Ebenengleichungen mit Parameter – Ebenenscharen 12:49 min
Transkript Ebenengleichungen mit Parameter – Ebenenscharen
Hallo, ich bin Giuliano. Ich möchte dir heute etwas über Ebenenscharen erzählen. Zuerst werde ich dir eine formale Definition von Ebenenscharen geben, und dann werden wir uns zwei spezielle Ebenenscharen ansehen. Hier also erst mal die formale Definition. Eine Ebenenschar ist eine Ebene, die in der Ebenengleichung mindestens einen weiteren Parameter, den sogenannten "Scharparameter" enthält. Zu jedem konkreten Scharparameter gehört eine Ebene der Schar. Jetzt zeige ich dir erst mal die beiden Beispiele, die wir uns ansehen werden. Das erste Beispiel, was wir uns ansehen werden, ist ein sogenanntes "Ebenenbüschel". Bei dem Ebenenbüschel haben alle Geraden der Ebenenschar eine gemeinsame, sogenannte "Trägergerade". Im zweiten Beispiel werden wir uns parallele Ebenenscharen ansehen, die, wie der Name schon sagt, alle parallel zueinander sind. Dann starten wir mal! Also, Beispiel 1, Ebenenbüschel und eine dazugehörige Trägergerade: Wir werden jetzt ein Beispiel durchrechnen, wo wir erstens die Trägergerade errechnen werden, und dann wollen wir noch beweisen, ob diese Trägergerade wirklich, ja, sozusagen existiert für alle Geraden der Ebenenschar. Also, dann starten wir mal! Ea: Wir werden jetzt, ja, den Scharparameter in der Koordinatenleistung einer Ebene sehen. 2ax, a ist also unser Scharparameter, + (4 - a) y – 2z = 6. Und wir wollen jetzt erstmal eine, ja, sozusagen eine Schnittgerade von zwei Ebenen dieser Ebenenschar berechnen. Und dann zeige ich dir, ob das wirklich die Trägergerade ist. Also, die erste Ebene, die wir uns ansehen werden, ist E0, das heißt, ich setze für a 0 ein, dann steht hier ganz einfach 4y – 2z = 6. Als Nächstes werden wir jetzt diese Ebene von der Koordinatengleichung in die Parametergleichung überführen. Das geht so. Wir können hier an der Koordinatengleichung den Normalenvektor ablesen. Der ist eben (0 4 -2). Ja, das sind eben genau die, ja, Vorfaktoren von x, y und z in der Koordinatengleichung. Und dann können wir jetzt also Folgendes angeben. Die Parametergleichung hat immer einen Stützvektor. Wir können uns also einen beliebigen Punkt aussuchen, der diese Koordinatengleichung erfüllt. Und das ist offensichtlich (0, 0, -3). Ja, also 0 für x, 0 für y. Da muss -2z 6 ergeben. Ja, 6/-2 = -3, +, jetzt nehmen wir einen Parameter t * , jetzt brauchen wir zwei Spannvektoren, die orthogonal beziehungsweise senkrecht zu dem Normalenvektor sind. Das lässt sich auch ganz einfach im Kopf berechnen. Wir können hier den Vektor (1 0 0) nehmen. Der ist orthogonal zu (0 4 -2), weil die beiden im Skalarprodukt 0 ergeben, + s , jetzt können wir hier noch einen weiteren Vektor angeben (0 1 14- was ist 0? Da muss ich hier nur noch die z-Koordinate 2 setzen. Dann habe ich das Skalarprodukt zwischen diesen beiden Vektoren, ist dann gleich 0. Das heißt, wir haben jetzt hier eine Parameterform der Ebene E0 angegeben. Jetzt nehmen wir uns noch eine zweite Ebene, und zwar E1. Die Koordinatengleichung dieser Ebene lautet dann 2x +, ja, a = 1, und dann haben wir hier 3 stehen, 3y – 2z = 6. Um jetzt die Schnittgerade von E0 und E1 zu berechnen, können wir jetzt diese Parametergleichung in