne Graph infrage, da diese nach oben geöffnet sind. Weil hier $a=0,75$ ist, verläuft der Graph breiter als die Normalparabel. Deswegen kommt nur der grüne Graph infrage.

    Für $f_3$ ist der Parameter $a<0$. Daher kommen hier nur der rote und der blaue Graph infrage, da diese nach unten geöffnet sind. Weil hier $a=-0,1$ ist und damit der Fall $-1 < a < 0$ vorliegt, verläuft der Graph breiter als die gespiegelte Normalparabel. Deshalb kommt nur der rote Graph infrage.

    Für $f_4$ ist der Parameter $a < 0$. Darum kommen hier ebenfalls nur der rote und der blaue Graph infrage, da diese nach unten geöffnet sind. Weil hier $a=-1,5$ ist und damit der Fall $a < -1$ vorliegt, verläuft der Graph schmaler als die gespiegelte Normalparabel. Deswegen kommt nur der blaue Graph infrage.

  • Bestimme die Eigenschaften der gegebenen vier Parabeln.

    Tipps

    Die Parabel zur Funktionsgleichung $f(x)=0,1 \cdot x^2$ ist nach oben geöffnet und in Richtung der $y$-Achse gestaucht.

    Ist der Parameter $a$ negativ, verläuft der Graph der Funktion $f(x)=ax^2$ unterhalb der $x$-Achse.

    Lösung

    Bei quadratischen Funktionen der Form $f(x)=ax^2$ bestimmt der Wert des Parameters $a$ maßgeblich den Verlauf des Funktionsgraphen. Wir betrachten die abgebildeten Parabeln:

    • Parabel Nummer 1 ist nach oben geöffnet und verläuft breiter als die Normalparabel. Daher gilt hier:
    $\quad \color{#99CC00}{0\lt a\lt 1}$

    • Parabel Nummer 2 ist in Bezug auf die $y$-Achse gestreckt. Es gilt deshalb:
    $\quad \color{#99CC00}{a\gt 1}$

    • Parabel Nummer 3 ist nach unten geöffnet. Sie verläuft steiler als die Normalparabel. Darum gilt hier:
    $\quad \color{#99CC00}{a\lt -1}$

    • Im Gegensatz dazu gilt für Parabel Nummer 4:
    $\quad \color{#99CC00}{-1\lt a\lt 0}$

    Alle abgebildeten Parabeln haben ihren Scheitelpunkt im Ursprung und verlaufen symmetrisch zur y-Achse.

  • Erstelle Wertetabellen zu den quadratischen Funktionen $f$ und $g$.

    Tipps

    Beim Quadrieren einer negativen Zahl wird diese positiv. Zum Bespiel ergibt sich $(-2)^2=4$.

    Wenn man eine negative Zahl, z. B. $-2$, für $x$ in eine Gleichung wie $f(x)=2x^2 \ $ einsetzt, kann man zur Hilfe zunächst einmal Klammern um die $(-2)$ setzen, damit man nicht vergisst, dass sich das Quadrat auch auf das Vorzeichen bezieht.

    Wenn man den Term $2 \cdot (-2)^2$ ausrechnet, muss man zunächst $-2$ quadrieren, also $(-2)^2=4$, und anschließend das Ergebnis mit $2$ multiplizieren, also $2 \cdot 4=8$.

    Lösung

    Wertetabelle für: $~f(x)=2x^2$

    Setzt man $-2$ für $x$ ein, erhält man $2 \cdot (-2)^2=2 \cdot 4=8$. Wir können also $8$ in die Tabelle eintragen.

    Setzt man $-1$ für $x$ ein, erhält man $2 \cdot (-1)^2=2 \cdot 1=2$.

    Für $x=0$ erhält man für alle Funktionen der Form $f(x)=ax^2$ den Wert $0$. Ebenso für $2 \cdot 0^2=2 \cdot 0=0$.

    Setzt man $1$ für $x$ ein, erhält man $2 \cdot 1^2=2 \cdot 1=2$.

    Wertetabelle für: $~g(x)=-x^2$

    Setzt man $-2$ für $x$ ein, erhält man $(-1) \cdot (-2)^2=(-1) \cdot 4=-4$. Wir können also $-4$ in die Tabelle eintragen.

    Setzt man $-1$ für $x$ ein, erhält man $(-1) \cdot (-1)^2=(-1) \cdot 1=-1$.

    Für $x=0$ erhält man wieder $(-1) \cdot (0)^2=(-1) \cdot 0=0$.

    Setzt man $1$ für $x$ ein, erhält man $(-1) \cdot (1)^2=(-1) \cdot 1=-1$.

  • Leite ab, welche Funktionsgleichung zu welchem Punkt im Koordinatensystem gehört.

    Tipps

    Schaue dir ein Beispiel an. Wir betrachten den Punkt $P(2\vert -1)$:

    $ \begin{array}{lllll} & a \cdot 2^2 &=& -1 & \\ & 4 \cdot a &=& -1 & \vert :4\\ & a &=& -\frac 14 & \end{array}$

    Lösung

    Funktionsgleichung der Parabel durch $P_1(-1 \mid 2)$:

    Wir setzen den Punkt $P_1(-1 \mid 2)$ in die Funktionsgleichung $f(x)=ax^2$ ein und erhalten:

    $ \begin{array}{lllll} & a \cdot (-1)^2 &=& 2 & \\ & 1 \cdot a &=& 2 & \\ & a &=& 2 & \end{array}$

    Die Parabel zu der Funktionsgleichung $f(x)=2x^2$ ist die einzige Parabel der Form $f(x)=ax^2$, auf der der Punkt $P_1(-1 \mid 2)$ liegt.

    Funktionsgleichung der Parabel durch $P_2(1 \mid 0,5)$:

    Wir setzen den Punkt $P_2(1 \mid 0,5)$ in die Funktionsgleichung $f(x)=ax^2$ ein und erhalten:

    $ \begin{array}{lllll} & a \cdot 1^2 &=& 0,5 & \\ & 1 \cdot a &=& 0,5 & \\ & a &=& 0,5 & \end{array}$

    Die Parabel zu der Funktionsgleichung $f(x)=0,5x^2 $ ist die einzige Parabel der Form $f(x)=ax^2$, auf der der Punkt $P_2(1 \mid 0,5)$ liegt. Da $0 < a < 1$ gilt, ist die Parabel im Bezug auf die $y$-Achse gestaucht.

    Funktionsgleichung der Parabel durch $P_3(2 \mid -4)$:

    Wir setzen den Punkt $P_3(2 \mid -4)$ in die Funktionsgleichung $f(x)=ax^2$ ein und erhalten:

    $ \begin{array}{lllll} & a \cdot 2^2 &=& -4 & \\ & 4 \cdot a &=& -4 & \vert :4 \\ & a &=& -1 & \end{array}$

    Die Parabel zu der Funktionsgleichung $f(x)=-x^2$ ist die einzige Parabel der Form $f(x)=ax^2$, auf der der Punkt $P_3(2 \mid -4)$ liegt. Da $a < 0$ gilt, ist die Parabel nach unten geöffnet.