diese Koordinatengleichung einsetzen, weil hier ja eben durch den Vektor x x- und y- und z-Koordinate eines allgemeinen Punktes der Ebene E0 angegeben ist. Das heißt, wir setzen jetzt, ja, E0 in E1 ein und gucken, was heraus kommt. Das möchte ich jetzt einmal in einer anderen Farbe machen. Das heißt, wir haben hier 2 * x, das ist einfach nur t + 3 * , die y-Koordinate ist einfach nur s – 2 * (-3 + 2s) = 6. So, wenn wir das jetzt ausmultiplizieren, ergibt das hier 2t, das bleibt einfach so stehen, 3s – 4s ist - s. Hier haben wir -2 * (-3) ist +6, kürze ich mit der 6 weg, das heißt, wir haben dann = 0 stehen. Also insgesamt erhalten wir s = 2t. Was machen wir jetzt mit dieser Information? Wir können jetzt s für 2t in der Parametergleichung von E0 ersetzen. Das heißt, wir können schreiben, ja, also hier E0 wieder ansehen, und zwar ist das jetzt eben Vektor x = (0 0 -3), ja, (0 0 -3) + t, das bleibt ja einfach so wie es ist, also (1 0 0) +, und jetzt ersetzen wir s für 2t. 2t * (0 1 2). Und jetzt sehen wir, dass hier eine Gerade entsteht, weil ich habe nur noch einen Parameter gegeben. Das heißt, hier entsteht jetzt eine Gerade, die sieht so aus (0 0 -3) + t * , ja 1 + 0 = 1, 0 + (2 * 1) = 2, 0 + 4 = 4. Und das hier ist jetzt potentiell erstmal, ja, das ist die Schnittgerade von der Ebene E0 und E1. Und wir wollen jetzt beweisen, dass diese Gerade hier, die ich jetzt g nenne, dass diese Gerade wirklich die Trägergerade von der Ebenenschar Ea ist. Und das möchte ich jetzt hier einmal auf der rechten Seite vorführen. Ja, also hier die Frage, ob g wirklich die Trägergerade ist von Ea. Und das machen wir eben ganz einfach. Genauso wie wir es hier gemacht haben. Wir setzen jetzt die Koordinaten x, y, z allgemein in diese allgemeine Ebenengleichung Ea ein. Das heißt, wir erhalten Ea: 2 * a * x, 0 + t, also das wäre hier einfach t. Geht es weiter, +, ah, was haben wir da, 4 – a * die y-Koordinate, die ist einfach nur 2t, jetzt muss ich hier unten weitermachen, - 2 * z, z ist -3 + 4t. Ich kann auch einfach schreiben 4t – 3. (4t – 3) = 6. Wenn wir diese Gleichung auflösen, erhalten wir Folgendes: 2at, hier haben wir, + 8t – 2at. Ja, jetzt mache ich hier unten weiter. – 8t + 6 = 6. Und wenn wir das auflösen, sehen wir, die 6 kürze ich raus, 2at kürze ich raus und 8t. Das heißt, wir erhalten 0 = 0. Und das ist eine wahre Aussage, egal für welches a. Das heißt, diese Gerade hier ist wirklich die Trägergerade der Ebenenschar und damit haben wir ein Ebenenbüschel. Als Nächstes möchte ich dir gerne ein Beispiel für eine parallele Ebenenschar zeigen. Schauen wir uns jetzt das zweite Beispiel parallele Ebenenscharen an. Also Beispiel 2, parallele Ebenenscharen: So, ich werde dir jetzt an einem Beispiel zeigen, wie man zeigen kann, dass eben eine Schar beziehungsweise alle Ebenen dieser Schar parallel zueinander sind. Wir nehmen folgende Ebenenschar. Ea: In der Koordinatengleichung (1 – 3a) x + (3a – 1) y + (1 – 3a) z = 1. Und jetzt nehmen wir eine zweite Ebene dieser Schar, die nenne ich Eb: Die sieht dann eben so aus: (1 – 3b) x + (3b – 1) y + (1 – 3b) z = 1. Und wir gehen jetzt eben davon aus, dass a ungleich b ist, also, dass das zwei unterschiedliche Ebenen sind. Und jetzt werde ich dir zeigen, dass das eben gar nicht gilt, sondern dass am Ende rauskommt, a = b. Und wenn wir diesen Widerspruch gefunden haben, wissen wir, dass alle Ebenen parallel zueinander sind, weil es sonst gar nicht geht. Es gibt eigentlich nur drei Möglichkeiten, wie die Ebenen zueinander liegen können. Entweder sind sie identisch, sie sind echt parallel zueinander oder sie haben eine Schnittgerade. Und das haben wir eben bei Ebenenbüscheln ja schon gesehen, die Schnittgerade. Das heißt, wir wollen jetzt, ja, diese beiden Gleichungen minus nehmen. Und ich möchte jetzt gerne die Variable x eliminieren. Das heißt, wir rechnen Ea * (1 – 3b) – Eb * (1 – 3a). Dadurch habe ich hier denselben Faktor vor dem x und die beiden kann ich dann, ja, die beiden fallen dann in der nächsten Gleichung raus. So, das ergibt jetzt Folgendes. Ich sortiere das jetzt um nach y * [ , hier müssen wir (3a -1) mit (1 – 3b) multiplizieren. Und hier unten müssen wir (3b -1) * (1 – 3a) multiplizieren. Ich habe das jetzt einfach schon mal zusammengefasst, weil das Beides ja, ja, weil bei beiden Kammern ein y vorsteht, deswegen kann ich da das Distributivgesetz anwenden. Das Gleiche machen wir auch für z. Das heißt + z * [(1 – 3a) * (1 – 3b), da steht es, - 3b, - (, hier haben wir (1 - 3b) stehen, * (1 – 3a). So, das ist jetzt also das, was auf der linken Seite der Gleichung steht. Und jetzt haben wir noch gleich, hier steht eine 1, da steht eine 1, das heißt, wir müssen einfach (1 – 3b) von (1 – 3a) subtrahieren. Das Ganze ergibt dann jetzt Folgendes. Ich werde das jetzt hier nicht vorführen. Wenn ihr diese Klammern ausmultipliziert, dann erkennt ihr, dass in der Klammer hier sich alle Ausdrücke miteinander wegkürzen und das Ganze 0 ergibt. Das heißt, auf der kompletten linken Seite steht 0 = , das hier subtrahieren wir noch voneinander, 1 – 1 = 0 – 3b + 3a. Und das ergibt schließlich a = b. Und das ist ein Widerspruch zu dem, was wir eigentlich ursprünglich angenommen hatten, dass das zwei unterschiedliche Ebenen sind der Ebenenschar. Und dadurch haben wir bewiesen, dass, egal für welche Ebene dieser Schar alle Ebenen dieser Schar parallel sind. Jetzt möchte ich noch einmal zusammenfassen, was du heute gelernt hast: Zu Beginn haben wir uns eine formale Definition von Ebenenscharen angesehen. Und dann habe ich dir zwei spezielle Fälle gezeigt, einmal die Ebenenbüschel, wo alle Ebenen der Schar eine gemeinsame Trägergerade haben, und einmal das zweite Beispiel, wo die Ebenen der Schar alle parallel zueinander sind. Ich hoffe, dass du das alles verstanden hast und Spaß an dem Video hattest. Ciao und bis zum nächsten Mal, dein Giuliano.
Videobeschreibung
Die Begriffe Scharparameter und Geradenschar sind dir bereits bekannt? Dann fallen dir die Erklärungen zur Ebenenschar sehr leicht. Falls du noch nichts davon gehört hast, ist das auch nicht schlimm. Ich werde mit dir zusammen eine formale Definition für Ebenenscharen aufstellen. Danach weißt du auch, was ein Scharparameter ist. Ich zeige dir zwei spezielle Ebenenscharen und wo genau bei ihnen der Scharparameter vorkommt. Das sind einmal die Ebenenbüschel und die parallelen Ebenenscharen. Du kannst dir beide sehr schnell mit den beiden Begriffen Wasserrad und Kuchen merken. Na, neugierig geworden? Viel Spaß auf den Pfaden der Ebenen!
Der Tutor:
Ebenengleichungen mit Parameter – Ebenenscharen
Ebenengleichungen mit Parameter – Ebenenscharen Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ebenengleichungen mit Parameter – Ebenenscharen kannst du es wiederholen und üben.
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Beschreibe, wie man prüfen kann, ob eine parallele Ebenenschar vorliegt.
Tipps
Wenn du zwei Ebenen in Koordinatenform auf gemeinsame Punkte untersuchst, stellst du ein Gleichungssystem mit diesen beiden Gleichungen auf.
Es gibt drei Lösungsmöglichkeiten für dieses Gleichungssystem:
- Es kann eine Koordinate frei gewählt werden $\rightarrow$ die Ebenen schneiden sich in einer Gerade.
- Das Gleichungssystem führt zu einer Aussage, welche immer gilt $\rightarrow$ die beiden Ebenen sind identisch.
- Das Gleichungssystem führt zu einem Widerspruch $\rightarrow$ die beiden Ebenen sind parallel.
Du kannst das resultierende Gleichungssystem durch bekannte Lösungsverfahren (Additionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren) lösen.
Lösung
Wenn man ganz allgemein Ebenen auf Parallelität überprüfen will, schaut man sich die beiden Ebenen in Koordinatenform an. Wenn man also das Gleichungssystem mit beiden Gleichungen betrachtet, muss man einen Widerspruch erhalten. Warum?
Ein Widerspruch bedeutet, dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist und somit die beiden Ebenen keine gemeinsamen Punkte haben können.
Ebenen haben nur dann keine gemeinsamen Punkte, wenn sie parallel zueinander sind.
Wenn man also die Ebenenschar $E_a:(1-3a)x+(3a-1)y+(1-3a)z=1$ auf Parallelität untersuchen möchte, betrachtet man zwei verschiedene Ebenen dieser Schar zu zwei verschiedenen Parametern $E_a$ und $E_b$ mit $a\neq b$.
Dies führt zu dem Gleichungssystem
$E_a:(1-3a)x+(3a-1)y+(1-3a)z=1$ und
$E_b:(1-3b)x+(3b-1)y+(1-3b)z=1$.
Wenn man von dem $(1-3b)$-fachen von $E_a$ das $(1-3a)$-fache von $E_b$ subtrahiert, eliminiert man $x$ und erhält
$\begin{align*} (1-3b)\cdot ( (3a-1)y+(1-3a)z)-(1-3a)\cdot ((3b-1)y+(1-3b)z)&=(1-3b)-(1-3a)\\ &=-3b+3a. \end{align*}$
Nun kann der Term auf der linken Seite noch vereinfacht werden:
$\begin{array}{clclcl} &(1-3b)\cdot ( (3a-1)y+(1-3a)z)-(1-3a)\cdot ((3b-1)y+(1-3b)z)\\ =&(1-3b) (3a-1)y+(1-3b)(1-3a)z-(1-3a)(3b-1)y-(1-3a)(1-3b)z\\ =&((1-3b) (3a-1)-(1-3a)(3b-1))y+((1-3b)(1-3a)-(1-3a)(1-3b))z\\ =&(3a-9ab-1+3b-3b+9ab+1-3a)y+(1-3a-3b+9ab-1+3b+3a-9ab)z\\ =&0 \end{array}$
Gesamt gilt dann
$0=-3b+3a$.
Dies ist äquivalent zu $a=b$, was jedoch nach Voraussetzung $a\neq b$ nicht gelten dürfte. Das bedeutet, dass die beiden Geraden der Schar keine gemeinsamen Punkte haben, also parallel sein müssen.
Da es keine Einschränkung an die Parameter $a$ und $b$ gibt, abgesehen davon, dass die Parameter ungleich sein sollen, ist somit gezeigt, dass alle Ebenen der Schar parallel sein müssen.
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Bestimme die Trägergerade der Ebenenschar.
Tipps
Schnittgeraden zweier Ebenen kannst du bestimmen, wenn du eine der beiden Ebenen in Parameterform in der Koordinatenform der anderen Ebene einsetzt.
Du erhältst eine Gleichung mit (maximal) zwei Unbekannten.
Wenn du von einer Ebene in Koordinatenform zu der Parameterform gelangen möchtest, so benötigst du einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.
- Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene.
- Die Richtungsvektoren stehen senkrecht auf den Normalenvektor der Ebene und dürfen nicht kollinear sein.
Ein Normalenvektor dieser Ebene lautet
$\vec n=\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\3 \end{pmatrix}$.
Diesen erhältst du mit den Koeffizienten der Koordinaten $x$, $y$ und $z$.
Setze zwei Koordinaten, zum Beispiel $x=y=0$, und du erhältst die dritte $z=2$. Also liegt der Punkt $P(0|0|2)$ auf der Ebene.
Lösung
Zur Untersuchung, ob
$E_a:2ax+(4-a)y-2z=6$
ein Ebenenbüschel ist, wird wie folgt vorgegangen:
- Man wählt zwei beliebige Ebenen der Schar aus und bestimmt deren Schnittgerade. Wenn es eine solche nicht gibt, kann auch kein Ebenenbüschel vorliegen.
- Die so gefundene Schnittgerade, muss allen Ebenen gemeinsam sein. Man setzt also die Gerade in der Koordinatenform der Ebene ein. Dies muss zu einer allgemein gültigen Aussage führen.
$E_0:4y-2z=6$ sowie $E_1:2x+3y-2z=6$.
Um die Schnittgerade zu bestimmen, kann man, zum Beispiel von $E_0$ eine Parameterform aufstellen.
Hierfür benötigt man
- einen Stützvektor, den Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene, zum Beispiel $P(0|0|-3)$ sowie
- zwei Richtungsvektoren. Diese müssen auf den Normalenvektor der Ebene senkrecht stehen.
Zwei dazu senkrechte Vektoren sind gegeben durch $\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}$ sowie $\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\2 \end{pmatrix}$
Nun kann man die Ebene in Parameterform angeben:
$E_0:\vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\-3 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\2 \end{pmatrix}$.
Durch Einsetzen der Ebene $E_0$ in $E_1$ erhält man
$2t+3s-2(-3+2s)=6$
und damit
$2t-s+6=6$, was wiederum äquivalent ist zu $s=2t$. Dieses $s$ kann in der obigen Form von $E_0$ eingesetzt werden und man erhält
$\vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\-3 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}+2t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\-3 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\4 \end{pmatrix}$.
Dies ist die Gleichung einer Geraden.
Nun muss noch überprüft werden, ob die Gerade tatsächlich auf jeder Ebene der Schar liegt. Hierfür wird die Gerade in der Koordinatenform der Ebenenschar eingesetzt:
$2at+(4-a)2t-2(-3+4t)=6$.
Durch Umformen erhält man
$2at+8t-2at+6-8t=6$
und durch Subtraktion von $6$ schließlich $0=0$. Diese Aussage gilt immer. Das bedeutet, dass die Gerade mit jeder Ebene der Schar unendlich viele Punkte gemeinsam hat. Also liegt die Gerade in jeder Ebene der Schar und ist somit eine Trägergerade.
Damit ist auch gleichzeitig bewiesen, dass die betrachtete Schar ein Ebenenbüschel ist.
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Ermittle die Schnittgerade der beiden Ebenen.
Tipps
Die beiden Normalenvektoren der Ebenen sind gegeben durch
$\vec{n_E}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\-2 \end{pmatrix}$
sowie
$\vec{n_F}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\-3 \end{pmatrix}$.
Der Richtungsvektor der Geraden $\vec v$ muss orthogonal zu jedem dieser Normalenvektoren sein. Das heißt
- $\vec v\cdot \vec{n_E}=0$ und
- $\vec v\cdot \vec{n_F}=0$.
Du benötigst für das Einsetzen von $F$ in $E$ nur die x- sowie die y-Koordinate von $F$. Die x-Koordinate ist zum Beispiel gegeben durch $x=1-r+3s$.
Wenn du $s$ in $F$ eingesetzt hast, kannst du zunächst die skalare Multiplikation dieses $s$ mit dem zugehörigen Richtungsvektor durchführen. Du erhältst einen Vektor, in dem sowohl Terme vorkommen, welche von $r$ abhängig sind, als auch solche, die unabhängig von $r$ sind.
Lösung
Die Ebene $E$ ist in Koordinatenform und die Ebene $F$ in Parameterform gegeben. Nun können die x- und z-Koordinate der Ebene $F$ in der Ebene $E$ eingesetzt werden:
- $x=1-r+3s$ und
- $z=s$.
Durch Einsetzen von $s=r+2$ in $F$ erhält man
$\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1\\0 \end{pmatrix}+(r+2)\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 7 \\ 2\\2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1\\1 \end{pmatrix}$
Dies ist eine mögliche Darstellung der Schnittgeraden.
Um diese zu überprüfen, könnte man zum Beispiel schauen, ob der Richtungsvektor der Geraden senkrecht auf den Normalenvektor der Ebene $E$ und der Ebene $F$ steht. Die Normalenvektoren sind gegeben durch
$\vec{n_E}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\-2 \end{pmatrix}$
sowie
$\vec{n_F}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\-3 \end{pmatrix}$.
Beispielhaft sei das hier für den Normalenvektor der Ebene $F$ mal gemacht. Es gilt: $ \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\-3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1\\1 \end{pmatrix}=2+1-3=0$ $\surd$, die beiden Vektoren sind orthogonal.
Man müsste zusätzlich noch prüfen, ob der Punkt $P(7|2|2)$ sowohl auf $E$ als auch auf $F$ liegt.
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Weise nach, dass die gegebene Gerade Trägergerade der Ebenenschar ist.
Tipps
Durch Einsetzen von $g$ in $E_a$ erhältst du eine Gleichung. Die Unbekannten sind der Parameter $r$ der Geraden und der Scharparameter $a$ der Ebenenschar.
Die Lösbarkeit der Gleichung führt zu der Lage der Gerade zu der Ebene der Ebenenschar:
- keine Lösung $\rightarrow$ Parallelität,
- eindeutig lösbar $\rightarrow$ $g$ schneidet die Ebene und
- unendlich viele Lösungen $\rightarrow$ die Gerade liegt in der Ebene.
Wenn du durch Äquivalenzumformungen bei der Gleichung zu einer Aussage gelangst, die immer gilt, gibt es unendlich viele Lösungen für die Gleichung.
Lösung
Die Gerade $g$ wird koordinatenweise
- $x=7+2r$
- $y=2+r$
- $z=2+r$
$7+2r+(1-a)(2+r)+(a-3)(2+r)=3$.
Nun werden zunächst die Klammern aufgelöst zu
$7+2r+2+r-2a-ar+2a-6+ar-3r=3$.
Nun werden alle Terme, die zusammengehören, zusammengefasst:
$3=3$.
Dies ist eine immer gültige Aussage. Das wiederum bedeutet, dass es für die Gleichung, welche man durch Einsetzen von $g$ in $E_a$ erhält, unendlich viele Lösungen gibt. Also hat die Gerade $g$ mit jeder Ebene der Ebenenschar $E_a$ unendlich viele Punkte gemeinsam. Dies geht nur, wenn die Gerade $g$ in jeder Ebene der Ebenenschar liegt.
$g$ ist also die Trägergerade der Ebenenschar $E_a$ und somit $E_a$ ein Ebenenbüschel.
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Definiere, was Ebenenscharen sind und welche speziellen Lagen es gibt.
Tipps
Erst einmal ist eine Ebenenschar eine Sammlung mehrerer Ebenen, wie der Begriff „Schar“ schon vermuten lässt.
Also muss es etwas geben, was einander ähnliche Ebenen doch noch unterscheidet.
Zum Beispiel könnte man eine Ebenenschar so, wie hier zu sehen, angeben.
Lösung
Was sind eigentlich Ebenenscharen?
Ebenen sind ja bereits bekannt. Eine Ebenenschar sind Ebenen, die in der Ebenengleichung einen weiteren Parameter, den sogenannten Scharparameter, enthalten.
Zu jedem Scharparameter gehört somit eine bestimmte Ebene dieser Ebenenschar.
Es gibt verschiedene spezielle Lagen dieser Ebenen zueinander:
- Es gibt Ebenenbüschel. Dabei haben alle Ebenen der Schar eine gemeinsame Gerade, die sogenannte Trägergerade.
- Es gibt parallele Ebenenscharen. Bei diesen liegen alle Ebenen der Schar parallel zueinander.
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Prüfe, ob es sich bei $E_a:(2-a)x+(a-2)y+(4-2a)z=1$ um eine parallele Ebenenschar handelt.
Tipps
Wenn zwei Ebenen parallel zueinander sind, haben sie keine gemeinsamen Punkte.
Schreibe dir die beiden Gleichungen zu $E_a$ und $E_b$ auf und multipliziere so, dass $x$ herausfällt.
Keine gemeinsamen Punkte bedeutet, dass die beiden Koordinatengleichungen der beiden Ebenen nicht gleichzeitig erfüllt sein können, oder, anders ausgedrückt, das entsprechende Gleichungssystem zu einem Widerspruch führt.
Lösung
Wenn man für verschiedene Parameter $a$ und $b$ die zugehörigen Gleichungen der Ebenen $E_a$ und $E_b$ betrachtet, kann man von dem $(2-b)$-fachen von $E_a$ das $(2-a)$-fache von $E_b$ abziehen. Dadurch fällt $x$ heraus:
$(2-b)(a-2)y+(2-b)(4-2a)z-(2-a)(b-2)y-(2-a)(4-2b)z=(2-a)-(2-b)$.
Nun werden die Terme zu $y$ und $z$ zusammengefasst:
$((2-b)(a-2)-(2-a)(b-2))y+((2-b)(4-2a)-(2-a)(4-2b))z=b-a$.
Nun kann man sich jeweils den Faktor vor $y$ und vor $z$ anschauen:
$(2-b)(a-2)-(2-a)(b-2)=(2-b)(a-2)-(a-2)(2-b)=0$
und so ähnlich
$(2-b)(4-2a)-(2-a)(4-2b)=2(2-b)(2-a)-2(2-a)(2-b)=0$.
Gesamt hat man also
$0=b-a$.
Dies ist ein Widerspruch zu $a \neq b$, da nach Voraussetzung die beiden Scharparameter verschieden sind. Das bedeutet, dass das obige Gleichungssystem keine Lösungen hat außer $a=b$. Wenn man zwei Ebenen in Koordinatenform betrachtet und das zugehörige Gleichungssystem aus den beiden Koordinatenformen keine Lösungen besitzt, können die beiden Ebenen keine gemeinsamen Punkte haben. Sie müssen also parallel sein.
Somit ist nachgewiesen, dass jeweils zwei beliebige Ebenen der Ebenenschar parallel zueinander sind.
Diese Begeisterung während des Rechnens ist genial. :D
@David Brunner1000:
Vielen Dank für den Hinweis. Ich habe mich bemüht so zu rechnen und zu erklären, dass das Video nicht zu lange dauert ;). Ich bedanke mich für deinen Kommentar.
Super Video
Du könntest aber vlt ein bisschen langsamer erklären und rechnen :D
Und vor allem genauer erklären, also warum du das und das machst